一類非線性Schr?dinger-Kirchhoff系統(tǒng)基態(tài)解的存在性

吳曉蕾

（呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西離石033000）

一類非線性Schr?dinger-Kirchhoff系統(tǒng)基態(tài)解的存在性

吳曉蕾

（呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西離石033000）

文章主要利用變分方法討論帶有周期位勢(shì)V(x)，但不含(AR)條件的Schr?dinger-Kirchhoff型方程基態(tài)解的存在性。

Schr?dinger-Kirchhoff型方程;基態(tài)解；變分法；臨界點(diǎn)

文章主要討論下面的Schr?dinger-Kirchhoff型方程

在(1)中，若V(x)=0，則對(duì)應(yīng)的方程為kirchhoff型方程；若b=0，則對(duì)應(yīng)的方程為Schr?dingerpoisson方程。這種類型的方程起源于數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象，且應(yīng)用十分廣泛。例如在研究定波逆射的時(shí)候，就涉及到此問(wèn)題，其中方程的解為相應(yīng)的擴(kuò)散反應(yīng)方程的穩(wěn)定點(diǎn)，而這種反應(yīng)擴(kuò)散方程在化學(xué)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)現(xiàn)象中也形成了模型。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要研究了這兩類方程的超線性及漸進(jìn)線性問(wèn)題，周期及非周期性問(wèn)題，徑向?qū)ΨQ問(wèn)題等[1-3]。事實(shí)上，研究這類問(wèn)題難點(diǎn)有兩個(gè)：一是(ps)序列或(Ce)序列的有界性；二是嵌入的緊性。本篇文章在上述知識(shí)的基礎(chǔ)上，利用變分方法克服了這兩個(gè)問(wèn)題，討論了(1)的基態(tài)解的存在性。

為討論方便，f∈C(R3,R),f(0)=0，

還需要滿足下列假設(shè)條件：

對(duì)x∈R3,y∈Z3一致成立；

(H3)存在c＞0,p∈(2,4)使得對(duì)任意s∈R+,|f(s)|≤c(s+|s|p-1)；

引理1若 {un}?M為I的一個(gè)(Ce)序列,即(1+||un||)I'(un)→0),而且有I(un)有界,則{}un有下列特點(diǎn)：

1)存在h＞0,limn→i∞n f ||un||≥h；

2){un}?M有界；

證明1)由(H2)，(H3)得F(s)≤εs2+Cεsp，則

由于p∈(2,4),ε→0,于是泛函I有下界。即

因此存在h＞0,滿足

2)假設(shè){un}無(wú)界,令則||wn||=1,存在子列使得在M上，在(2≤p＜6)上,wn→w;幾乎處處在R3上wn→w。此時(shí)有下列兩種可能情形。

情形1：若w≠0，我們有一方面

另一方面，在Ω={x∈R3|w(x)≠0}上

由于|Ω|＞0，利用Fatou引理得

矛盾。

情形2：若w=0，取yn∈Z3，定義

vn=wn(x+yn)，由于V(x)為周期函數(shù),我們有||vn||=||wn||=1，|vn|p=|wn|p，I(vn)=I(wn)，則存在弱收斂的子列{vn} ，在M上，；在上(2≤p＜6),vn→v;幾乎處處在R3上vn→v。若存在yn，滿足

將會(huì)得到與w≠0同樣的矛盾。假設(shè)存在yn，使，所以對(duì)任意p∈(2,4)有

否則，將存在p∈(2,4)，δ＞0,zn∈R3滿足

取yn∈B2(zn),B1(yn)?B2(yn)，從而，即

而a≥1矛盾，因此{(lán)un}有界。

結(jié)合1)我們可得到下面矛盾

引理2V滿足(V0)，f滿足(H2),(H3),則存在r＞0,e∈M,||e||＞r使得

證明由于I(u)有下界，則顯然存在b,r有||u||=r}＞I(0)=0。因?yàn)橛?H2),(H3)得到存在C＞0,任意M＞0有F(s)≥Ms4-Cs2，于是

當(dāng)M＞0充分大，t→∞時(shí)，記e=tu，顯然滿足||e||＞r且I(e)＜0=I(0)。

由山路定理[4]知，存在（Ce）序列{}un滿足

定理1V,f分別滿足假設(shè)條件(V0),(H2)-(H4),則系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)基態(tài)能量解。

證明引理1，引理2說(shuō)明了u為系統(tǒng)(1)的非平凡解，且I(u)≥c，接下來(lái)證I(u)=c。結(jié)合Fatou引理可得

因此I(u)=c，u為系統(tǒng)(1)一個(gè)基態(tài)解。

[1]APRILE T D,MUGNAI D.Solitary waves for nonlinear Klein-Gordon-Maxwell and Schr?dinger-Maxwell equations[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2004(134)：893-906.

[2]COCLITE G M,GEORGIEV V.Solitary waves for Maxwell-Schrodinger equations[J].Differential Equations,2004(94)：1-31.

[3]WU X.Existence of nontrivial solutions and high energy solutions for Schr?diger-Kirchhoff ty-pe equations inRN[J].Nonlinear Anal.2011(12);1278-1287.

[4]王術(shù).Sobolev空間與偏微分方程理論[M].北京：科學(xué)出版社,2009.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Existence of the Ground State Solution for a Class of the Nonlinear Schr?dinger-Kirchhoff System

WU Xiao-lei
(Department of Mathematics,Luliang University,Lishi Shanxi,033000)

In this paper,we study existence of the ground state solution for a class of the non-linear Schr?ddinger-Kirchhoff system with period potentialV(x)and without(AR)condition by variational method.

Schr?dinger-kirchhoff system;the ground state solution;variational method;the critical point

O177.91

A

1674-0874(2016)03-0024-03

2016-03-08

吳曉蕾（1987-），女，山西運(yùn)城人，碩士，助教，研究方向：非線性泛函分析與非線性微分方程。