在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化方程思想的教學(xué)新探

鄒國星

多年的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，方程思想的滲透在小學(xué)高年級是一個棘手的問題。本文將結(jié)合具體的教學(xué)實踐，探討強(qiáng)化學(xué)生方程思想的教學(xué)方法及策略，為中小銜接打好基礎(chǔ)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化方程思想遇到的障礙分析

方程思想，是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲得解決。方程思想的核心體現(xiàn)就是建模思想與化歸思想。

1.滲透建模思想存在的障礙

（1）強(qiáng)勢的算術(shù)思維定勢

所謂的定勢，是指由于心理操作活動的積累而形成的解決問題的刻板和準(zhǔn)備狀態(tài)，是人們在過去經(jīng)驗的影響下，解決問題的傾向性。學(xué)生從一年級到四年級，所接觸的、學(xué)習(xí)的都是基于現(xiàn)實數(shù)字的操作。經(jīng)過四年的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于用算術(shù)法解決問題，“通過運(yùn)算得到結(jié)果”這一心理操作過程在學(xué)生頭腦中已根深蒂固。

（2）解題步驟繁雜，學(xué)生心理排斥

算術(shù)法是用算式來表示思維的過程，從形式上來看相對簡潔。而列方程解應(yīng)用題有其嚴(yán)格、規(guī)范的步驟與格式，特別是要寫出一長串的文字，以說明將哪個未知數(shù)假設(shè)成已知數(shù)，學(xué)生感覺書寫上特別煩瑣，從而排斥用方程法解決問題。

（3）列方程存在方法上的缺陷

由于學(xué)生長期用算術(shù)法解決問題，而用方程法時未知數(shù)要參與列式、運(yùn)算，這對于有些學(xué)生來說是一個比較難理解的過程，所以有些學(xué)生不是不喜歡“方程”，而是不會運(yùn)用，只能“敬而遠(yuǎn)之”。具體表現(xiàn)在以下幾方面：不會找等量關(guān)系式、不會假設(shè)合適的未知量、不會解方程。

2.滲透化歸思想存在的障礙

（1）學(xué)生方面的原因

①已有經(jīng)驗的負(fù)向遷移

學(xué)生雖然從第二學(xué)段才開始學(xué)習(xí)解方程，但學(xué)生從一年級開始已積累了與方程思想有關(guān)的符號、等式的意義等經(jīng)驗。筆者在教學(xué)完“等式的性質(zhì)”后，請學(xué)生運(yùn)用已有的經(jīng)驗自主探究出解方程的方法，收集學(xué)生作品進(jìn)行統(tǒng)計分析后發(fā)現(xiàn)，77.5%的學(xué)生傾向于運(yùn)用已有的解方程的雛形經(jīng)驗來解方程，這勢必對學(xué)生學(xué)習(xí)利用等式的性質(zhì)來解方程帶來負(fù)面影響。

②學(xué)生嫌其書寫格式麻煩

為盡量避免學(xué)生運(yùn)用四則運(yùn)算關(guān)系解方程經(jīng)驗的負(fù)向遷移，強(qiáng)化用等式的性質(zhì)來解方程，教師往往要求學(xué)生寫出利用等式的性質(zhì)的思維過程，而這種形式上的煩瑣又引起了學(xué)生心理上的反感。

（2）課程方面的原因

①解方程課時安排過少

新教材在編排上將解方程和列方程解決實際問題融合在一起，安排了10個例題的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生既要學(xué)習(xí)列方程解決實際問題的策略，又要探索解方程的方法，這樣的安排難點過于集中，影響了學(xué)生解方程技能的形成。

②難點突出又過于集中

教材的解方程教學(xué)，只安排了形如x±b=c、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c，而忽略了a÷x=b、a-bx=c、3x+6=4x-2等類型方程解法的教學(xué)，而在具體的問題解決中列出這樣的方程是無法避免的。

二、小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化方程思想的策略

1.在列方程教學(xué)中強(qiáng)化建模思想

（1）體會優(yōu)勢，讓列方程成為學(xué)生的應(yīng)然選擇

①方法對比，在過程中感受方程建模思想的價值

學(xué)生從開始學(xué)習(xí)到列方程解決稍復(fù)雜的實際問題，會面臨復(fù)雜的問題情境，學(xué)生運(yùn)用算術(shù)思維解決問題受挫，沖突引發(fā)需求，此時教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程建模的思想解決問題，學(xué)生經(jīng)歷了實現(xiàn)頓悟的過程，從而體驗到方程分析法的優(yōu)勢。

②問題比較，在運(yùn)用中感受方程建模思想的適用性

當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行了一定的列方程解決問題的訓(xùn)練之后，也不可避免由算術(shù)思維的定勢走向了方程分析法的定勢。所以教師要通過設(shè)立對比性練習(xí)，讓學(xué)生感悟到根據(jù)順向思維能直接列出算式計算出結(jié)果的問題適用于算術(shù)法，而逆向思維的、數(shù)量關(guān)系隱蔽的問題應(yīng)該嘗試用列方程的方法來解決。

（2）重點突破，加強(qiáng)尋找等量關(guān)系的方法指導(dǎo)

教師要尋求合適的教學(xué)策略幫助或促進(jìn)學(xué)生識別、分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)起問題中的等量關(guān)系，這是方程教學(xué)的關(guān)鍵。要注重從情境本身去建構(gòu)等量關(guān)系，而不是只強(qiáng)調(diào)抽象的等量關(guān)系。

①抓關(guān)鍵句轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)語言，確定等量關(guān)系

語言表達(dá)是完善思維活動過程的必要手段。方程分析法的顯著優(yōu)勢是順向思考，教師給予學(xué)生說的機(jī)會與時間，學(xué)生抓住關(guān)鍵語句將題中的事理按順序說出，能進(jìn)一步促使學(xué)生將生活情境轉(zhuǎn)譯成數(shù)量關(guān)系，這是學(xué)生把握等量關(guān)系的有效前提。

②數(shù)形結(jié)合有效表征問題，確定等量關(guān)系

學(xué)生對問題進(jìn)行正確的表征，是有效解決問題的前提。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生將問題中的信息用畫線段圖的方式進(jìn)行表征。借助直觀形象的線段圖，學(xué)生能更容易找到等量關(guān)系，從而順利實現(xiàn)方程的建模。

③根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系，確定等量關(guān)系

有些數(shù)量關(guān)系在生活中經(jīng)常接觸，學(xué)生比較熟悉。對于這樣的數(shù)量關(guān)系，可以讓學(xué)生在充分體驗的基礎(chǔ)上再進(jìn)行抽象。在解決問題的應(yīng)用中，教師要關(guān)注鞏固常見的數(shù)量關(guān)系，這對幫助學(xué)生尋找等量關(guān)系有著至關(guān)重要的作用。

④把握不變量，確定等量關(guān)系

面對復(fù)雜的問題情境，學(xué)生往往會感到束手無策，不知如何確定等量關(guān)系式。筆者在教學(xué)中常利用“不變量”的思維，讓學(xué)生通過“不變量”找出等量關(guān)系列出方程，這樣就大大降低了教學(xué)的難度。

2.在解方程教學(xué)中強(qiáng)化化歸思想

（1）運(yùn)用操作原型，專項突破體會抵消思想。

學(xué)生在理解了等式的性質(zhì)之后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用等式的性質(zhì)來解方程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在接受上有很大困難。仔細(xì)研究教材，再次發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏消元的相關(guān)經(jīng)驗，特別是面對形式化的方程時，不知該如何消元，為何要消元。

[案例1]教學(xué)x+10=15

師：你能運(yùn)用自己的方法求出x的值嗎？

（大多數(shù)學(xué)生運(yùn)用四則運(yùn)算的關(guān)系來求解，學(xué)生交流后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)。）

師：你能運(yùn)用我們今天學(xué)習(xí)的等式的性質(zhì)來解方程嗎？

（只有少數(shù)幾個同學(xué)舉手）

師：有點困難，看老師為你提供的材料，能給你帶來啟發(fā)嗎？

生1：我們可以將左邊拿去10g，要使天平保持平衡右邊也要拿去10g。

生2：我們將等式的左右兩邊都減10就可以了。

師：等式兩邊為什么要同時減去10呢？

生：這樣就可以把x+10變成x，我們就可以求出答案了。

操作原型是跨越算理與算法之間的橋梁。教師注重拉長相關(guān)教學(xué)細(xì)節(jié)，以使學(xué)生操作本身所蘊(yùn)藏的抵消思想得以逐步顯性化。學(xué)生在操作的過程中，豐富了體驗，順利實現(xiàn)抵消經(jīng)驗的自然積淀。在此基礎(chǔ)上，教師要加強(qiáng)抵消思想的專項訓(xùn)練，例如：x-15=60，x-15+15=60○□，以實現(xiàn)算法的自動化。

（2）延續(xù)利用畫圖，以用促算體會化歸思想

新教材將方程教學(xué)與列方程解決問題融合在一起，在解決復(fù)雜問題時，很多教師都能引導(dǎo)學(xué)生畫圖來表征問題以實現(xiàn)方程的建模，但畫圖的價值也僅限于列方程。在實際教學(xué)中，筆者將實際問題的解決與解方程結(jié)合到一起，“以用促算”收到了良好的效果。

這樣的微調(diào)更為直觀形象，方程的運(yùn)用本身促進(jìn)了算法的內(nèi)化，化歸思想也能更容易為學(xué)生所理解。

（3）題型延伸類比，整體建構(gòu)提升化歸思想

小學(xué)高年級方程解法教學(xué)滯后于列方程解決問題的教學(xué)（前文已闡述），基于此問題，筆者將教材的結(jié)構(gòu)再次進(jìn)行了微調(diào)。在五年級下冊學(xué)生學(xué)會簡易方程之后，教師增加了兩課時的求解復(fù)雜的方程（例如：（x-3）÷2=8，3x+6=4x-2）。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷求解復(fù)雜方程的過程，將利用等式性質(zhì)求解與算術(shù)思維求解進(jìn)行比較，學(xué)生真切地體會到運(yùn)用等式的性質(zhì)的優(yōu)越性，增強(qiáng)了其利用化歸思想解方程的能動性。教師注重引導(dǎo)學(xué)生反思解方程的過程，在不同類型方程解法的類比中進(jìn)行整體建構(gòu)，深層體悟化歸思想的本質(zhì)。

列方程解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，但教師過度熱衷于將數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分類，會使學(xué)生陷入機(jī)械地列方程解決問題的解題套路中。在教學(xué)中，教師要多鼓勵學(xué)生經(jīng)歷探究問題解決的過程，體會到方程是等價數(shù)學(xué)模型的內(nèi)在本質(zhì)，深刻領(lǐng)會建模思想和化歸思想。只有這樣，學(xué)生才能更好地掌握利用方程思想解決數(shù)學(xué)問題的方法。