理想液體元流能量方程推導(dǎo)的對(duì)比分析式教學(xué)模式探索

吳磊

摘 要 水力學(xué)是一門(mén)技術(shù)基礎(chǔ)課，它是力學(xué)的一個(gè)分支。能量方程是水力學(xué)歷史上建立最早、應(yīng)用最廣的動(dòng)力學(xué)方程之一，它應(yīng)用能量守恒定律揭示了液體流動(dòng)過(guò)程中的能量變化規(guī)律，在液體動(dòng)力學(xué)中占據(jù)重要地位。能量方程是水力學(xué)課程教學(xué)體系的重要內(nèi)容，是貫穿水力學(xué)基礎(chǔ)理論教學(xué)和工程實(shí)踐應(yīng)用的靈魂，引申到其他流體如氣體也同樣適用。因此，為了讓學(xué)生更好地理解和掌握能量方程的推導(dǎo)過(guò)程，有必要開(kāi)展對(duì)比分析式教學(xué)改革探索，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)伯努利方程推導(dǎo)過(guò)程和工程應(yīng)用的理解和掌握，推進(jìn)水力學(xué)重難點(diǎn)的教學(xué)模式創(chuàng)新，提高水力學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 理想液體 方程推導(dǎo) 對(duì)比分析

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.10.046

Abstract Hydraulics is a basic course of technology， which is a branch of mechanics. Energy equation is set up one of the earliest and the most widely used dynamic equation of hydraulic history. It is the application of the law of conservation of energy to reveal the energy variation in the process of the liquid flow and liquid dynamics in occupy an important position. Energy equation is an important part of the teaching system of hydraulics， and it is the soul that runs through the basic theory teaching and engineering practice of hydraulics， and it can also be applied to other fluids such as gas. Therefore， in order to make students better understand and master the derivation process of the energy equation， it is necessary to carry out comparative analysis of teaching reform， strengthen students understanding of Bernoulli equation inferential reasoning process and engineering application and master， promote hydraulics problems of teaching mode innovation， in order to improve the teaching quality of the hydraulic.

Keywords ideal liquid； derivation of equation； comparison and analysis

作為一門(mén)重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，水力學(xué)（流體力學(xué)）是高等工科院校大多數(shù)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的必修課，廣泛應(yīng)用于水利、土木建筑、給排水、水文環(huán)境、機(jī)械、動(dòng)力、動(dòng)能、化工、石油、航空、航海、計(jì)量、控制、地質(zhì)勘探等專(zhuān)業(yè)。水力學(xué)是建立在流體力學(xué)基礎(chǔ)之上的一門(mén)既有較強(qiáng)理論性又有較強(qiáng)工程實(shí)際意義的應(yīng)用力學(xué)課程。水力學(xué)課程強(qiáng)調(diào)理論緊密聯(lián)系工程實(shí)際，它的主要任務(wù)是研究液體（主要是水）的平衡和機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其工程應(yīng)用，它具有理論性強(qiáng)、經(jīng)驗(yàn)公式多，概念抽象，推導(dǎo)復(fù)雜，且易混淆等特點(diǎn)。水力學(xué)與其他各門(mén)力學(xué)課程一樣，一直以來(lái)都是學(xué)生認(rèn)為最為難學(xué)的課程之一，它對(duì)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理、工程力學(xué)以及綜合分析處理問(wèn)題的能力要求較高。作為水利等工科專(zhuān)業(yè)的技術(shù)基礎(chǔ)課，水力學(xué)是學(xué)生專(zhuān)業(yè)能力形成與未來(lái)職業(yè)發(fā)展必不可少的依托，它不僅是后續(xù)專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，而且也是解決工程實(shí)例的技術(shù)依據(jù)，因而這門(mén)課具有極強(qiáng)的理論性與工程實(shí)踐性。

在各種水力學(xué)（流體力學(xué)）教材中，能量方程又稱(chēng)伯努利方程，其推導(dǎo)過(guò)程有多種途徑。本文從動(dòng)力學(xué)關(guān)系出發(fā)，分別從“微元體”與“元流”兩個(gè)切入點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律推導(dǎo)伯努利方程，對(duì)比分析理想流體作定常流動(dòng)時(shí)伯努利方程的推導(dǎo)過(guò)程，為伯努利方程的專(zhuān)題性教學(xué)改革探索提供支撐。

1 能量方程的微元體推導(dǎo)過(guò)程

伯努利方程“微元體”推導(dǎo)過(guò)程以理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程為基礎(chǔ)。根據(jù)牛頓第二定律，建立理想流體受力及運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系，導(dǎo)出理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程，通過(guò)對(duì)軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，并引入限定條件，沿流線積分得能量方程。因此能量方程“微元體”推導(dǎo)過(guò)程的基本思路為：（1）取“微元體”；（2）受力分析；（3）導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)關(guān)系；（4）變形化簡(jiǎn)；（5）引入限定條件；（6）沿流線積分。

1.1 取“微元體”

在某一瞬時(shí)在運(yùn)動(dòng)無(wú)黏性（理想）液體中取出棱邊為，，的一微小平行六面體。六面體中心為，該點(diǎn)壓強(qiáng)為（）（圖1）。

1.2 受力分析

作用在流體上力，按其作用方式分為表面力和質(zhì)量力。以方向?yàn)槔?，?duì)“微元體”進(jìn)行受力分析，對(duì)表面力取泰勒（Taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前兩項(xiàng)。

a.表面力（以方向?yàn)槔┌▔簯?yīng)力和剪應(yīng)力

b. 質(zhì)量力

1.3 導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)關(guān)系

由牛頓第二定律，作用在微元六面體上的合外力在某坐標(biāo)軸方向投影的代數(shù)和等于此流體微元質(zhì)量乘以其在同軸方向的分加速度。以軸方向?yàn)槔?

（5）

上式即理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，又稱(chēng)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式。該式是牛頓第二定律的流體力學(xué)表達(dá)式，是理想流體運(yùn)動(dòng)的基本控制方程式，是研究理想流體各種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)。其物理意義可表示為作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與表面力之代數(shù)和等于其加速度，適用于無(wú)黏性流體，可壓縮流體及不可壓縮流體，恒定流及非恒定流。

1.4 變形化簡(jiǎn)

為了利用這組方程推導(dǎo)沿單個(gè)流線的伯努利方程，將理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程各式分別乘以同一流線上兩鄰點(diǎn)間距離的投影，然后相加，得

1.5 引入限定條件

理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是非線性偏微分方程組，只有特定條件下的積分，其中最著名的是伯努利（Bernoulli）積分。在積分之前，需要引入以下限定條件：

上述理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程沿流線的積分稱(chēng)為伯努利積分，又稱(chēng)理想液體恒定元流能量方程。

2 伯努利方程的元流推導(dǎo)過(guò)程

在理想液體恒定流中取一微小流束（元流），并截取1-1和2-2斷面間的微分流段來(lái)研究。將流段近似作為柱體，過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，該流段沿著流動(dòng)方向流動(dòng)（圖2）。

根據(jù)牛頓第二定律：作用在ds流段上的外力沿s 方向的合力，應(yīng)等于該流段質(zhì)量與其加速度的乘積。

式（12）為不可壓縮理想液體恒定元流能量方程，是由瑞士科學(xué)家伯努利于1738年首先推導(dǎo)出來(lái)的，所以又稱(chēng)為理想液體恒定元流伯努利方程[15]。

伯努利方程的適用于（1）無(wú)粘性流體，（2）不可壓縮流體，（3）恒定流，（4）沿流線，應(yīng)用伯努利方程時(shí)必須確認(rèn)四個(gè)條件同時(shí)滿(mǎn)足。

3 討論與分析

除了上述采用“微元體”和“元流”兩種思路推導(dǎo)伯努利方程以外，理想流體伯努利方程還可簡(jiǎn)單的利用理論力學(xué)或物理學(xué)中的動(dòng)能定理推導(dǎo)得出。從能量意義上來(lái)看，方程表示單位重量的理想流體沿流線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其攜帶的總能量在所流經(jīng)的路程上任意位置時(shí)總是保持不變的，但其位勢(shì)能、壓力勢(shì)能和動(dòng)能是可以相互轉(zhuǎn)化的；從幾何意義上來(lái)看，方程表示理想流體沿流線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置水頭、壓強(qiáng)水頭、速度水頭可能有變化或三個(gè)水頭之間相互轉(zhuǎn)化，但其各水頭之和總是保持不變。

伯努利方程（能量方程）是從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)討論水流各運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系，是能量守恒在水流運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)。無(wú)論是“微元體”思想還是“元流”思想推導(dǎo)伯努利方程，都是從動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)的牛頓第二定律出發(fā)，計(jì)算“微元體”或“元流”各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)狀態(tài)，并進(jìn)行受力分析，列方程積分得到伯努利方程。

根據(jù)以人才培養(yǎng)為根本、以提高質(zhì)量為核心的本科教學(xué)理念，結(jié)合“水力學(xué)”課程教學(xué)目標(biāo)和課程特點(diǎn)，制定的教學(xué)改革思路如下：（1）通過(guò)對(duì)各個(gè)專(zhuān)題深入分析研究和教學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐，采用由一元、二元到三元的課程體系、由可壓縮到不可壓縮、由理想到粘性這一系統(tǒng)化的理論教學(xué)體系；（2）在理論教學(xué)的過(guò)程中，注重實(shí)踐性教學(xué)改革探索。主要體現(xiàn)在上好實(shí)驗(yàn)課，從直觀演示到動(dòng)手操作，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；精心選題，貼近實(shí)際工程，創(chuàng)造現(xiàn)場(chǎng)氛圍；（3）吸取國(guó)內(nèi)外水力學(xué)教材精華，在理論推導(dǎo)中融合新的工程水力學(xué)思想和問(wèn)題，拓寬學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)與知識(shí)體系；（4）在課堂上舉出應(yīng)用伯努利方程能夠解決的實(shí)際例子，比如畢托管測(cè)速儀、容器中液體在重力作用下的外泄、液體從內(nèi)有超壓的容器中外泄、駐點(diǎn)流動(dòng)、高速列車(chē)的窗玻璃發(fā)生向外破裂等，幫助學(xué)生理解方程的重要性；（5）正確處理好教學(xué)與科研的關(guān)系。以科研帶動(dòng)教學(xué)，以教學(xué)中遇到的問(wèn)題促進(jìn)科研創(chuàng)新。

4 結(jié)論

針對(duì)水力學(xué)課程中伯努利方程地位重要、概念抽象、具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)物理思想等特點(diǎn)，本文就方程的推導(dǎo)過(guò)程對(duì)水力學(xué)研究型本科教學(xué)進(jìn)行了對(duì)比分析研究，旨在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)體系，強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)類(lèi)比意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的工程應(yīng)用能力。得出的主要結(jié)論如下：

（1）伯努利方程是研究流體最基本最常用的基本規(guī)律之一。掌握伯努利方程的推導(dǎo)過(guò)程和不同條件下方程各項(xiàng)的物理與幾何意義是學(xué)習(xí)流體動(dòng)力學(xué)專(zhuān)題的關(guān)鍵，為了達(dá)到授課的系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性，采用對(duì)不同推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行對(duì)比分析的方法進(jìn)行講授，以達(dá)到學(xué)生真正理解和掌握該方程的意義和實(shí)際應(yīng)用。

（2）采用“微元體”形式或“元流”形式推導(dǎo)伯努利方程，需要對(duì)水力學(xué)教學(xué)過(guò)程是歸結(jié)到采用三元到一元的教學(xué)體系，還是采用由一元到三元的教學(xué)體系進(jìn)行探索?？紤]到適合學(xué)生理解和掌握是第一要素，認(rèn)為采用由一元到三元的教學(xué)體系更易于學(xué)生接受和理解，且采用對(duì)比分析式的教學(xué)方法更能保證學(xué)生對(duì)該方程真正理解和應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)水力學(xué)教學(xué)方式創(chuàng)新性改革的目標(biāo)。

（3）在水力學(xué)授課過(guò)程中，首先將以學(xué)生為主體的教育理念貫穿到教學(xué)過(guò)程中，要提倡和鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展自主性學(xué)習(xí)與探究性學(xué)習(xí)；其次要改革實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法，提倡單獨(dú)開(kāi)設(shè)實(shí)驗(yàn)課，支持學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案；再次要強(qiáng)化理論聯(lián)系實(shí)際的環(huán)節(jié)，提高創(chuàng)新能力的探索與實(shí)踐；最后，始終堅(jiān)持工程科學(xué)與技術(shù)科學(xué)、基礎(chǔ)科學(xué)互相促進(jìn)，互相融合，協(xié)同創(chuàng)新。

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