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    第9課“猜想驗(yàn)證性問題”復(fù)習(xí)精講

    2016-11-19 08:41:24劉振超
    關(guān)鍵詞:對稱點(diǎn)等式序號

    劉振超

    專題精講

    猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,猜想驗(yàn)證問題給出的背景或條件是特定的,這些特定的背景或條件包括以下幾個方面:有規(guī)律的數(shù)與式、等式,具有某種特征的圖形、圖表或流程圖,特定的生活情景、數(shù)學(xué)問題等,一種情況是要求同學(xué)們從已知的個例中,通過觀察、分析和比較,歸納出探究對象所具有一般規(guī)律或不變的結(jié)論,它能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),這些規(guī)律或結(jié)論可進(jìn)一步指導(dǎo)我們解決相關(guān)的實(shí)際問題,它體現(xiàn)了“特殊→一般→特殊”的數(shù)學(xué)思想:另一種情況是要求同學(xué)們從一個問題的解題策略或結(jié)論,類比猜想出另一個相似問題的解題策略或結(jié)論,它體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,旨在讓同學(xué)們學(xué)會知識的遷移,猜想驗(yàn)證問題在中考的選擇、填空或解答題中均有考查,在選擇題、填空題中以代數(shù)方面為主,在解答題中以幾何方面為主,分值占到5%左右,

    重點(diǎn)題型例新

    一.數(shù)、式規(guī)律猜想型

    數(shù)、式規(guī)律猜想型問題,通常給出一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式,要求猜想其中蘊(yùn)涵的規(guī)律,解決此類問題的方法是:先寫出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu),然后橫比,即比較同一數(shù)或式中不同部分之間的數(shù)量關(guān)系,再縱比,即比較相鄰數(shù)或式在相同位置的數(shù)量關(guān)系,找出各部分的共同特征,即各部分與對應(yīng)序號的關(guān)系,對于有規(guī)律循環(huán)的要找出“循環(huán)節(jié)”,最后用字母代替數(shù),即找到了規(guī)律。

    點(diǎn)撥:當(dāng)按某個規(guī)則算出一列數(shù)時,這列數(shù)常按某一循環(huán)節(jié)循環(huán),解答時我們應(yīng)多算各項(xiàng),直到“循環(huán)節(jié)”出現(xiàn)為止,計(jì)算應(yīng)仔細(xì),如果計(jì)算錯誤就會找不出“循環(huán)節(jié)”,或找錯“循環(huán)節(jié)”。

    點(diǎn)撥:觀察等式規(guī)律,著重分析以下三個方面:一是同一等式結(jié)果的各部分之間的數(shù)量關(guān)系;二是從上一個結(jié)果到下一個結(jié)果是如何變化的:三是每一個等式的結(jié)果與對應(yīng)序號之間的數(shù)量關(guān)系,

    二.圖形、坐標(biāo)規(guī)律猜想型

    解決圖形規(guī)律猜想問題,需要從簡單的圖形人手,抓住隨著“編號”或“序號”的增加,后一個圖形與前一個圖形相比,在數(shù)量上增加(或倍數(shù))情況的變化,把圖形變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字變化規(guī)律,對于點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律猜想問題,主要觀察點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)隨“序號”的增加,它們與序號之間的數(shù)量關(guān)系,如果點(diǎn)的坐標(biāo)循環(huán)出現(xiàn),要把“循環(huán)節(jié)”找出來。

    例3(2015·山西)如圖1是一組有規(guī)律的圖案,它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成,第(1)個圖案有4個三角形,第(2)個圖案有7個三角形,第(3)個圖案有10個三角形,…,依此規(guī)律,第n個圖案有___個三角形,(用含n的代數(shù)式表示)

    解析:找出1與4,2與7,3與10,…之間的數(shù)量關(guān)系,然后用n代替序數(shù)可得到第n個圖案的三角形個數(shù)。

    第(1)個圖案有4個三角形,4=3xl+1;第(2)個圖案有7個三角形,7=3x2+1;第(3)個圖案有10個三角形,10=3x3+1;…,故第n個圖案有(3n+1)個三角形,

    點(diǎn)撥:對于圖形規(guī)律型問題既可以從結(jié)果的數(shù)字上進(jìn)行分析,也可直觀地觀察圖形,看圖形是如何變化的,如本題,若把第1個圖案看作在1個正三角形的基礎(chǔ)上增加了3個正三角形和1個正方形,我們發(fā)現(xiàn),以后每次構(gòu)圖都是這樣的,由此也可以得到答案,

    例4(2015·濟(jì)南)在平面直角坐標(biāo)系中有三個點(diǎn)A(1,-1)、B(-1,-1)、C(0,1),點(diǎn)P(0,2)關(guān)于A的對稱點(diǎn)為Pl,P1關(guān)于B的對稱點(diǎn)為P2,P2關(guān)于C的對稱點(diǎn)為P3,按此規(guī)律繼續(xù)以A、B、C為對稱中心重復(fù)前面的操作,依次得到P4,P5,P6,…,則點(diǎn)P2015的坐標(biāo)是(

    ),

    A.(O,O)

    B.(0,2)

    C.(2,-4)

    D.(-4,2)

    解析:按照操作的規(guī)則找出前面幾個點(diǎn)的坐標(biāo),觀察橫、縱坐標(biāo)變化規(guī)律,若出現(xiàn)循環(huán),則把“循環(huán)節(jié)”找出來,

    因點(diǎn)P(0,2)關(guān)于A的對稱點(diǎn)為Pl,點(diǎn)A(1,-1),故根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得P1(2,-4),同理可得P2(-4,2),P3(4,0),P4(-2,-2),P5(0,0),P6(0,2),P7(2,-4),…,我們發(fā)現(xiàn),每6個點(diǎn)循環(huán)一次,“循環(huán)節(jié)”為P1(2,-4),P2(-4,2),P3(4,0),P4(-2,2),B(0,O),R(0,2),因2015÷6=335余5,故點(diǎn)P2015的坐標(biāo)是(0,0),故詵A,

    三.方法類比猜想型

    此類試題的特點(diǎn)是給出一個問題的解題過程,讓我們嘗試解決另一個相似的問題,解題策略是:首先要領(lǐng)會已給出的解答過程的思想內(nèi)涵,然后找出前后兩個問題的相似之處,一方面借鑒,另一方面適當(dāng)變通,

    點(diǎn)撥:當(dāng)待求關(guān)系式與示例的關(guān)系式形式不一樣時,我們要嘗試進(jìn)行變形,至于如何變形才算形式一致呢?這需要我們在類比猜想中思考已知形式的本質(zhì)所在,如本題,就是要變形為自變量與自變量倒數(shù)的和的形式,

    中考命題預(yù)測

    1.公務(wù)員行政能力測試中有一類圖形規(guī)律題,可以運(yùn)用我們初中數(shù)學(xué)中的圖形變換再結(jié)合變化規(guī)律來解決,圖2中問號格內(nèi)的圖形應(yīng)該是(

    ),

    2.如圖3都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成,其中第①個圖形有1顆棋子,第②個圖形一共有6顆棋子,…,則第⑦個圖形棋子的個數(shù)為(

    ),

    (1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時,如圖5②,試探究線段BE、BM、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,

    (2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上時,如圖5③,線段BE、BM、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想,不需要證明。

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