各類最值問題的“共性”與“個(gè)性”

■黃　莉

各類最值問題的“共性”與“個(gè)性”

■黃莉

近年來，中考題中最值問題從未缺席。最值問題，既有“共性”，也有“個(gè)性”。本文結(jié)合一些典型例題，將它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析解決。

最小值最短路徑最大利潤

類型一：求有共同端點(diǎn)的線段之和最小值或三角形周長最小值問題

例1如圖1，直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，已知A、B到直線l的垂直距離分別為1和3，兩點(diǎn)的水平距離為3，要在直線l上找一個(gè)點(diǎn)P，使PA+PB的和最小。請(qǐng)?jiān)趫D中找出點(diǎn)P的位置，并計(jì)算PA+PB的最小值。

例2如圖2，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PE+PC的最小值是_____。

例3如圖3，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為（）。

例4如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD=1，將△ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長的最小值是_____。

圖1

圖22

圖3

圖4

圖1-1

圖2-12-1

圖3-1

圖4-1

例1要求PA+PB的最小值，也就是求A、B兩點(diǎn)到同一點(diǎn)的和的最小值，當(dāng)點(diǎn)P在這兩點(diǎn)之間，且三點(diǎn)共線時(shí)它們的距離之和最小，即：兩點(diǎn)之間線段最短。而由于A、B兩點(diǎn)在所要找的直線上點(diǎn)的同一側(cè)，因此想到作其中任一點(diǎn)（A）關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)（A′），則l就是線段AA′的對(duì)稱軸，如圖1-1，根據(jù)對(duì)稱軸上任一點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，從而轉(zhuǎn)化成在直線l上找一點(diǎn)到A′（A的對(duì)稱點(diǎn)）與另一點(diǎn)B的距離之和最小值，于是自然想到連接A′B，A′B與直線l的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn)，再通過構(gòu)造的直角三角形，利用勾股定理計(jì)算線段A′B即可。

例2中的正方形正好是軸對(duì)稱圖形，BD就是其一條對(duì)稱軸，因此直接找到C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A，從而直接連接AE，如圖2-1，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE即可。

例3中的圓也是軸對(duì)稱圖形，直徑MN就是其一條對(duì)稱軸，因此找到B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，從而連接AC，如圖3-1，借助圓中同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系及垂徑定理的內(nèi)容，可知∠AOC＝90°，巧妙構(gòu)造Rt△OAC，根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理可求出AC=，所以PA+PB的最小值為2。

例4雖然是求三角形周長最小值，但由于其中的BE是定值，所以此題實(shí)質(zhì)就是求PC+PB的最小值。而此題的翻折就有軸對(duì)稱圖形，E點(diǎn)就和C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，因此只要求BC的值，再加上BE的值即可，如圖4-1。

因此這一類題目的“共性”就是構(gòu)建“對(duì)稱模型”，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出最小值。

拓展延伸：螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食的最短路徑問題。

例1如圖5，有一個(gè)蟲子想從點(diǎn)A沿棱長為1cm的正方體表面爬到點(diǎn)B，求它爬過的最短路程。

例2圖6是一塊長、寬、高分別是6cm,4cm和3cm的長方體木塊。一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是_____。

例3如圖7，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為。

圖5

圖5-1

圖6

圖6-1

圖6-2

圖6-3

圖7

圖7-1

圖8

圖8-1

例1要求蟲子沿正方體表面爬過的最短路程，需要在從A點(diǎn)到B點(diǎn)的側(cè)面展開圖上找出，因此畫出其側(cè)面展開圖，直接利用勾股定理計(jì)算出線段AB的長度即可。也是利用兩點(diǎn)之間線段最短。

例2是求長方體表面的最短路程，看似和正方體差不多，但是要注意，它們雖然有“共性”，但是又有其“個(gè)性”，正方體的每個(gè)面展開都是全等的正方形，而長方體由于長、寬、高各不相同，它的每個(gè)面展開也不一樣（如圖6-1，6-2，6-3），因此要注意根據(jù)邊的長度，由勾股定理求出長度，再去判斷出最短的距離。

例3要求金屬絲的長，也需將圓柱的側(cè)面展開得到長方形（如圖7-1），找準(zhǔn)A、C兩點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可。

例4求螞蟻沿圓錐表面爬過的最短路程，也是將其側(cè)面展開得到扇形（如圖8-1），根據(jù)題意求出AM的距離即可。

因此這一類題目的“共性”就是利用其側(cè)面展開圖，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，從而再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出最小值。

類型二：二次函數(shù)中的最值問題

例1求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2變式：當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例3變式：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值。

這一類是單純的求二次函數(shù)的最值問題，它們主要根據(jù)自變量的取值范圍不同，作出函數(shù)草圖如下，在所給自變量范圍內(nèi)，觀察圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值。

例2

例3

拓展延伸：實(shí)際問題中的二次函數(shù)最值問題

例1某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)m=162-3x，30≤x≤54。

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

例2已知在△ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20。

（1）寫出△ABC的面積y與BC邊的長x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出面積為48時(shí)BC邊的長；

（2）當(dāng)BC多長時(shí)，△ABC的面積最大？最大面積是多少？

這一類題的“共性”是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——利用二次函數(shù)的知識(shí)來解決，并且此類構(gòu)建最值問題，主要有兩種形式，一是商品經(jīng)營活動(dòng)中的求最大利潤、最大銷量等問題，解此類問題的關(guān)鍵是通過題意及現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系，確定出相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式：

y=（x-30）（162-3x）=-3x2+252x-4860，

30≤x≤54。

另一類是幾何圖形中有關(guān)面積的最值問題，解這類問題關(guān)鍵是要掌握?qǐng)D形面積的求解與表示，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式：

最后觀察其“個(gè)性”，根據(jù)函數(shù)圖像的增減性確定其最值，并注意問題的實(shí)際意義。

最值問題是初中階段的常見問題，這類試題內(nèi)容豐富，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。因此我們需要根據(jù)具體問題，找到其“共性”，將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)“個(gè)性”解決。并且將生活中的經(jīng)濟(jì)問題與數(shù)學(xué)中的最值問題聯(lián)系起來，以達(dá)到最高效率。

（作者為江蘇省徐州市第三十六中學(xué)教師）