論述高中數(shù)學(xué)中集合的類型及基本運(yùn)算

陳俊昊

摘 要：集合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的組成部分，同時(shí)也是開展數(shù)學(xué)更深層次探索的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的很多其他分支都是建立在集合的理論上，例如邏輯推理、函數(shù)分析、概率等方面。集合不單單在學(xué)習(xí)中，生活中也得到越來越廣泛的運(yùn)用，學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中都應(yīng)當(dāng)給予重視，它已經(jīng)成為理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)這門語言的關(guān)鍵。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，集合成為引領(lǐng)學(xué)生踏入高中數(shù)學(xué)的開篇。針對這門基礎(chǔ)語言，本文主要介紹關(guān)于高中數(shù)學(xué)中集合的類型、關(guān)系以及相關(guān)運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);集合概念;類型;運(yùn)算方法

一、集合中元素的特性

首先是確定性。只要構(gòu)成一個(gè)集合，那么集合中的元素就是確定的，可以明顯的知道這個(gè)元素對象是否屬于這個(gè)集合，不會出現(xiàn)含糊的現(xiàn)象。例如，“所有的無理數(shù)”構(gòu)成一個(gè)集合，意思是任何一個(gè)數(shù)要么屬于無理數(shù)，要么不屬于，這個(gè)集合的范圍和元素是非常清晰、確定的。反之，“高個(gè)子的人”無法構(gòu)成一個(gè)集合，不具有確定性，無法對它進(jìn)行元素的歸屬，其范圍是模糊的，除非對它給予一個(gè)確定的數(shù)值。我們一般用A、B、C或其他表示集合，用a、b、c或其他表示集合中的元素，符號“∈”表示屬于，“?”表示不屬于。

其次是互異性。一個(gè)集合當(dāng)中的元素是互異的，也就是集合中不存在重復(fù)的元素。例如，一個(gè)集合中包含“1、2、3”這幾個(gè)數(shù)字，那么不能寫成這個(gè)集合包含數(shù)字“1、2、2、3”，因?yàn)閿?shù)字“2”不能出現(xiàn)重復(fù)的元素。假如可以重復(fù)，就無法明確這個(gè)集合的范圍，造成混亂的局面，這也就是為什么集合具有互異性。

還有就是無序性。我們對一個(gè)集合中元素的順序不作要求，一般只關(guān)注這個(gè)集合當(dāng)中包含哪些元素，而不是它的排序如何。因此，一個(gè)集合中的元素可以是無序的。比如說數(shù)字“1、2、3”和數(shù)字“2、3、1”所表示的是同一個(gè)集合，其中元素的順序可以隨意顛倒。

二、集合的類型及表示方法

（一）集合的分類

集合的類型主要有并集、交集、補(bǔ)集和空集這幾個(gè)類型。

并集指的是一個(gè)集合中的所有元素，其中任意一個(gè)元素要么屬于集合A或者屬于集合B，那么稱這個(gè)集合為A和B的并集，同時(shí)也稱作全集U，集合A和集合B也叫集合U的子集，不管集合U中的元素在A和B中的出現(xiàn)次數(shù)，只要保證元素會出現(xiàn)在這兩個(gè)集合中。

交集是指既屬于集合A又屬于集合B，所構(gòu)成元素的集合，表示這個(gè)集合中的所有元素都會同時(shí)出現(xiàn)在A和B當(dāng)中，該集合同屬于A和B的子集。

補(bǔ)集指的是該集合所有元素屬于全集U卻不屬于集合A的元素所構(gòu)成的集合，叫做集合A的補(bǔ)集，與集合A都是全集U的子集，但相互之間元素不存在任何的交叉。

所謂空集，顧名思義指的是不含任何元素的集合，同時(shí)它也是任何一個(gè)集合的子集，在學(xué)習(xí)過程中通常也是學(xué)生最容易忽略的，以致計(jì)算結(jié)果不全面。

（二）集合的表示方法

通常在書面上表示集合的方法主要有三種，分別是列舉法、描述法和圖示法。

所謂列舉法，是在該集合為有限集，并且元素?cái)?shù)量不多的情況下實(shí)現(xiàn)的，將其中的元素進(jìn)行一一列舉，歸納在大括號內(nèi)表示。這種方法既簡單明了，又能清晰的反映出集合當(dāng)中的所有元素。

通常一個(gè)集合中的元素較多、無限制的時(shí)候，不可能用列舉法來進(jìn)行一一列舉，可以采用描述法的方法進(jìn)行闡述，對其中的元素的規(guī)律進(jìn)行探索。同一個(gè)集合中的元素存在一定的共性，可以針對它們的共同性質(zhì)來進(jìn)行描述，比如說“2的倍數(shù)”所構(gòu)成的集合。

還有一種方法就是圖示法，常用的表示形式就是用一條封閉的曲線構(gòu)成一個(gè)集合，可以是圓形或橢圓形。這個(gè)圖形的個(gè)體就是一個(gè)集合，其內(nèi)部包含的元素就是這個(gè)集合中的元素。

三、關(guān)于集合基本運(yùn)算

集合的運(yùn)算是相當(dāng)廣泛的，在求解不等式的過程中，集合和不等式存在緊密聯(lián)系，往往需要通過轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。在求解一個(gè)函數(shù)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的定義域和值域其實(shí)就是以兩個(gè)集合的形式存在的，集合之間的對應(yīng)關(guān)系可以通過解析式來表示，通過定義域求得值域，成為解答函數(shù)的一個(gè)載體。在表示一個(gè)數(shù)列時(shí)，可以用集合的方式來表示該數(shù)列當(dāng)中所包含的元素，使整個(gè)數(shù)列更直觀、更明了的以一定規(guī)律的形式呈現(xiàn)。

除此之外，在排列組合、圓錐曲線和三角函數(shù)的運(yùn)算當(dāng)中，集合同樣與它們有著千絲萬縷的關(guān)系，成為解題的關(guān)鍵。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，集合可以說是整個(gè)教學(xué)的基礎(chǔ)，充當(dāng)著一個(gè)重要的角色。

四、結(jié)語

其實(shí)高中數(shù)學(xué)中的集合并不難學(xué)，只要了解清楚它的概念和特征，把握其基本運(yùn)算方式，就可以輕易的解決與之關(guān)聯(lián)的其他問題。學(xué)生需要重視集合這一概念的學(xué)習(xí)，其概括性是極強(qiáng)的，無論是在學(xué)習(xí)中還是生活中都廣泛運(yùn)用。其實(shí)學(xué)好數(shù)學(xué)不難，主要理清整個(gè)脈絡(luò)和相互之間的聯(lián)系，所有的難題都會迎刃而解。不管是教師還是學(xué)生都應(yīng)該注重這一點(diǎn)，只有打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，才能以更好地姿態(tài)迎接后面的挑戰(zhàn)。

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