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    “位置”的背后藏著什么?

    2016-11-25 11:14:54馬建秀
    內(nèi)蒙古教育·綜合版 2016年11期
    關(guān)鍵詞:位置直角坐標意圖

    馬建秀

    “位置”是《數(shù)學》(人教版)五年級上冊第二單元的內(nèi)容。它是學生在學習了上、下、前、后、左、右和東、西、南、北等詞語描述物體方向的基礎上,進一步用數(shù)對確定物體的位置。這一內(nèi)容的學習,基于現(xiàn)實的需要,根據(jù)“行與列”這兩個因素來確定物體的位置,繼而學會用數(shù)對表示具體情境中物體的位置,在“讀懂”平面圖的基礎上用有序數(shù)對來刻畫二維空間中某點的位置。通過本課的學習,使學生從用生活經(jīng)驗描述位置(如“靠近講臺的為第一行”“靠近門的為第一列”)上升為用數(shù)學方法(即“數(shù)對”)確定位置,發(fā)展數(shù)學思考,培養(yǎng)空間觀念。

    對學生而言,只要根據(jù)“數(shù)學規(guī)定”把現(xiàn)實空間位置轉(zhuǎn)化到平面圖上,再遵從“從左向右、從下向上”的原則,就能找到一個數(shù)對與一個物體一一對應,學生易于掌握,學習難度不高。因此,課堂上,常常聽到學生說“這個問題簡單、好做”。對于教師而言,簡單的知識背后需要挖掘什么數(shù)學內(nèi)涵呢?讓學生終生受用,是執(zhí)教者應該思考的。

    在學習知識、掌握能力的同時,讓學生體會基本的數(shù)學思想,是《數(shù)學課程標準》(2011版)的目標要求。對于一些教師來說,知識是顯性的,背后的思想?yún)s是隱性的,霧里看花、水中望月,迷茫而無所適從。筆者在“位置”一課的設計中,試圖讓學生感受平面直角坐標系思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應思想、結(jié)構(gòu)化思想、符號思想、函數(shù)思想、變中不變思想、抽象思想、模型思想……

    下面談談如何從學習材料、問題思考、教學活動與習題設計四個方面,讓學生感悟這些數(shù)學思想。

    一、平面直角坐標系思想

    課前談話:同學們,說一說你們?nèi)ル娪霸嚎措娪皶r,是怎么找到自己的座位的?

    【設計意圖】學生以前能利用第幾排第幾號這兩個信息在電影院找到自己的座位,通過教師的課前談話,他們已有的經(jīng)驗被喚醒,為本課做鋪墊。學生經(jīng)驗中的座位圖,就是直角坐標系的“雛形”。

    問題思考:為什么具備“行”和“列”兩個條件,才能確定位置?

    1.讓學生舉例說明。他們能夠說出確定了“行”,但不知道是這“行”中的哪一個,或者確定了“列”,不知道是這“列”中的第幾個,無法確定位置。

    2.接著小黑板出示直角坐標系“半成品”:即只畫出幾列,沒有畫出行。讓學生到臺前從圖上找到自己的位置,他會數(shù)出自己坐第幾列,再數(shù)出第幾行,用直尺畫出行和列的交叉點。

    3.追問:這一點,屬于“行”還是“列”?學生能夠發(fā)現(xiàn)只有交點才同時屬于“行”和“列”。

    4.你發(fā)現(xiàn)了什么?學生通過畫圖,能夠發(fā)現(xiàn)只有滿足“行”和“列”兩個條件,才能確定唯一的一點,即一點對應一個數(shù)對。

    【設計意圖】此環(huán)節(jié)旨在讓學生發(fā)現(xiàn)為什么同時具備“行”和“列”兩個條件才能確定唯一一點,通過畫圖,發(fā)現(xiàn)兩條直線相交于一點。這一點是建立在原點、方向、單位刻度唯一確定的基礎之上。直角坐標系的建立,它使幾何圖形可以用數(shù)或代數(shù)式表示出來,為學生今后學習“數(shù)與形”做一些鋪墊。

    二、數(shù)形結(jié)合思想與一一對應思想

    學習材料:平面座位圖

    【設計意圖】將空間座位轉(zhuǎn)化為平面圖,是學生學習本課的難點。這需要遵從數(shù)學規(guī)定:以觀察者的角度,圖上按照從左向右的順序排列為列,從下向上的順序排列為行;空間位置從左向右為列,從前向后為行。這是發(fā)展學生空間觀念的極好載體。數(shù)對確定位置的本質(zhì)就是數(shù)與點的一一對應。包括空間方向與平面方向的一一對應,數(shù)與形的一一對應。只有將空間座位的形與數(shù)對應,即由形想數(shù),才能用這個數(shù)對找到平面的唯一點(即由數(shù)想形)。數(shù)對就是這個轉(zhuǎn)換過程的橋梁紐帶。

    習題設計:

    1.(2,2)(2,4)這兩個數(shù)對有什么特點?你能想到它的圖形嗎?

    2.(3,5) (6,5)呢?由此你發(fā)現(xiàn)了什么?

    3.出示點子圖:

    ①圖上三個紅點連起來是什么圖形?

    ②如果要形成平行四邊形,需要把哪個黑點變成紅點。

    ③這個點的數(shù)對是什么?可以看作把哪個點平移幾個格形成?

    【設計意圖】“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”。本題是感悟數(shù)形結(jié)合的很好載體。形幫數(shù),數(shù)助形的同時,還能將平移知識融入,考查學生綜合運用知識的能力。

    教學活動:

    規(guī)則:老師請一個同學出來說數(shù)對,這個同學再找另一個同學到黑板的平面座位圖上把這個點找出來,然后對應空間座位那個同學站起來。站對的同學再出來說數(shù)對,重復活動。

    【設計意圖】此活動需要學生帶著問題,思維在不同個體中形成連鎖反應,全班同學都能參與,可謂“以點帶面”。此活動學生在思中學,學中悟,熱鬧的背后,一一對應與數(shù)形結(jié)合思想潛移默化在他們心中。同時也感悟到有了一一對應的關(guān)系,就便于交流與溝通,就能使空間有結(jié)構(gòu)、有序,使我們的認知不混亂。

    三、結(jié)構(gòu)化思想與符號思想

    導入新課:老師要找一個同學回答問題,他在第4排的第3個,會是誰呢?

    【設計意圖】學生會指出同時有四個同學符合條件。使他們感受到?jīng)]有規(guī)定目標是不確定的,生活是紊亂的,從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的必要性。

    問題思考:老師要想從他們四個之中只選一個怎么辦?

    【設計意圖】學生討論的結(jié)果是必須得有個人為規(guī)定:是從左向右還是從右向左。在認知沖突中,體會數(shù)學規(guī)定的必要性和合理性,讓學生經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化的過程。

    學習材料:出示座位圖,在座位圖的下方和左側(cè)標出1、2、3……這樣就建立了坐標系的初步表象,再把數(shù)字連接成一條直線,就出現(xiàn)了數(shù)軸。

    【設計意圖】原來的座位圖在直角坐標系中刻畫,其結(jié)構(gòu)清晰化。

    問題思考:

    1.如何簡潔地表示第3行的第2列?

    請學生將自己的表示方法一一呈現(xiàn)在黑板上。并說出某些表示方法不合理的理由。

    2.(3,2)(2,3)這兩種表示方法,有什么不同?

    3.如何才能讓大家都看明白?

    【設計意圖】讓學生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程,發(fā)展符號意識,使學生感受到數(shù)學語言的魅力,同時體會符號的簡潔性。同一個位置可以出現(xiàn)兩種記法,必須統(tǒng)一才便于溝通與交流,結(jié)構(gòu)化思想隨之產(chǎn)生。

    四、函數(shù)思想

    習題設計:在方格中描出(1,1)(2,2) (3,3)(4,4)(5,5)的位置。

    【設計意圖】通過描點,使學生發(fā)現(xiàn)這些點在一條斜線上。

    問題思考:

    1.這些點有什么特點?學生看出行數(shù)和列數(shù)相同。

    2.能連成什么圖形?通過動手操作,能連成一條直線。

    3.你還能說出一個數(shù)對的點也是在這條斜線上較遠的位置嗎?

    4.(x,x)表示什么意思?

    【設計意圖】發(fā)展學生的空間想象力,為以后學習y=x的正比例函數(shù)做準備。

    教學活動:

    師:下課了,我想請同學們帶著今天的知識離開課堂,走出數(shù)學味。

    1.(5,6)同學先走

    2.(x,4)同學離開

    3.(4,y)同學離開

    4.(x,y)同學走

    【設計意圖】學生帶著問題離開課堂,充滿了喜悅和好奇,覺得這樣的數(shù)學課很有趣。使在游戲活動中加深了對數(shù)學知識的鞏固,悄悄地滲透函數(shù)思想。

    五、變中不變思想

    問題思考:

    1.如果我們班的黑板在窗戶這面,表示你位置的數(shù)對會不會改變?請嘗試寫出來。

    2.你發(fā)現(xiàn)了什么?學生發(fā)現(xiàn)數(shù)對變了。

    3.什么變了,什么沒變?大部分學生發(fā)現(xiàn)數(shù)對變了,位置沒變。

    4.造成數(shù)對變的直接原因是什么?“行”和“列”變了。

    5.由此你想說什么?

    【設計意圖】使學生進一步感受確定行和列,要以觀察者角度考察,數(shù)對隨觀察者的角度改變而改變,不變的是位置,感受變中有不變的現(xiàn)象存在。

    六、抽象思想

    學習材料:空間座位——平面圖形——點子圖——直角坐標系——數(shù)對。

    【設計意圖】學習材料的呈現(xiàn)是逐步的抽象,順應學生的認知特點,發(fā)展和體會抽象思想。

    習題設計:把自己的位置用直尺在坐標系上畫出來。

    【設計意圖】把學生站成一排成一列抽象成一條直線,再把兩隊交叉那個同學抽象成一個點。抽象思想是最上位的思想,貫穿于數(shù)學學習活動中,有了抽象才能把生活問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題,用數(shù)學的方法解決。

    七、模型思想

    問題思考:生活中還有哪里用數(shù)對確定位置?

    學生可能會說出停車場、門牌號、電影院、操場站隊、儲物柜、課程表……

    【設計意圖】這些生活中的問題,能夠運用數(shù)對這個數(shù)學模型來解決,就使生活問題數(shù)學化。建立模型思想,才能把生活問題運用數(shù)學模型解決,溝通數(shù)學與生活的關(guān)系。

    新課程理念中,不僅要讓學生學會知識形成能力,更重要的是讓學生從中體會一些基本思想?!拔恢谩币徽n的設計,在顯性知識的背后,挖掘出諸多的數(shù)學思想,通過這一課例,或許能給數(shù)學教師指明一點方向:當學生把學過的知識及做過的習題遺忘后,只有數(shù)學思想才能沉淀下來,為學生的終生發(fā)展服務。人們都說:“一流的教師教思想,二流的教師教方法,三流的教師教知識”,成為一流教師應該是我們不懈的追求。

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