一道題就是一節(jié)課

☉江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)古坳中學(xué)袁紹建

一道題就是一節(jié)課

☉江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)古坳中學(xué)袁紹建

2016年中考已落下帷幕，留給我們的是無(wú)限的思考和深深的總結(jié).一年中考的結(jié)束無(wú)疑給“如何有效復(fù)習(xí)”這個(gè)老話題賦予了新的疑問(wèn)：如何圍繞新教材組織復(fù)習(xí)，如何結(jié)合本地中考試題開(kāi)展解題教學(xué)，更好地踐行課標(biāo)核心理念，科學(xué)備考，迎接2017年中考的到來(lái)？筆者認(rèn)為，用好本地中考題，挖掘其價(jià)值，發(fā)揮其在教育上的價(jià)值，是核心環(huán)節(jié).奇特的授課形式能夠讓事情更容易成功，特別是在中考之前采用此種辦法，能夠讓全部重點(diǎn)貫穿起來(lái)，讓學(xué)生得到更多的知識(shí)養(yǎng)分，改善復(fù)習(xí)效果，更加快速地完成復(fù)習(xí)任務(wù).如是，筆者以2016年中考第26題為案例，使用“一道題就是一節(jié)課”的方案，希望與同行充分交流.

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與BC相交于F、G兩點(diǎn)，且與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，DE∥BC.連接DF、EG.

（1）求證：AB=AC；

（2）已知AB=10，BC=12，求四邊形DFGE是矩形時(shí)⊙O的半徑.

解答：（1）由⊙O與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，得AD=AE.則∠ADE=∠AED.

由DE∥BC，得∠B=∠ADE，∠C=∠AED.

則∠B=∠C.則AB=AC.

圖1

圖2

（2）如圖2，連接AO，交DE于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)N，連接OE、DG.

設(shè)⊙O的半徑為r.

由四邊形DFGE是矩形，得∠DFG=90°.

則DG是⊙O的直徑.

由⊙O與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，得OD⊥AB，OE⊥AC.

又OD=OE，則AN平分∠BAC.

由OD⊥AB，AN⊥BC，得∠ADO=∠ANB=90°.

又∠OAD=∠BAN，則△AOD∽△ABN.

由OD⊥AB，得∠GDB=∠ANB=90°.

又∠B=∠B，則△GBD∽△ABN.

二、題型分析

南京近幾年中考試題中，圓是必考知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常與等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形相結(jié)合進(jìn)行考查，常常定位在較難題的位置.從考查內(nèi)容上看，本題注重對(duì)基本知識(shí)和原理的檢查，同時(shí)其還能夠檢驗(yàn)學(xué)生的幾何直觀和推理能力，從考查形式上看，本題形式多樣，既有幾何證明的考查，又有求線段的長(zhǎng)度，每一問(wèn)所檢驗(yàn)的學(xué)生的能力都不一樣，給不同程度的學(xué)生以不同的體驗(yàn)，既能夠讓后進(jìn)生體驗(yàn)到成功的喜悅，也能夠讓優(yōu)質(zhì)生有

更多的展現(xiàn)的空間，這也正是新課標(biāo)所指出的“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”的精髓；從檢驗(yàn)意義角度看，本文側(cè)重點(diǎn)在于檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系的運(yùn)用.第一問(wèn)涉及切線長(zhǎng)定理、等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，第二問(wèn)涉及切線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)本題的圖形是常見(jiàn)的基本圖形，學(xué)生感覺(jué)十分熟悉，故能公平、合理地考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.作為數(shù)學(xué)考試的大題，其不但考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，還檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力，不單考查學(xué)生的觀念，而且檢驗(yàn)學(xué)生的思想.試題由淺到深，由易到難，層次分明，有較高的選拔功能和區(qū)分度.

筆者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究，發(fā)現(xiàn)南京此類中考題有兩個(gè)特點(diǎn)，其一，每個(gè)小問(wèn)之間存在著緊密的聯(lián)系，常常上一問(wèn)作為下一問(wèn)的條件，或每小問(wèn)之間解決方法類似；其二，題目來(lái)源于課本，圖形均是學(xué)生熟悉的基本圖形，經(jīng)常是由書本例題或習(xí)題中出現(xiàn)的圖形適當(dāng)變形而成.

三、變式研究

在課堂上，為了能讓學(xué)生更好地掌握此類題目，從而解一題，練一類，通一片，不妨對(duì)三角形或圓的位置進(jìn)行適當(dāng)改編，將類似的幾道題放在一起研究.

變式1：如圖3，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn).O是AD上一點(diǎn)，⊙O與BC相切于點(diǎn)D，且與AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F.連接EF.

（1）求證：EF∥BC；

（2）已知AB=5，BC=8，當(dāng)EF是⊙O的直徑時(shí)，求EF的長(zhǎng).

分析：原題中，圖形的位置是：圓與等腰三角形兩腰相切.本題中，圓與等腰三角形（要先證明）的底邊相切，第一問(wèn)證明兩條直線互相平行方法很多，學(xué)生在證明時(shí)可能會(huì)用到切線的性質(zhì)、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，第二問(wèn)在一種特殊的情況下“EF是⊙O的直徑時(shí)”求EF的長(zhǎng)，會(huì)用到相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí).事實(shí)上，這種改編是命題常見(jiàn)的手法，在考試中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn).

圖3

圖4

變式2：如圖4，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點(diǎn).O是AD上一點(diǎn)，⊙O與BC相切于點(diǎn)D，且與AB相交于E、F兩點(diǎn)，與AC相交于G、H兩點(diǎn).連接EG、FH.

（1）求證：EG∥FH；

（2）已知AB=5，BC=6，求FH是⊙O的直徑時(shí)OD的長(zhǎng).

分析：本題中，圓與等腰三角形的底邊相切，但與變式1又有所區(qū)別，⊙O與AB、AC交點(diǎn)的個(gè)數(shù)變多，難度也更大.解決第一問(wèn)方法依然很多，學(xué)生在證明時(shí)除了需運(yùn)用變式1的知識(shí)，還需要用到“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”，解決第二問(wèn)會(huì)用到垂徑定理、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí).由于本題圖形更加復(fù)雜、難度有很大的增加，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有更高的要求.

四、啟示反思

中考，肩負(fù)著導(dǎo)向教學(xué)和選拔人才的重要功能.在當(dāng)今教學(xué)過(guò)程中，普遍存在著重教輕學(xué)、重訓(xùn)練輕理解、重知識(shí)輕思想、重結(jié)果輕過(guò)程的現(xiàn)象.這些教學(xué)中的不良價(jià)值取向都將嚴(yán)重遏制學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展，所以教師要在教學(xué)前多深入研究、教學(xué)后再次反思、練習(xí)后歸納規(guī)律，讓學(xué)生知道，如何去思考和解決一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，才算得上高效，這樣才行之有效.所以筆者提倡在中考復(fù)習(xí)前，一定要善用中考題，因?yàn)橹锌碱}是專家們的心血之作，也代表了一個(gè)地區(qū)命題的風(fēng)格，多對(duì)中考題及變式進(jìn)行訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生短期的提升很有幫助.

1.掌握命題規(guī)律，注重題組訓(xùn)練

縱觀近幾年的中考題，不難發(fā)現(xiàn)，很多考題源于課本，故建議教師在教學(xué)的過(guò)程中重視課本的教學(xué)，要以課本為載體，讓學(xué)生熟練掌握研究一些問(wèn)題的步驟、思路和方法.中考前的復(fù)習(xí)，完全可以以中考題為上課重點(diǎn)，以一道題上一節(jié)課，深入研究，真正研究透徹.筆者建議教師注重題組的訓(xùn)練，爭(zhēng)取從一道中考題出發(fā)，多變式，做到研究一個(gè)問(wèn)題上升到研究一個(gè)體系，讓學(xué)生真正做到研究一個(gè)題，就會(huì)研究一類題.

2.突出類比研究，一題成就精彩

波利亞說(shuō)過(guò)：“類比是一個(gè)偉大的引路人．”上述例子，從原題到變式，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)某知識(shí)的掌握情況，題組層層相扣，由易到難，讓學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題研究得更深刻，達(dá)到啟發(fā)思維、舉一反三的效果，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的遷移，真正讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、能力達(dá)到提升，實(shí)現(xiàn)課堂的高效發(fā)展，讓學(xué)生在中考中更加勝人一籌．

所以我們的課堂必須有更高的要求，應(yīng)注重融知識(shí)、方法、思想、能力于一體.不能走“題海戰(zhàn)術(shù)”“強(qiáng)化訓(xùn)練”的老路，要開(kāi)展“一道題就是一節(jié)課”的研究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)某類題的特點(diǎn)，把握其規(guī)律，真正讓課堂“高效”起來(lái).Z