基于貝葉斯公式應(yīng)用問(wèn)題的比較研究

吳佳+++毛金舟+++李媛++王姝娜

【摘要】對(duì)于一道考研真題，比較分析了文獻(xiàn)[1]和[2]中的方法，借助MATLAB將隨機(jī)試驗(yàn)并不直觀的樣本空間以編程的方式呈現(xiàn)，利用MATLAB仿真隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行曲線擬合，擬合結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果非常接近，誤差不超過(guò)10-3，因此驗(yàn)證了文獻(xiàn)[1]中方法是正確的。并通過(guò)理論分析指出了文獻(xiàn)[2]中方法錯(cuò)誤的原因，修正了文獻(xiàn)[2]中方法的計(jì)算過(guò)程，給出了P（ 1|A2）正確的計(jì)算公式。理論分析方法能更深刻地理解貝葉斯公式，理論分析結(jié)果與文獻(xiàn)[1]中方法相同。

【關(guān)鍵詞】條件概率 全概率公式 貝葉斯公式 MATLAB仿真

【中圖分類(lèi)號(hào)】O211.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）08-0128-02

文獻(xiàn)[1]和[2]中對(duì)于同一道概率問(wèn)題給出了兩種解法，分析也是大相徑庭，結(jié)果迥異。究竟哪種方法是正確的，本文將通過(guò)MATLAB數(shù)值模擬和理論分析兩種方法進(jìn)行討論分析，兩種方法的結(jié)果都與文獻(xiàn)[1]相同。文獻(xiàn)[1]和[2]中討論的概率題如下：

例：設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份，7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份。已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率P。

文獻(xiàn)[1]中方法：用事件Hj表示報(bào)名表是第j地區(qū)考生的，j=1，2，3，事件Ai表示第i次抽到的是男生表，i=1，2。顯然A1，A2，A3構(gòu)成完備事件組，且

P（H1）=P（H2）=P（H3）= ，P（A2|H1）= ，P（A2|H2）= ，P（A2|H3）= ，P（ 1A2|H1）= = ，P（ 1A2|H2）= = ，P（ 1A2|H3）= = 。

由全概率公式得

文獻(xiàn)[2]中方法：當(dāng)H1發(fā)生時(shí)，P（ 1|A2）= ，當(dāng)H2發(fā)生時(shí)，P（ 1|A2）= ；當(dāng)H3發(fā)生時(shí)，P（ 1|A2）= ，因此，

以下通過(guò)MATLAB數(shù)值模擬和理論分析論證文獻(xiàn)[1]中方法是正確的。

1.利用MATLAB仿真隨機(jī)試驗(yàn)

利用定義計(jì)算條件概率，通過(guò)縮減樣本空間的方式也可以計(jì)算條件概率。本文借助MATLAB將并不直觀的樣本空間以編程的形式呈現(xiàn)出來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)在縮減的樣本空間中計(jì)算條件概率。

條件概率滿足概率的三個(gè)公理化條件，因此條件概率也是概率。根據(jù)伯努利大數(shù)定律可以得到：在取法條件不變的情況下，相互獨(dú)立地重復(fù)試驗(yàn)多次，在第二次抽取到的是男生表的條件下，第一次抽取到的是女生表的頻率近似于其概率。

在MATLAB R2014a環(huán)境下進(jìn)行仿真隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，利用40次得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行曲線擬合，擬合函數(shù)為y=-2.437×10-11x+0.3279，顯然，此擬合曲線（如圖1）幾乎平行與x軸，y軸截距為0.3279，非常接近0.32787.

兩次改變女生數(shù)據(jù)，通過(guò)MATLAB模擬出的概率值依然與文獻(xiàn)[1]中結(jié)果非常接近（見(jiàn)表1），且誤差不超過(guò)10-3。 綜上，本文認(rèn)為文獻(xiàn)[1]中方法正確，文獻(xiàn)[2]中方法錯(cuò)誤。

2.理論分析

文獻(xiàn)[2]中方法忽略了“先抽到的一份是男生表的條件下”這個(gè)條件，錯(cuò)誤地認(rèn)為取自三個(gè)地區(qū)的概率仍為 ，違背了貝葉斯公式，人為地制造出P（A2|A1|H1）這樣不存在的概率。

在先抽到的一份是男生表的條件下，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)報(bào)名表來(lái)自第一區(qū)的概率為

文獻(xiàn)[2]中方法產(chǎn)生錯(cuò)誤的另一主要原因是利用不存在的概率，錯(cuò)誤地使用貝葉斯公式，“當(dāng)H1發(fā)生時(shí)，P（ 1|A2）= ”的確切表述應(yīng)該是“P（ 1H1|A2H1）= ”。

結(jié)合上面兩種原因，將文獻(xiàn)[2]中方法修正如下：

當(dāng)H1發(fā)生時(shí)，P（H1|A2）= = = ，P（ 1H1|A2H1）= ；

同理，當(dāng)H2發(fā)生時(shí)，P（H2|A2）= ，P（ 1H2|A2H2）= ；當(dāng)H3發(fā)生時(shí)，P（H3|A2）= ，P（ 1H3|A2H3）= ；

3.結(jié)論

本文利用MATLAB仿真隨機(jī)試驗(yàn)的方式驗(yàn)證了文獻(xiàn)[1]中方法的正確性，通過(guò)理論分析指出了文獻(xiàn)[2]中方法錯(cuò)誤的原因，修正了文獻(xiàn)[2]中方法，給出了P（ 1|A2）又一計(jì)算公式：

P（ 1|A2）= P（Hi|A2）P（ 1Hi|A2Hi）。

通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的研究，有助于加深對(duì)于條件概率問(wèn)題的理解，尤其對(duì)于全概率公式和貝葉斯公式的掌握具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。本文方法可以使學(xué)生今后避免犯同類(lèi)錯(cuò)誤，對(duì)于教師的教學(xué)也具有指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]張宇.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（9講）[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2016.

[2] 李永樂(lè)，王式安，季文鐸. 考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)（數(shù)學(xué)三）[M]. 國(guó)家行政學(xué)院出版社，2016.

作者簡(jiǎn)介：

吳佳（1994-），女，本科。