反分類討論思想在函數(shù)問題求解中的應(yīng)用

鐵勇

【摘要】反分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)問題的求解有一定的指導(dǎo)作用.結(jié)合數(shù)形結(jié)合、變量代換等反分類的討論思想方式，通過給出典型實(shí)例，詳細(xì)探討反分類討論思想在函數(shù)問題求解中的應(yīng)用，體現(xiàn)出反分類討論思想在求解有關(guān)數(shù)學(xué)問題中的一定的優(yōu)越性和實(shí)用性.

【關(guān)鍵詞】反分類討論思想 函數(shù)問題 應(yīng)用

一、引言

分類討論思想是數(shù)學(xué)問題求解中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，而與分類討論思想相對(duì)立的反分類討論思想在一些數(shù)學(xué)問題的求解中同樣體現(xiàn)出一定的實(shí)用性和應(yīng)用意義.本文結(jié)合數(shù)形結(jié)合、變量代換等反分類的討論思想方式，通過給出典型實(shí)例，詳細(xì)探討反分類討論思想在函數(shù)問題求解中的應(yīng)用，體現(xiàn)出反分類討論思想在求解有關(guān)數(shù)學(xué)問題中的一定的優(yōu)越性和實(shí)用性.

二、反分類討論思想的概念與特性

反分類討論思想主要是抓住整體布局討論的形式，與分類思想不同的是，它要求抓住問題的整體結(jié)構(gòu)，把各種條件和結(jié)論整合起來，從整體去探討問題求解的的一種不分類而整體解決問題的方法.運(yùn)用反分類討論思想分析問題，往往從整體上把握問題的實(shí)質(zhì)，從而有利于正確找出解決問題的思路，達(dá)到解決問題的目的，并不是所有的問題都可以分類討論，有些問題一旦分割開來討論，就會(huì)出現(xiàn)不符合邏輯的情形。條件之間存在著相互制約和相互聯(lián)系的特點(diǎn)，有些問題一旦脫離了某一個(gè)條件，分開討論，結(jié)果必然大相徑庭。在這種情況上，從整體討論入手，就能很好地解決相關(guān)的問題。

三、反分類討論思想在函數(shù)問題求解中的應(yīng)用

（一）反分類思想應(yīng)用于不等式和方程問題

不等式問題往往會(huì)有一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)，因此就會(huì)含有幾個(gè)變量，其中一個(gè)變量在解題的過程中被稱其為主變量.對(duì)于此問題，盡可能不要進(jìn)行分類討論，主變量的存在，依然要影響著其它變量，反過來其它變量也會(huì)制約著函數(shù)的結(jié)果.

例1 若0≤t≤3，使得不等式（x-1）t+x2-4x+3>0恒成立，求x的取值范圍.

分析：在分析此問題時(shí)，如果把x看作主變量，利用求根公式或因式分解討論x的取值范圍，那么解題過程會(huì)比較復(fù)雜且容易出錯(cuò)，在這里，如果采用反分類思想，不妨設(shè)p為主變量，那么就會(huì)有f（t）=t（x-1）+x2-4x+3，同時(shí)，也會(huì)使得不論x處于x>1、x=1、x<1的任一種情況下，總有f（t）的圖象都表示一條直線，這樣變換主變量就不用分類討論了；反而使得問題得到了有效的解決。

解答：把t看作主變量，設(shè)f（t）=t（x-1）+x2-4x+3，函數(shù)f（t）的圖象表示在x范圍內(nèi)的一條直線，要使0≤t≤3時(shí)f（t）>0恒成立，只須在端點(diǎn)的函數(shù)值都大于0即可，而最終計(jì)算可得到x>3或x<0，即x的取值范圍是（-∞，0）∪（3，+∞）。

例2 已知方程log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值.

分析：方程log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]內(nèi)有實(shí)數(shù)根，也就是mt2-2t+2=4在[0.5，2]內(nèi)有實(shí)數(shù)根，通過反分來討論思想，可以通過分析實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果對(duì)m進(jìn)行分類討論，這樣會(huì)使問題變得復(fù)雜化，并且繁瑣的計(jì)算步驟，使得問題不能正確求解，當(dāng)我們確定了t的取值范圍以后，就可以把m變換為主變量來進(jìn)行有效地求解問題，這樣方法可以使得問題得到巧解，從而得到正確的結(jié)果。

解答： log2（mt2-2t+2）=2在[0.5，2]內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則m=2÷t2+2÷t在[0.5，2]內(nèi)有x的實(shí)數(shù)根；設(shè)f（t）=2（1÷t+0.5）2-0.5，則t在[0.5，2]內(nèi)是減函數(shù)，所以當(dāng)t∈[0.5，2]時(shí)，m的取值為m∈[1.5，12]。

小結(jié)：對(duì)于某些特殊的不等式恒成立或方程恒有實(shí)數(shù)根的情形，求解或證明問題，可以通過變換主變量（把參數(shù)與主變量分離，進(jìn)行反分類討論）的方法，轉(zhuǎn)化為討論方程中函數(shù)的單調(diào)性的問題，這種有效的方法是分類討論所不能達(dá)到的效果，從整體上做到不分割而統(tǒng)一討論，從而形成正確的結(jié)果。

（二）反分類思想應(yīng)用于實(shí)變函數(shù)問題

實(shí)變函數(shù)的問題的抽象性和證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，決定了實(shí)變函數(shù)問題的探討，需要尋求某種關(guān)聯(lián)性緊密的求解方法才能有效地解決一些特殊的問題。下面通過兩個(gè)實(shí)例來說明。

例3 一個(gè)無限集可以和它的一個(gè)真子集對(duì)等.

證明：（反證法） 假設(shè)可以和它的一個(gè)真子集對(duì)等的集合是有限集A，則根據(jù)有限集的定義，A和正整數(shù)的某一截段{1，2，3，…，n}（n是確定的正整數(shù)）對(duì)等，不妨設(shè)n=3，則A∪{1，2，3}，而{1，2，3}的真子集只有三個(gè)：{1，2}、{2，3}、{1， 3}，顯然這三個(gè)真子集中任何一個(gè)都不能與{1，2，3}對(duì)等，就不可與A對(duì)等，與假設(shè)矛盾.則可以和它的一個(gè)真子集對(duì)等的不是有限集，而不是有限集的集合只能是無限集，因此，只有一個(gè)無限集才可以和它的一個(gè)真子集對(duì)等.

例4作為伯恩斯坦定理的應(yīng)用，證明：設(shè)C B A，且A～C，則A～B～C.

證明：因?yàn)锳～C B，且B～B A，則根據(jù)上面的定理得到A～B，故A～B～C.

小結(jié)：教材中提到的證法存在著明顯的錯(cuò)誤，因?yàn)轭}設(shè)的兩個(gè)條件：C B A和A～C，僅用到了C B，就得到了C的一個(gè)子集C*～B，而B的一個(gè)子集B*～C，從而得到B～C。此證明過程中，B的一個(gè)子集B*～C，可以理解為B存在的子集B*是C，而C～C，但是不能說明C的一個(gè)子集C*～B，因?yàn)闂l件僅用到C B。此證法最終反映出的就是若C B，則必有B～C，這是錯(cuò)誤的論斷。上面的詳細(xì)證明，也體現(xiàn)出整體討論條件和結(jié)論之間的關(guān)系所呈現(xiàn)出的反分類討論思想，即：給出的兩個(gè)條件全部都體現(xiàn)到證明過程中，成為了有力的依據(jù)，從而得到正確的證明過程。

參考文獻(xiàn)：

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