雞兔同籠問題新探

羅曉喻

摘 要：雞兔同籠問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較有趣味性的題目，而且與生活實際的聯(lián)系比較密切，但是解題過程較為煩瑣，小學(xué)生往往感覺題目難度大。這主要是因為小學(xué)生正處于人生發(fā)展的初級階段，思維能力與知識儲備都不足。為此教師在教學(xué)的過程中應(yīng)注重培養(yǎng)小學(xué)生的理解能力，嘗試采取多樣化的教學(xué)方法，促使他們快速掌握所學(xué)知識。現(xiàn)本文就從《九章算術(shù)》中的雞兔同籠問題入手，進(jìn)行相關(guān)練習(xí)題的變式與規(guī)律探究，以幫助小學(xué)生鞏固自身知識，更好地提高他們的水平與能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；雞兔同籠；解題方法

雞兔同籠并不是一種題目，而是一類題目的總稱，指的是把兩種有聯(lián)系的事物放在一起，已知這兩種事物的總和與它們本身特有的數(shù)量關(guān)系，然后分別求解這兩種事物數(shù)量的一種題型。教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該注重雞兔同籠問題的變式訓(xùn)練，以使小學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上真正掌握該類題型，做到舉一反三。

一、《九章算術(shù)》中的雞兔同籠問題

小學(xué)數(shù)學(xué)中的雞兔同籠問題來自于古代數(shù)學(xué)的《九章算術(shù)》，解題方法多樣化，分為假設(shè)法、列表法與方程法等，在現(xiàn)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般采用的是方程法。教師在教學(xué)的過程中應(yīng)根據(jù)小學(xué)生的不同知識水平與性格特點，教授給他們不同的解題方法，以便小學(xué)生更好地掌握知識。

例如在應(yīng)用題“已知籠子里有一些雞和兔子，它們的總數(shù)為24只，從籠子下面數(shù)腳的只數(shù)為62，試求雞和兔子分別有多少只”中，教師可進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計：

師：通過題目我們發(fā)現(xiàn)，雞的數(shù)量+兔子的數(shù)量=24，一只雞有兩只腳，一只兔子有四只腳，大家思考一下，應(yīng)該怎么計算呢？

生1：要是籠子里全部都是雞就好了，都是2只腳比較容易計算。

生2：都是雞的話，腳的數(shù)量就是2×24=48只，比62少14只。

生3：這樣的話，再增加兔子的數(shù)量就好了，我們可以列出表格：

生4：通過表格，可以得出雞的只數(shù)為17，兔子的只數(shù)為7。其實，減少一只雞增加一只兔子，腳的數(shù)量就會增加2，這樣的話用（62-2×24）÷2=7，也可以得出兔子的數(shù)量，進(jìn)一步再求雞的數(shù)量就可以了。

生5：那我們也可以假設(shè)籠子里全部都是兔子。

師：大家都總結(jié)得很好，這是我們雞兔同籠問題中常用的假設(shè)法。那還有沒有其他的解題方法呢？比如說我們之前學(xué)過的方程法。

生1：可以假設(shè)雞的數(shù)量為x，兔子的數(shù)量就是24-x。列算式的話是2x+4（24-x）=62。

生2：也可以假設(shè)兔子的數(shù)量為x，雞的數(shù)量就是24-x，列算式4x+2（24-x）=62。

師：相對來說，方程法比假設(shè)法還要簡單一點。那么還有沒有其他的方法呢？

在上述案例中，學(xué)生較好地掌握了雞兔同籠問題中的假設(shè)法與方程法。這樣教師在教學(xué)的過程中還應(yīng)注意讓小學(xué)生總結(jié)與思考不同解題方法的優(yōu)缺點，以便在后續(xù)做題中做到有的放矢。

二、變式訓(xùn)練中的雞兔同籠問題

雞兔同籠問題中涉及的變式題較多，例如例題中是雞和兔子兩種動物，但在有的題型中會涉及三種動物。這樣教師在教學(xué)的過程中就應(yīng)該設(shè)計多樣化的變式題題組，幫助小學(xué)生掌握與深化所學(xué)知識。

例如在應(yīng)用題“雞、鴨、狗三種動物一共有34個頭，108只腳，試求狗的數(shù)量有多少只”中，小學(xué)生潛意識里會覺得要分別求出雞、鴨、狗的數(shù)量，才可以解決問題。但是涉及三種動物的應(yīng)用題之前沒有學(xué)過，難免會不知道如何下手。教師在教學(xué)的過程中要善于引導(dǎo)小學(xué)生，進(jìn)行如下教案設(shè)計：

師：要想求狗的數(shù)量應(yīng)該怎么計算呢？

生：需要知道雞和鴨分別是多少只，才能根據(jù)題目的已知條件求出狗的數(shù)量。

師：那我們可不可以求出雞和鴨的總數(shù)，然后再進(jìn)一步求狗的數(shù)量呢？

生1：這樣做也是可以的，而且題目里面沒有讓我們求解雞和鴨各有多少只，求它們的總數(shù)就可以了。

生2：這樣的話，我們就可以把雞和鴨看作是一種動物了，反正雞與鴨都只有兩只腳，這樣就可以按照雞兔同籠問題進(jìn)行解答了。

生3：我們可以通過列方程的形式來快速求解，即設(shè)狗的數(shù)量為x，那么雞和鴨的數(shù)量總和就是（34-x），可以列出算式4x+2（34-x）=108，可以得出狗有20只，雞和鴨一共有14只。

師：是的，在遇到變式題目的時候，我們首先要做的就是看能不能根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的雞兔同籠問題進(jìn)行計算。例如，在如下變式題中，蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現(xiàn)在三種昆蟲共有22只，腿和翅膀的數(shù)量分別為140條和28對，試求三種昆蟲各有多少只？這道題根據(jù)我們所學(xué)的雞兔同籠問題應(yīng)該怎么計算呢？

生1：題目中不僅有動物腿之間的關(guān)系，還有翅膀之間的關(guān)系，這應(yīng)該怎么計算?。?/p>

生2：可以根據(jù)變式訓(xùn)練1進(jìn)行計算，反正蜻蜓和蟬都有6條腿，先求出它倆的總數(shù)，再根據(jù)翅膀分別求就可以了。

師：是的，在遇到比較有難度的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時，還是應(yīng)該保持良好的解題心態(tài)，一步一步解決就好了。那大家知道怎么列算式了嗎？

綜合上述案例，教師在教學(xué)的過程中，還可在雞兔同籠問題的基礎(chǔ)上設(shè)計更多有趣味性的題目，一方面激發(fā)小學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動性，另一方面還能有效提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與能力，取得較好的教學(xué)效果。

三、多樣化練習(xí)中的雞兔同籠問題

當(dāng)然，雞兔同籠問題的變式題并不是簡單地與動物相關(guān)的題目，只要題目中所涉及的事物之間有一定的聯(lián)系，都可以看作是雞兔同籠問題的變式題。教師在教學(xué)的過程中應(yīng)該組織小學(xué)生做好多樣化練習(xí)題的訓(xùn)練，真正鍛煉他們解決實際問題的能力，有效提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率。

例如在應(yīng)用題“汶川地震的時候，小明把儲錢罐里1角和5角的硬幣全部捐給了災(zāi)區(qū)，已知硬幣總數(shù)為50枚，一共為13元，試求1角和5角的硬幣分別為多少枚”中，教師就可引導(dǎo)小學(xué)生把1角和5角的硬幣問題看作是雞兔同籠問題，根據(jù)方程法列式x+5（50-x）=130或者5x+（50-x）=130即可，當(dāng)然還應(yīng)注意單位之間的換算。同理，在解決與比賽相關(guān)的題目時，也可從雞兔同籠問題的思維入手，例如在題目“在某比賽中，規(guī)定贏一場球得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某球隊一共踢了12場，其中輸了6場，一共得分16分，試求該球隊勝了多少場”中，可假設(shè)勝的場數(shù)為x，則一共平了（6-x）場，列式為3x+（6-x）=16，即可求出正確答案。當(dāng)然也可以采取列表假設(shè)法的形式求解：