從一次調(diào)研測試談?wù)勵惐韧评淼慕虒W

筅江蘇省蘇州實驗中學　丁益民

從一次調(diào)研測試談?wù)勵惐韧评淼慕虒W

筅江蘇省蘇州實驗中學丁益民

一、從一次調(diào)研試題的解答情況中發(fā)現(xiàn)問題

前不久，我校高二年級組織了一次調(diào)研測試，在試卷中命制了如下三道試題：

題1在平面內(nèi)，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=.運用類比的思想，我們可以解決下面的問題：在空間內(nèi)，點P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距離d=_______.

圖1　

題2如圖1，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π（R2-r2）＝（R-r）×2π×所以，圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R-r為寬，以AB中點繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×為長的矩形面積.請你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M＝｛（x，y）|（x-3）2＋y2≤4｝繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是________.

題3物理學家開普勒說過：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密……它應(yīng)該是最不容忽視的.”我們要重視“類比”在解題中的應(yīng)用，比如，遇到“的結(jié)構(gòu)時可類比正切的和角公式.請運用“類比”思想解答下列問題：

三道試題的命制旨在調(diào)研“類比推理”的教學情況，試題在設(shè)計上由簡單到復雜進行多維考查——先是對已有命題進行簡單的形式化類比，再到對已有命題中的有關(guān)數(shù)學“元素”（對象、概念、尤其是思想方法）的認知進行思想方法的類比，最后上升至能自覺并創(chuàng)造性地運用類比思想進行學習活動.

通過統(tǒng)計與調(diào)查，測試題的基本情況如下：

題號得分情況情況反饋1均分4.63分（滿分5分）大部分學生反映較易，僅需類比已知命題的形式進行相關(guān)數(shù)據(jù)的運算即可. 2均分1.85分（滿分5分）未能解答出此題的學生反映：（1）未能真正讀懂已知命題的數(shù)學意義；（2）不會將已有命題中的“對象”（矩形）類比出新的“對象”（圓柱）；（3）不能運用已有命題的信息獲得類比出圓柱的高. 3均分7.66分（滿分16分）大部分學生得分在第（1）問，但有近一半的學生沒有借助提示語（遇到“x+y 1-x y”的結(jié)構(gòu)時可類比正切的和角公式）進行解題，而是直接憑已有經(jīng)驗將“tan11π 15”直接運用和角的正切公式展開后切化弦進行求解；對于第（2）問，很多學生表現(xiàn)出沒有思路，未能尋找到合適的類比“源頭”.

結(jié)合上表，訪談部分教師，可見當前“類比推理”的教學現(xiàn)狀是：

（1）沒有形成相對完整的類比推理體系，對常見同構(gòu)對象的關(guān)聯(lián)缺乏分析.比如，“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”之間的類比更多地憑直覺類比，不能選擇恰當?shù)囊暯欠治鰞蓚€數(shù)列在運算上的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，進而不能準確地進行相關(guān)的類比推理.

（2）類比過程機械程式化，類比結(jié)果浮于表面形式，缺少思想內(nèi)涵的分析.比如，將平面幾何與空間立體幾何之間的類比簡單地認為只要將“2”改成“3”，如“在矩形ABCD中，對角線AC與相鄰兩邊所成的角為α，β，則cos2α+cos2β=1.類比到空間中一個正確命題是：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線AC1與相鄰三個面所成的角為α，β，γ，則有______.”很多學生簡單地改寫為“cos2α+ cos2β+cos2γ=1”、“cos3α+cos3β+cos3γ=1”等錯誤結(jié)論，其原因就在于不能發(fā)現(xiàn)平面幾何結(jié)論中的思想內(nèi)涵，不能準確地將其中的思想方法拓展到空間中去.

（3）類比推理的教學定位偏低，沒有凸顯出類比推理的思維過程和思維價值.比如，有些教師試圖通過幾道題的講解與訓練就認為完成了“類比”的教學目標，然后讓學生云里霧里地去“依葫蘆畫瓢”，在這樣的教學中，學生獲得的認知顯然只是類比的“外殼”，對類比推理的理解幾乎就停留在表淺形式的模仿層面.

二、從教學定位、認知困難角度分析問題

1.“類比推理”的教學目標定位

類比推理，是根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也有相似或相同的推理方法.類比推理的思維過程大致是：觀察、比較→聯(lián)想、類推→猜測新的結(jié)論.類比推理是一種富有創(chuàng)造性的邏輯思維，數(shù)學家波利亞曾將類比推理比喻為“偉大的引路人”.

筆者認為，在教學中應(yīng)充分發(fā)揮類比推理的教學價值——不僅要讓學生能根據(jù)已知的概念、性質(zhì)、結(jié)論等進行類比，得到新命題，獲得新結(jié)論，更重要的是通過推理的學習形成類比的思維方式，并能主動運用類比的思想解決問題.那么，類比推理的教學定位應(yīng)該是以形成完整規(guī)范的類比思維而展開教學活動，充分認識類比思想的科學價值.顯然這是一個由低到高、逐步認知的螺旋上升過程，這樣的遞進過程為：首先能通過簡單的類比推理案例感受類比的思維過程，再到從已有命題中發(fā)現(xiàn)“思想方法”后進行內(nèi)涵性類比，最終形成科學的可操作的類比思維，并能運用于研究具體問題中去.

2.“類比推理”認知困難分析

根據(jù)教學內(nèi)容的特點以及學生的學習經(jīng)歷和認知結(jié)構(gòu)，造成“類比推理”認知困難主要有以下原因：

（1）長期形式化的推理方式的影響.就內(nèi)容而言，歸納推理注重的往往重在某個（類）形式化的結(jié)論，比如等式、不等式的歸納猜想，而類比推理的思維起點是從已有結(jié)論中發(fā)現(xiàn)承載的思想方法或數(shù)學操作方式，思維的要求明顯更復雜.學生從小學起就頻繁接觸“歸納”（如找規(guī)律），從形式上進行歸納推理已成為他們進行推理的主要思維方式，他們不知不覺地將這樣的方式慣性地用到類比推理中去，將兩者的思維過程等同處理.類比推理往往不是簡簡單單地將結(jié)論進行形式化改寫，而是對思維對象中相關(guān)思想方法進行過程性類比，簡單機械的形式改寫得到的結(jié)論根本就不具有科學性，只有關(guān)乎問題本質(zhì)的類比才是類比推理的核心所在.

（2）缺少具體可循的操作系統(tǒng)支撐.從認知系統(tǒng)來看，類比是兩個具有同構(gòu)關(guān)系的模型之間的推理，盡管學生可以在書本、作業(yè)習題中接觸到一些類比問題，但對于常見的同構(gòu)模型，特別是零散在各個知識單元中的類比內(nèi)容，由于沒有具體的操作系統(tǒng)可供參考，導致學生在進行類比時更多地憑感覺去臆想，增加了類比結(jié)論的盲目性.同時，從上面調(diào)研測試的反饋情況可知，對類比對象中的內(nèi)涵認識缺乏也是學生覺得類比推理困難的原因之一.在進行類比推理時，首先要找出兩類對象間已經(jīng)明確表征的相似屬性，但有些學生對此認識模糊不清，憑空亂想，停留在“只可意會，不可言傳”的懵懂狀態(tài).如上面的題2，很多學生錯的原因就是沒有找到已有命題中的“化不規(guī)則為規(guī)則”、“化曲為直”的思想內(nèi)涵，從而不能將此轉(zhuǎn)化為進行類比的信息源頭，導致類比的思維過程失敗.

（3）教學方式的“簡單粗暴”.實際教學似乎更加關(guān)注類比的結(jié)論，而對類比的過程以及過程中內(nèi)涵分析卻不肯花時間，這就不難解釋為何很多學生的類比只停留在“形似”的表象，而非真正意義上的類比.我們不應(yīng)該糾纏于表面的“形式”，適度形式化，重在提高類比過程的分析，特別要重視引導學生從已知命題中尋找類比信息源的思維過程，引導他們分析兩類同構(gòu)對象的相關(guān)屬性（維度、運算、定義、法則等）的差異與聯(lián)系，并盡可能地引導他們尋找常見同構(gòu)對象可進行類比的基本單元.

三、類比推理教學中的兩點建議

1.建構(gòu)明確的類比模型系統(tǒng)

任何知識都不是孤立存在的，知識間的相互作用下形成了一個復雜的龐大系統(tǒng).缺乏體系的數(shù)學學習，學生獲得的往往是孤立的個體，缺乏體系的學習，將是盲目的學習，低效的學習.

就類比對象而言，可將其粗分為系統(tǒng)間的類比與系統(tǒng)內(nèi)的類比.系統(tǒng)間的類比是指兩個不同知識系統(tǒng)之間在概念、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面較為完整的類比，比如等式與不等式、數(shù)量與向量、平面幾何與立體幾何之間的類比等；系統(tǒng)內(nèi)的類比是指同一知識系統(tǒng)之內(nèi)的兩個不同對象在某些方面的類比，如實數(shù)運算中的加法與乘法、數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列、圓錐曲線中的橢圓與雙曲線之間的類比等.

在教學中，不僅要明確了類比對象的區(qū)別，還要明確類比對象的相似特性，特別是推理過程中是從哪些已知的“相似性”推出未知的“相似性”，并引導學生將其中的“相似性”用準確的數(shù)學語言表征出來，形成運用類比推理解決某一類對象思維范式.比如，平面幾何與立體幾何的類比中，可引導學生從“維度”的角度建立起相關(guān)相似性；數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比中，可引導學生從“運算”的角度建立其相關(guān)相似性.

從平面幾何與立體幾何之間的不同對象、不同測度在“維度”上的差異建立關(guān)聯(lián)

通過指數(shù)運算與對數(shù)運算溝通等差數(shù)列與等比數(shù)列在運算上的關(guān)聯(lián)

只有在學生頭腦中形成較為明確的模型系統(tǒng)及相似性的表征方式，才有可能在類比時根據(jù)不同的模型迅速找到類比推理的正確途徑，從而形成正確有效的思維過程.

2.注重類比推理的過程性教學

類比推理不僅是結(jié)論的類比，更是思維過程的類比.在教學中，我們不僅要鼓勵學生根據(jù)類比對象的相似性及類比規(guī)律進行大膽猜想，得到最合理的結(jié)論，還要要求學生對類比的思維過程進行分析，理性地去檢驗類比結(jié)論的正確性.這個檢驗的過程有時可能會是漫長而曲折的，而且當猜想的結(jié)論不成立時，還需根據(jù)“類比”過程進行分析并作出相應(yīng)的調(diào)整與改變.

類比思維的形成需要一個長期的過程，這就需要在教學中有意識地運用“類比”進行教學組織，選擇具有同構(gòu)特征的認知素材進行“類比”，讓新知的獲得建立在熟悉的先行組織者之上，使得知識的生成更加的理性與飽滿.比如，在“二面角”的教學中，我們就可以運用“類比”進行概念的建構(gòu).

組織材料組織方式新的認知需求1.之前怎么定義“角”？類比現(xiàn)在怎么定義“二面角”？2.1靜態(tài)定義中有哪些元素？（頂點、兩條射線）按此方式，“二面角”需要定義哪些元素？2.2旋轉(zhuǎn)定義中有哪些元素？（始邊、頂點、終邊）按此方式，“二面角”也需要哪些元素？3.角怎么畫？（形的表征）二面角怎么畫？4.之前角怎么表示？（形的具象）同樣的方式，二面角怎么表示？

由上表可以看出，從學生原有認知中的“角”出發(fā)，通過類比的思維方式獲得了“二面角”概念，學生對“二面角”的建構(gòu)更多的是理性認識，對“類比”水平的提升與教學價值也將得到相應(yīng)的提升.

1.潘紅玉.類比推理讓規(guī)律探究更深入——由一則教學案例談起［J］.中學數(shù)學（下），2015（4）.

2.濮陽康和.類比推理的難因分析及教學策略［J］.數(shù)學通報，2012（11）.Z