整體法在函數解題中的應用

張樹鵬　姚祺鵬

M·克萊因說：“數學不僅是一種方法，一門藝術或一種語言，數學更重要的是一門有著豐富內容的知識體系。”數學的思想方法則是數學的靈魂和精髓。整體思想是高中階段較為重要的數學思想。在解題時，我們往往習慣于從問題的局部出發(fā)，將問題分解成若干個簡單的子問題，然后再各個擊破、分而治之，這是一種常見的有效的方法。但還有許多的數學問題需要我們從整體出發(fā)，突出對問題整體結構的分析、判斷，發(fā)現問題的整體結構特征和邏輯關系從而找到最合理，最簡捷實用的解題方法，使問題化難為易，化繁為簡，提高解題效率。函數是整個中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，是整個中學數學的基礎，也一直是高考中的大熱點，應用整體方法是解決高中函數問題的重要途徑方法。

一、初等函數中“整體換元”的簡用

指數函數、對數函數、冪函數等的復合函數的求解問題中，常將“內層函數”看做一個整體來處理，通過“整體換元”，簡化結構形式，便于試題分析，提高解答的速度與正確性。

案例1：求函數y=+ ?x∈[2，4]的最大值？

整體換元，令t=，所以原函數化為y=t+，因為x∈[2，4]所以t∈[1，2].根據y=t+“雙鉤”函數特征知函數在t∈[1，2]中是單調遞減，也可通過求導判斷函數y=t+的單調性可得原函數在x∈[2，4]的最大值為t=1時的值5。通過整體換元后，簡化了等式方程的結構，提高了答題效率。

二、目標函數中“整體代換”的變用

線性約束條件下，常將目標函數“整體代換”，或調配目標函數結構，充分利用約束條件做整體代換，令我們的解題思路豁然開朗，解題中產生耳目一新的感覺和收獲。

案例2：（2015全國卷）若，y滿足約束條件 ，則z=x+y的最大值為____________。

通解通法;做出可行域，變形目標函數y=-x+z.平移y=-x獲取直線圖形截距最大值，即x=1，y=時zmax=。解法雖得當，但解題繁瑣，用時過長，作為一道填空題，是否有更簡捷實用的解題方法？觀察線性約束條件特點，調配目標函數，做整體代換。z=x+y=（x-2y）+（x+2y）≦×0+×2=

當x-2y=0，x+2y=2，即x=1，y=時zmax=。

比較兩法第二種解法簡便，給人全新的解題感收。同時啟發(fā)我們，能否變形線性條件，利用不等式性質得出目標函數最值？

三、二元函數中“整體代換”的巧用

二元函數最值問題在近幾年的高考中頻頻出現，常見的方法有將二元轉變?yōu)橐辉?、不等式放縮法、基本不等式法、轉化為線性目標函數最值法等，而“常值整體代換”與重組后“整體代換”是求二元函數最值的主要方法。

案例3：（2015南通、揚州、等地高三調研試題）

已知正實數x、y滿足x++3y+=10，則xy的取值范圍為？

本題可用整體代換將二元函數式轉化為一元式，設k=xy，得y=代入x++3y+=10化簡整理成關于x的一元二次方程。然后根據方程在x取值范圍內存在兩個正實根的條件得出xy的取值范圍。我們也可對已知二元等式進行重組變形，做整體處理，利用基本不等式放縮法求得xy的范圍。10= x++3y+=（x+）+（+3y）≧2化簡可得;（3xy-8）（xy-1）≤0，解不等式得xy的取值范圍是。通過常值整體代換與重組后整體代換使二元函數最值的求解峰回路轉，迅速獲得了解題的途徑方法。

四、三角函數中“整體代換”的互用

三角函數中廣泛應用整體法求解，如：求函數對稱軸、對稱中心、單調區(qū)間與最值，均可將看做一個整體，進行整體代換，再利用y=sinx的性質進行處理，在解三角形中也可將正弦公式、余弦公式，整體互代，化簡已知，簡便求解。

五、導函數求解中“整體求導”的活用

函數中常有參數取值范圍的確定與不等式恒成立問題的證明等，常要通過分離參數構造新函數或移項變形構造新函數，將新函數看做整體，通過整體求導確定新函數的單調性，利用不等式性質得出參數范圍，證的不等式恒成立。

綜上所述，數學的教與學不能僅滿足單純知識的積累與演練，在知識的學習和能力提高過程中注意數學思想的整理和深化，才會使學生在學習中清理思維障礙，巧妙解決問題。函數是高中數學的重要內容，函數滲透于整個高中數學中，學習和教學過程中有意識地滲透整體思想，可以使學生從全局著眼，整體把握，簡捷明快地解決問題，從而激發(fā)了學生的數學思維，提高了學生的數學思想。