半群Cn,r(k)的秩和冪等元秩

亓順芹

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 貴州 貴陽(yáng) 550001)

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半群Cn,r(k)的秩和冪等元秩

亓順芹

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 貴州 貴陽(yáng) 550001)

變換半群；保序；降序；冪等元秩；秩

0 引言

設(shè)[n]={1,2,…,n}并賦予自然數(shù)的大小序，Singn是[n]上的奇異變換半群。設(shè)α∈Singn，若對(duì)任意的x∈[n]，有xα≤x，則稱(chēng)α是降序的；若對(duì)任意的x,y∈[n], x≤y?xα≤yα，則稱(chēng)α是保序的。設(shè)Dn和On分別為Singn中的所有降序變換集和所有保序變換集，則Dn和On是Singn的子半群。設(shè)POn=On∪{α:dom(α)?[n],(?x,y∈dom((α))x≤y?xα≤yα}是保序部分變換半群(不含[n]上的恒等變換)，PDn=Dn∪{α:dom(α)?[n],(?x,y∈dom((α))xα≤x}是降序部分變換半群(不含[n]上的恒等變換)。記Cn=Dn∩On,PCn=PDn∩POn，則Cn和PCn是POn(或PDn)的子半群，Cn和PCn分別稱(chēng)為降序且保序變換半群和降序且保序部分變換半群。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)任意的α∈Cn,r(k)(r≥2)，由降序性和保序性易驗(yàn)證α有如下表示法(稱(chēng)為α的標(biāo)準(zhǔn)表示)：

這里：a1

為敘述方便，在Cn,r(k)上引入如下的二元關(guān)系：對(duì)任意的α，,β∈Cn,r(k)，定義

αL◇β?im(α)=im(β)

αR◇β?ker(α)=ker(β)

則L◇,R◇與J◇都是Cn,r(k)上的等價(jià)關(guān)系。易見(jiàn)L◇?J◇,R◇?J◇，對(duì)于1≤m≤r≤n-1，記

設(shè)A是[n]的子集，C是A的子集，如果C滿足：x,y∈C,z∈A,且x≤z≤y?z∈C，則稱(chēng)C是A上的凸子集。

設(shè)S是Cn,r(k)的子集，通常用E(S)表示S中所有冪等元組成的集合。本文未定義的術(shù)語(yǔ)及符號(hào)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)1≤r≤n-1,2≤k≤n，則

引理1 設(shè)α∈Cn,r(k)，則α是冪等元的充要條件是對(duì)任意的t∈im(α)，有

t=min{x:x∈tα-1}。

證明 由于α∈Cn(k)是冪等元的充要條件是對(duì)任意的t∈im(α)，有t∈tα-1，故α∈Cn,r(k)是冪等元的充要條件是對(duì)任意的t∈im(α)，有t=min{x:x∈tα-1}(因此由t∈tα-1且x∈tα-1可推出t=tα=xα≤x)。

證明 任取

顯然kε=k。其中：1=a1maxAi,i=1,2,…,s-1。下面分兩種情形來(lái)證明：

證明 任取

其中1=a1

xγ=v0,(x∈[v0,max(v0α-1)])

xγ=xα,(x∈[[n]v0,max(v0α-1)])

則β,γ是Cn,r(k)的冪等元，于是

Aiβγ=ciγ=v0=Aiα,(x∈[v0,max(v0α-1)])

Aiβγ=ciγ=ai=Aiα,(x∈[[n]v0,max(v0α-1)])

引理4 設(shè)α,β∈Cn,r(k)，若(α,β)∈J◇,(α,αβ)∈J◇，則(αβ,β)∈L◇，(α,αβ)∈R◇。

證明 對(duì)任意的α,β∈Cn,r(k)，若(α,β)∈J◇,(α,αβ)∈J◇，則

定理1的證明：

[1] GOMES G M S,HOWIE J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving Transformations[J].Semigroup Forum,1992(45):272-282.

[2] GARBA G U.On the Idempotent Ranks of Certain Semigroups of Order-Preserving ransformations[J].Portugal Math,1994,51:185-204.

[3] HIGGINS P M.Idempotent Depth in Semigroups of Order-Preserving Mappings [J].Proc Roy Soc Edinburgh Sec A,1994,124(5):1045-1058.

[4] LARADJI A,UMAR A.On Certain Finite Semigroups of Order-Decreasing Transformations I[J].Semigroup Forum,2004,69(2):184-200.

[5] LEVI I.Nilpotent Ranks of Semigroups of Partial Transformations [J].Semigroup Forum,2006,72(3):459-476.

[6] 高榮海,徐波.降序有限部分變換半群的冪等元秩[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,30(8):9-12.

[7] 徐波,馮榮權(quán),高榮海.一類(lèi)變換半群的秩[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40(8):222-224.

[8] 趙平,游泰杰,徐波等.降序且保序有限部分變換半群的冪等元秩[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2011,46(4):75-77.

[9] 趙平,游泰杰,徐波.半群CPOn的秩[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,33(6):106-110.

[10]HOWIE J M.An Introduction to Semigroup Theory [M].London:Academic Press,1976.

Rank and idempotent rank of the semigroups Cn,r(k)

QI Shunqin

(School of Mathematics Science,Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001，China)

transformation semigroup; order-preserving; order-decreasing; idempotent rank; rank

1004—5570(2016)05-0057-03

2016-05-25

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)11461014)

亓順芹(1991-)，女，碩士研究生，研究方向：半群理論及編碼理論，E-mail:2812889092@qq.com.

O152.5

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