“數(shù)形兩相依”“永遠莫分離”

周艷紅

華羅庚先生說過：“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時少直觀， 形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合是最重要的數(shù)學思想方法之一.同時數(shù)形結合并不等同于嚴格的證明，又是一把雙刃劍，用得好事半功倍，用不好就會在不知不覺中出現(xiàn)錯誤.我們應力求避免學生在數(shù)形結合中的典型錯誤，充分發(fā)揮數(shù)形結合的作用，使抽象變直觀，復雜變簡單”。數(shù)形結合具體地說就是將抽象數(shù)學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉換來解決數(shù)學問題。在中學數(shù)學的解題中，主要有三種類型：以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”和“數(shù)”“形”結合。數(shù)與形是兩種事物，把這兩種事物變得有形化。

現(xiàn)我就對數(shù)形結合的應用談以下幾點看法：

1、數(shù)形結合，利于激發(fā)學生興趣，把抽象的數(shù)學概念直觀化

數(shù)學，在學生看來是枯燥的、抽象的。數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；如：二年級數(shù)學第一冊中《乘法的引入》用相同的圖像引導學生列出同數(shù)相加的算式，這樣一方面利用數(shù)形結合思想直觀、形象、生動的特點展現(xiàn)乘法的初始狀態(tài)，懂得乘法的由來；另一方面借助學生已有的知識經(jīng)驗——看圖列加法算式，加深了圖、式的對應思想，無形中也降低了教學難度。二年級數(shù)學新教材第一冊中通過游樂場主題圖來引入乘法。在實際課堂教學中運用幻燈片技術展現(xiàn)一條船上有三人，然后依次出現(xiàn)這樣的第二條船，第三條船，一直到第六條船，如何來表示這個場景呢？學生自然會用同數(shù)相加的方法來表示。接著，教師一邊出示滿是船的湖面一邊提出：“如果有20條船，30條船，甚至100條船，你們怎么辦呢？“學生一片嘩然：哦～～！！算式太長了，本子都寫不下呢?！边@時，建立乘法概念水到渠成！教師歸納：可用乘法算式表示——船的條數(shù)乘以一條船的人數(shù)或者用一條船上的人數(shù)乘以船的條數(shù)。數(shù)形結合使學生不僅理解了乘法的意義，而且懂得了乘法是同數(shù)相加的簡便運算。 再如：9的口訣，引導學生在10乘10的方格紙上涂色。1個9，第一行涂9個，10少1；2個9，涂二行，20少2……如此下去，簡明直觀，一目了然。

2、數(shù)形結合，利于發(fā)展學生思維

如果在學生獲得知識和解決問題的過程中讓學生觀察、實驗、分析、概括的過程中看到知識負載的方法、蘊涵的思想，那么，學生所掌握的知識就是靈活的，可遷移的，學生的數(shù)學素質才能得到質的飛躍。如，在講《11—20》各數(shù)認識這節(jié)課中，我先引導學生用小棒1根1根數(shù)到10 ，提問接著怎么數(shù)？ 學生自然地說：“零散的表示10個1，10個1是1個10， 捆成1捆，整捆的小棒表示1個10，然后再添上1根是11。那在計數(shù)器上怎樣撥出11呢？學生一下子就撥出來了。我又問：“十位上的1和個位上的1表示的意義一樣嗎？”學生很自信地說：“十位上的1表示一個10，個位上的1表示一個1。通過擺小棒，計數(shù)器使學生理解一個十和幾個1合起來是十幾。這個過程是邊數(shù)邊擺邊撥邊說組成邊讀數(shù)的活動過程.，給了學生較大的空間，讓學生自己探索學習，從中又培養(yǎng)了學生觀察、動手操作的能力，從而發(fā)展了學生的思維。再如，學習“植樹問題”時，先與學生們一起玩手指游戲。先出示兩個手指，讓學生觀察，有幾個手指幾個間隔？“兩個手指一個間隔?！苯又鍪救齻€手指，讓學生觀察，有幾個手指幾個間隔？“三個手指兩個間隔?！薄瓘亩贸鍪种笖?shù)和間隔數(shù)之間的關系是：手指數(shù)=間隔數(shù)+1。其實在進行植樹問題時，可以和學生們上一節(jié)間隔問題的種子課。就是“間”和“隔”讓孩子們明白是兩種“形”，這樣學生有了形的參照。再下一步認識的植樹問題時，數(shù)與形的結合，讓孩子們認識到這是兩種事物的表現(xiàn)。對于二年級學生來說是最容易理解的。

例如：情境引入后，出示例題：“同學們要在長30米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，兩端也要種。一共需要多少棵樹苗？”如果有了上面種子課的認識“間”和“隔”，那么樹和樹與樹之間的空這兩種有形的實物在學生腦海了就能呈現(xiàn)出“形”的樣子。然后讓學生分組討論，根據(jù)自己的理解列式解答，并設法驗證。匯報時，有些學生是通過畫示意圖，進行“實地”植樹來驗證；更多的學生是通過畫線段圖來說明。大家均驗證出：在兩端都種的情況下，植樹的總棵數(shù)=間隔數(shù)+1。像這樣，把算式形象化，學生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，把數(shù)和形結合起來，使抽象的數(shù)學知識形象化。這樣做既可使學生獲得豐富的表象，發(fā)展空間觀念，又可使學生學好抽象的數(shù)學知識，把抽象邏輯思維與形象思維緊密結合起來，以利于發(fā)展學生的思維能力。

數(shù)形結合是我們解決問題的潤滑劑，它能變抽象為直觀，變復雜為簡單，所以它是數(shù)學的重要思想之一，可有時也會栽跟頭。如果“形”直根于學生的思維，其實什么問題的數(shù)學思考都會水到渠成。我們數(shù)學問題的理解全部都離不開數(shù)與形的有機結合。用好這把“雙刃劍”可以讓我們的教學如魚得水。