孫臻
(甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣三合中學(xué),甘肅 平?jīng)?743419)
中考數(shù)學(xué)探索型問題的特征分析
孫臻
(甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣三合中學(xué),甘肅 平?jīng)?743419)
眾所周知,探索型問題是近年來中考數(shù)學(xué)試題中的熱點(diǎn)問題,因?yàn)榇祟悊栴}有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,有利于學(xué)生主體意識(shí)及主體能力的形成和發(fā)展,有利于培養(yǎng)學(xué)生形成獨(dú)立的思維品質(zhì),所以我們老師在中考復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)從探索此類問題的基本題型入手,向?qū)W生闡明解決這類問題的基本思路。
(一)常見類型
①結(jié)論探索型問題:一般是由給定的已知條件探求相應(yīng)的結(jié)論,解題中往往要求充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論。②開放探索型問題:開放探索型問題,一般是由給定的結(jié)論反思探索命題,應(yīng)具備的條件。③規(guī)律探索型問題:在一定的條件狀態(tài)下,需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的題目。
(二)解決方法
①直接解法:從已知條件出發(fā),推導(dǎo)出所要求的結(jié)論。②假設(shè)求解法:假設(shè)某一命題成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,看是否通過推導(dǎo)得出相反的結(jié)論。③尋求模型法
(一)規(guī)律探索型例析
例1.(2012年四川省巴中市,18,3)觀察下列面一列數(shù):1,-2,3,-4,5,-6,…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,第2012個(gè)數(shù)是_________
【探析】觀察知:下列面一列數(shù)中,它們的絕對值是連續(xù)正整數(shù),第2012個(gè)數(shù)的絕對值是2012,值偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),故填-2012.
【答案】-2012
【點(diǎn)評】本題是找規(guī)律的問題,確定符號(hào)是本題的難點(diǎn).
例2.(2012珠海,20,9分)觀察下列等式:
12×231=132×21,13×341=143×31,
23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,……
以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對稱的,且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律,我們稱這類等式為“數(shù)字對稱等式”。
(1)根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空,使式子稱為“數(shù)字對稱等式”:
①52×=×25;②×396=693×.
(2)設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b,且2≤a≤9,寫出表示 “數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子(含a、b),并證明.
【探析】觀察上面的等式,發(fā)現(xiàn)“數(shù)字對稱等式”基本特征,猜想并證明表示“數(shù)字對稱等式”一般規(guī)律的式子.
【答案】(1)①275,572;②63,36;
(2)(10a+b)=(10b+a)
證明:∵左邊=(10a+b)=11(10a+b)(10b+a);右邊=(10b+a)=11 (10a+b)(10b+a);∴左邊=右邊,原等式成立.
【點(diǎn)評】本是規(guī)律探索題.考查學(xué)生閱讀理解,觀察發(fā)現(xiàn),推理證明的學(xué)習(xí)能力.
(二)存在探索型例析
例3.(2012湖北省恩施市,題號(hào)24分值12)已知拋物線y=-+ bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交與點(diǎn)N。其頂點(diǎn)為D。
(1)求拋物線及直線A、C的函數(shù)關(guān)系式;(2)設(shè)點(diǎn)M(3,m),求使MN+MD的值最小時(shí)m的值;(3)若拋物線對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B以B、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能,請說明理由;(4)若點(diǎn)P是該拋物線上位于直線AC上方的一動(dòng)點(diǎn),求△APC面積的最大值
【探析】(1)直接將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-+bx+c和y=kx+b即可。
(2)本題實(shí)質(zhì)是在直線x=3上找一點(diǎn)M使MN+MD的值最小。作N關(guān)于x=3的對稱點(diǎn),連接DN1,求直線DN1和x=3的交點(diǎn)可得m的值;
(3)BD、EF是平行四邊形的鄰邊,分點(diǎn)E在線段AC和線段AC(或CA)延長線上兩種可能來考慮。BD長可求,EF=BD,點(diǎn)F和點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)F縱坐標(biāo)等于點(diǎn)E縱坐標(biāo)加(或減)BD長度,設(shè)點(diǎn)E(x,y),則點(diǎn)F坐標(biāo)(x,y+3),代入拋物線表達(dá)式可求解;
(4)作CQ⊥x軸于Q,作PG⊥x軸,交AC于H,則點(diǎn)H和點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同,設(shè)二者橫坐標(biāo)為x,根據(jù)直線與拋物線表達(dá)式可用分別表示出相應(yīng)縱坐標(biāo),進(jìn)而用x表示PH的長度,根據(jù)△PAC面積等于PH×AQ(AQ為定值)可討論其最值。
【點(diǎn)評】本題是存在性探索性問題,在解決這一類存在性探索問題時(shí)主要應(yīng)注意:首先假定這個(gè)數(shù)學(xué)對象已經(jīng)存在,根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想,將其構(gòu)造出來;然后再根據(jù)已知條件與有關(guān)性質(zhì)一步步地進(jìn)行探索,如果探索出與條件相符的結(jié)果,就肯定存在,否則不存在,探索過程就是理由.本題主要考查了用待定系數(shù)法求解析式、勾股定理、解方程組等,用到的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)有函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、對稱思想、分類討論思想等,題目綜合性強(qiáng)、難度大,但是考查的知識(shí)面較廣,是一個(gè)區(qū)分度很大題目。
(三)結(jié)論探索型例析
例4.(2011黑龍江龍東五市3分)在銳角△ABC中,∠BAC= 60°,BN、CM為高,P為BC的中點(diǎn),連接MN、MP、NP,則結(jié)論:①NP= MP ②當(dāng)∠ABC=60°時(shí),MN∥BC ③BN=2AN④AN∶AB= AM∶AC,一定正確的有()
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)
【答案】C。
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定與和性質(zhì),平行的判定,銳角三角函數(shù)的定義。
【分析】①由BN、CM為高,P為BC的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證得NP=MP。故①正確。
②由BN、CM為高與∠A是公共角,易證△AMN∽△ABC,然后由∠BAC=60°與∠ABC=60°,可得△ABC是等邊三角形,則得∠AMN=∠ABC=60°,即可得MN∥BC。故②正確。
③若BN=2AN,需∠ABN=30°=∠ABC,這個(gè)條件已知沒有,故③錯(cuò)誤。
④由②△AMN∽△ABC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),即可證得AN:AB=AM:AC。故④正確。
綜上所述,一定正確的有3個(gè):①②④。故選C。
由上可知,探索型問題的知識(shí)覆蓋面較大,綜合性較強(qiáng),靈活選擇方法的要求較高,再加上題意新穎,構(gòu)思精巧,具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度,所以要求師生在復(fù)習(xí)時(shí),首先對于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面,并力求扎實(shí)牢靠;其次是要加強(qiáng)對解答這類試題的練習(xí),注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系,選擇合適的解題途徑完成最后的解答.
孫臻(1972-),男,甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣三合中學(xué)一級(jí)教師,研究方向:數(shù)學(xué)教法和學(xué)法。