基于工件穩(wěn)定性的全區(qū)域夾緊力變向迭代規(guī)劃算法

秦國華，孫爍，王華敏，左敦穩(wěn)，2，吳鐵軍，魯宇明

（1.南昌航空大學(xué)江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西南昌330063；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京210016；3.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械系，廣東東莞523808）

基于工件穩(wěn)定性的全區(qū)域夾緊力變向迭代規(guī)劃算法

秦國華1，孫爍1，王華敏1，左敦穩(wěn)1，2，吳鐵軍3，魯宇明1

（1.南昌航空大學(xué)江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，江西南昌330063；2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京210016；3.東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械系，廣東東莞523808）

研究機(jī)械加工過程中夾緊力的合理規(guī)劃是保證加工質(zhì)量的核心環(huán)節(jié)，對于實現(xiàn)加工過程的可靠性和精密化至關(guān)重要，為此構(gòu)建了全區(qū)域夾緊力變向迭代規(guī)劃算法。根據(jù)工件在裝夾布局中的受力狀態(tài)以及工件與裝夾元件之間接觸力的方向約束條件，分別依據(jù)夾緊力大小與夾緊點位置的未知和已知情況，結(jié)合線性規(guī)劃技術(shù)建立了力的存在性和力的可行性分析方法。在夾緊力存在的條件下，通過離散夾緊表面為點集的方法，逐點地以一定步長正向從最小值開始選取夾緊力的大小，根據(jù)當(dāng)前值與上一次取值之間可行性的差異，確定下一次取值的步長及其方向，若可行性相同則以相同步長繼續(xù)正向取值，否則步長減半、反向取值，直至步長的絕對值在閾值范圍之內(nèi)，建立全區(qū)域內(nèi)夾緊力的變向迭代規(guī)劃算法。該算法將連續(xù)型的夾緊力設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為離散型，不僅適合于形狀復(fù)雜的工件，而且還利于計算機(jī)實現(xiàn)夾緊力的自動化設(shè)計。

機(jī)械制造工藝與設(shè)備；夾緊力；力的存在性；力的可行性；閾值；離散化；變向

0　引言

工件的機(jī)械加工過程一般由工件的裝夾和工件的加工兩部分組成［1］。合理的裝夾是保證加工質(zhì)量的前提條件，其目的旨在獲得工件相對于刀具的正確位置，防止由于切削力和切削扭矩造成的工件位置變化、工件變形甚至生產(chǎn)事故。工件位置變化和工件變形降低工件的加工精度，影響工件的使用性能，過大的工件位置變化和工件變形甚至導(dǎo)致工件報廢。然而，航空、兵器等國防工業(yè)領(lǐng)域的高性能工件，如運(yùn)用在雷達(dá)上的鋁質(zhì)薄殼件和薄筒件、飛機(jī)上的翼肋、發(fā)動機(jī)上的渦輪葉片等，廣泛采用復(fù)雜整體結(jié)構(gòu)，具有壁薄、尺寸大、精度要求高等特點，但過大的夾緊力、不合理的夾緊點布局等因素極易產(chǎn)生工件位置變化和工件變形。夾緊力計算是工件裝夾規(guī)劃中一項非常關(guān)鍵的任務(wù)［2-3］，為此，國內(nèi)外眾多研究人員主要在兩個方面傾注了極大的關(guān)注與努力:

1）關(guān)于夾緊點位置的布局問題。文獻(xiàn)［4-5］提出了裝夾點（包括定位點和夾緊點）布局的投影空間位置枚舉法。通過將工件在基礎(chǔ)板上的投影離散成網(wǎng)格單元而得到一組單元中心點，依據(jù)定位點最遠(yuǎn)原則提出了啟發(fā)式搜索方法，分別在底面、兩個側(cè)面搜索出“3-2-1”共6個單元中心點作為定位點；然后在距離各自穩(wěn)定區(qū)域中心點最遠(yuǎn)的非加工表面上，選擇正對于穩(wěn)定區(qū)域中心點的點為夾緊點。Marin等［6］根據(jù)工件的靜力平衡方程和單向接觸約束條件，通過構(gòu)建優(yōu)選模型使得最大的夾緊力達(dá)到最小，將夾緊點位置設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為有約束非線性規(guī)劃問題。Liu等［7］利用有限元方法計算薄板件的變形，通過對應(yīng)于最大的工件變形處增加一個定位點，以便減小工件變形，如此反復(fù)，直至工件變形減小至加工精度的要求范圍之內(nèi)以確定定位點的數(shù)目。然后，以最小化最大的工件變形為目標(biāo)，建立了定位點位置的優(yōu)化模型，基于此，進(jìn)一步提出了定位點位置的啟發(fā)式搜索規(guī)則。Selvakumar等［8］建立了最小變形為目標(biāo)的定位夾緊點優(yōu)化模型，通過以工件變形構(gòu)造個體評價函數(shù)，提出了優(yōu)化模型的遺傳算法求解技術(shù)。文獻(xiàn)［9-10］結(jié)合虛功原理和線性規(guī)劃技術(shù)，推導(dǎo)出工件穩(wěn)定性的判定模型及其求解算法。引入表面網(wǎng)格離散化方法，通過連接所有具有工件穩(wěn)定性的節(jié)點，建立了夾緊力作用區(qū)域的確定算法。王軍等［11］利用有限元方法分析了夾緊點位置、夾緊順序等不同工況下薄殼件的變形機(jī)理，揭示了分步施加夾緊力所引起的工件變形小于同步施加引起的工件變形、施加均布載荷所引起的工件變形小于施加集中載荷所引起的工件變形等規(guī)律。

2）夾緊力大小的規(guī)劃問題。Trappey等［12］視工件與裝夾元件（即定位元件和夾緊元件）均為剛體，通過建立目標(biāo)使得接觸力之和為最小的優(yōu)化模型，將夾緊力的計算問題轉(zhuǎn)化有約束線性規(guī)劃問題。類似地，Li等［13］考慮了工件與裝夾元件之間接觸變形引起的工件位置偏移，建立了以最小的工件總余能、工件位置偏移范數(shù)為雙目標(biāo)的夾緊力優(yōu)化模型，通過使得工件位置偏移范數(shù)不超過給定閾值，提出了夾緊力優(yōu)化模型的“閾值約束”求解方法。

上述研究工作僅考慮單一因素的優(yōu)化，沒有考慮夾緊力與夾緊點之間的耦合問題，而且這些優(yōu)化模型要么適用于形狀簡單的工件，要么其求解技術(shù)由于極易受初始值的影響而得不到最優(yōu)值。為此，本文研究了力的存在性和力的可行性分析方法，通過將形狀復(fù)雜的夾緊表面網(wǎng)格化成點集，研究全區(qū)域夾緊力變向迭代規(guī)劃算法。

1　工件穩(wěn)定性分析方法

工件穩(wěn)定性意指通過施加合適的夾緊力，抵抗切削力與切削扭矩對定位位置的破壞作用，使其在整個加工過程中保持平衡狀態(tài)。假定在u個定位元件確定工件與刀具之間的初始位置與方向后，由v個夾緊元件提供夾緊力fu+j（1≤j≤v）以抵抗加工過程中所受到的切削力Fcut與切削扭矩Mcut的作用，如圖1所示，此時第i個定位元件處的支撐反力為fi（1≤i≤u）。如果忽略工件與裝夾元件（即定位元件和夾緊元件）之間的摩擦，則工件的靜力平衡方程可描述為

式中:Gl=［G1，G2，…，Gu］、Fl=［f1，f2，…，fu］T分別為定位元件的方位矩陣及其支撐反力；Gc=［Gu+1，Gu+2，…，Gu+v］、Fc=［fu+1，fu+2，…，fu+v］T分別為夾緊元件的方位矩陣及其夾緊力；分別為重力旋量和切削力旋量；（1≤i≤u+v）分別為第i個裝夾元件在全局坐標(biāo)系OXYZ中的方位矩陣、位置及相應(yīng)內(nèi)法向量；rg=［xg，yg，zg］T、rcut=［xcut，ycut，zcut］T表示工件重心和刀具切削的位置。

圖1　工件的裝夾方案Fig.1 Fixturing layout of workpiece

值得注意的是，在工件的實際裝夾過程中，為了保證工件與裝夾元件始終接觸而不破壞定位，定位元件處的支撐反力與夾緊元件上的夾緊力均應(yīng)為壓力，即

當(dāng)在給定裝夾元件的方位、外力的條件下，工件所具有的穩(wěn)定性稱之為力的存在性，這樣，結(jié)合（1）式與（2）式，可得存在性分析模型為

式中:k表示工件所處的加工階段，k=1為定位階段，k=2為夾緊階段，k=3為切削階段；方位矩陣

顯然，如果（3）式中Xk有解，說明工件在k階段具有穩(wěn)定性，若k≥2，則進(jìn)一步表明在給定的夾緊元件位置上可以施加夾緊力。因此，若（3）式中，那么其解的存在性可根據(jù)求解下列具有收斂性的線性規(guī)劃問題進(jìn)行檢驗:

這里，max Qk被稱為內(nèi)力量度，而被稱為外力量度，那么當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)力量度與外力量度相等，即存在性指標(biāo)為Dk=0時，

方程（3）式有解。

如果不僅給定了裝夾元件的方位、外力，還給定了夾緊力，則這樣一種工件穩(wěn)定性稱為力的可行性。因此，k≥2.類似于力的存在性，力的可行性分析模型可描述為

式中:方位矩陣a2=a3=Gl；接觸力x2=x3=Fl；外力y2=-［Wg+Wc］，y3=-［Wg+Wc+Wcut］.

若（6）式有解，則表明Fc能夠保證工件處于穩(wěn)定狀態(tài)，此時Fc是可行的。同樣，（6）式解的存在性依然可根據(jù)求解下列線性規(guī)劃問題進(jìn)行檢驗:

那么當(dāng)且僅當(dāng)可行性指標(biāo)dk=0時，即

方程（6）式有解。

2　夾緊力的全區(qū)域規(guī)劃算法

對于在任意的夾緊點ri=［xi，yi，zi］T（u+1≤i≤u+v）處，求解其夾緊力fi的本質(zhì)，就是搜索出滿足（6）式中夾緊力fi的所有解，即搜索出fi區(qū)間的兩個端點值fimin與fimax.若夾緊力有解，搜索夾緊力由于夾緊力fimin≥0，則選取fi0作為f*i的初始近似值。根據(jù)（7）式和（8）式判斷fi0的可行性，可行則令方向標(biāo)識為λ0=1，若不可行，λ0=0.

選取步長s1=s（s為任意給定的初始步長），求出fi1=fi0+s，稱fi1為f*i的一次近似值。判斷fi1的可行性，可行則令λ1=1，若不可行，令λ1=0.定義δ1=λ1-λ0為可行性的方向變化，若δ1=0方向無變化。

如果可行性沒有發(fā)生方向變化，則按照大小、方向均不變的原則確定下一個夾緊力近似值，此時的二次近似值；如果可行性發(fā)生了方向變化，則按照大小遞減（遞減系數(shù)為ζ＜1，這里取ζ=0.5）、方向相反的原則確定下一個夾緊力近似值，即夾緊力的二次近似值為fi2=fi1-s/2，當(dāng)前步長s=-s/2.

接下來，令fi=fi-fimin≥0.經(jīng)判斷，若fi依然有解，則按上述步驟搜索fimax.搜索流程如圖2所示。

3　應(yīng)用分析

本節(jié)列舉一個典型實例，用以說明全區(qū)域夾緊力的規(guī)劃方法。圖3為二維工件的頂面銑削示意圖，切削力為Fcut=［-600 N，-150 N］T.工件輪廓由3條直線和1條拋物線y=2（x-80）2（0≤x≤80mm）組成，尺寸為80 mm×50 mm，重力為Fg=［0N，-150N］T，重心為rg=［40mm，25mm］T.工件由定位元件L1、L2和L3進(jìn)行定位，各定位元件的位置分別為r1=［0 mm，40 mm］T、r2=［10 mm，0mm］T、r3=［70mm，0mm］T.

出于加工要求與生產(chǎn)安全性的考慮，選取右側(cè)面為夾緊表面A.根據(jù)圖2的搜索流程，首先應(yīng)將夾緊表面A網(wǎng)格化后的節(jié)點存入數(shù)據(jù)庫中，如圖4所示。

由于該裝夾方案中只有一個夾緊力，則存在夾緊點r4=［coord_x，coord_y］T∈A，法向量n4=［norm_x，norm_y］T，夾緊力Fc=n4f4.針對加工階段（k=3），當(dāng)銑刀走到位置rcut=［5 mm，50 mm］T時，以第6個節(jié)點作為夾緊點r4=［78mm，8mm］T為例，詳細(xì)說明夾緊力的搜索過程。根據(jù)（4）式和（5）式可知，存在性指標(biāo)D=0，說明夾緊力有解。為此設(shè)置初始步長為s=70 s，閾值ε=0.000 1 s，先從0開始搜索夾緊力f4區(qū)間的最小值f4min，搜索過程如表1所示。

當(dāng)?shù)?個區(qū)間值f4min=55.987 529 75 N找到后，應(yīng)在區(qū)間［55.987 529 75N，+∞）上再次進(jìn)行判斷夾緊力是否有解。根據(jù)（4）式和（5）式不難看出，在f4min之后依然存在可行解，表2為第2個可行解f4max的搜索過程，直至當(dāng)前步長0.000 033 4 s小于或等于閾值0.000 1 s，此時f4max=618.413 019 2 N.

圖2　夾緊點及夾緊力的搜索流程Fig.2 Flow chart of searching the clamping points and clamping forces

這樣，通過將整個動態(tài)的銑削過程離散為間隔為1mm的76個刀具位置的準(zhǔn)靜態(tài)銑削過程后，利用類似于表1和表2的步驟，可求解出加工階段、夾緊階段所需的夾緊力，如圖5所示的紫色區(qū)域。

為了驗證全區(qū)域夾緊力變向迭代規(guī)劃算法的有效性，下面直接利用解析法求解平面銑削動態(tài)過程中刀具行程至位置rcut=［5 mm，50 mm］T時夾緊力f4的大小。這里，記R1、R2、R3分別為定位元件L1、L2、L3的支撐反力，容易得工件的靜力平衡方程為

圖3　工件的裝夾方案Fig.3 Fixturing layout of workpiece

圖4　部分節(jié)點數(shù)據(jù)庫Fig.4 Database of part of node points

將各力及其夾緊點數(shù)據(jù)代入（9）式，整理后可得定位元件L2、L3的支撐反力為

由于支撐反力R2和R3不能小于0，否則工件將脫離定位元件，因此必須存在:

由此可見，夾緊力區(qū)間下限、上限值的相對誤差分別為0.000 477％與0.000 015％.夾緊力區(qū)間上限值與下限值的精度取決于給定的閾值ε.閾值ε越小，精度越高，但計算效率偏低；閾值ε越大，則計算效率高，但精度偏低。

4　結(jié)論

表1　夾緊力區(qū)間下限值的搜索過程Tab.1 Lower limit values of interval of clamping force

1）根據(jù)工件在整個加工過程中的受力狀態(tài)，建立了工件的靜力平衡條件及其與裝夾元件之間接觸力的方向約束條件，依據(jù)夾緊力未知和已知的狀態(tài)條件，進(jìn)一步構(gòu)建了夾緊力的存在性分析與力的可行性分析方法。利用線性規(guī)劃技術(shù)，通過提出存在性指標(biāo)與可行性指標(biāo)，實現(xiàn)了夾緊力是否有解和是否可行的定量判斷。

表2　夾緊力區(qū)間上限值的搜索過程Tab.2 Upper limit values of interval of clamping force

圖5　夾緊力的搜索過程Fig.5 Searching process of clamping force

2）以力的存在性分析與可行性分析為核心，通過網(wǎng)格化夾緊表面獲取夾緊點的方法，提出了全區(qū)域夾緊力的變向迭代規(guī)劃法。通過判斷相鄰?qiáng)A緊力可行性的異同性，標(biāo)記夾緊力的變化方向，相同則按相同步長繼續(xù)取值，否則按反向、步長減半的方法取值，直至步長的絕對值在給定的閾值范圍內(nèi)。通過該方法使得連續(xù)性的夾緊力規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為計算機(jī)能夠處理的離散性問題，為計算機(jī)輔助夾具設(shè)計系統(tǒng)的開發(fā)提供了基礎(chǔ)理論。

3）全區(qū)域夾緊力變向迭代規(guī)劃法的求解結(jié)果與解析法計算結(jié)果完全吻合，其求解精度取決于步長的閾值，閾值越小，精度越高。該方法不僅將夾緊表面網(wǎng)格化，而且還將夾緊力取值范圍離散化，通過步長絕對值逐漸減小至閾值范圍內(nèi)，實現(xiàn)全區(qū)域的夾緊力逼近。顯然，該方法不僅適用于形狀規(guī)則的工件，而且還能適用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的工件。

（References）

［1］ Fang B，DeVor R E，Kapoor SG.Influence of friction damping on workpiece-fixture system dynamics and machining stability［J］. ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering，2002，124（2）:226-233.

［2］ 劉俊成.機(jī)床夾具在設(shè)計過程中夾緊力的計算［J］.工具技術(shù)，2007，41（6）:89-90. LIU Jun-cheng.Calculation of chucking force in designing process of machine tool clamp［J］.Tool Engineering，2007，41（6）: 89-90.（in Chinese）

［3］ 金秋，劉少崗.銑削加工中最小夾緊力的計算［J］.工具技術(shù)，2010，44（4）:36-39. JIN Qiu，LIU Shao-gang.Calculation of minimum clamping force in milling process［J］.Tool Engineering，2010，44（4）:36-39.（in Chinese）

［4］ Trappey A JC，Matrubhutam S.Fixture configuration using projective geometry［J］.Journal of Manufacturing Systems，1993，12（6）:486-495.

［5］ Trappey A JC，Liu C R.Automated fixture configuration using projective geometry approach［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，1993，8（5）:297-304.

［6］ Marin R A，F(xiàn)erreira PM.Optimal placement of fixture clamps: minimizing the maximum clamping forces［J］.ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering，2002，124（3）:686-694.

［7］ Liu SG，Zheng L，Zhang ZH，et al.Optimization of the number and positions of fixture locators in the peripheral milling of a lowrigidity workpiece［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2007，33（7）:668-676.

［8］ Selvakumar S，Arulshri K P，Padmanaban K P，etal.Design and optimization of machining fixture layout using ANN and DOE［J］. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2013，65（9）:1573-1586.

［9］ Qin G H，Ye H C，Rong YM.A unified point-by-point planning algorithm of machining fixture layout for complex workpiece［J］. International Journal of Production Research，2014，52（5）: 1351-1362.

［10］ 秦國華，郭西園，葉海潮，等.復(fù)雜工件夾緊力作用區(qū)域的規(guī)劃算法［J］.兵工學(xué)報，2012，33（7）:852-856. QIN Guo-hua，GUO Xi-yuan，YE Hai-chao，et al.A deterministic algorithm for active region of clamping force of a complex workpiece［J］.Acta Armamentarii，2012，33（7）:852-856.（in Chinese）

［11］ 王軍，耿世民，張遼遠(yuǎn)，等.薄壁殼體件裝夾變形機(jī)理有限元分析與控制［J］.兵工學(xué)報，2011，32（8）:1008-1013. WANG Jun，GENG Shi-min，ZHANG Liao-yuan，et al.Finite element analysis and control of clamping deformation mechanism if thin-wall shell workpiece［J］.Acta Armamentarii，2011，32（8）:1008-1013.（in Chinese）

［12］ Trappey A JC，Liu C R.An automatic workholding verification system［J］.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，1992，9（4）:321-326.

［13］ Li B，Melkote S N.Fixture clamping force optimisation and its impact on workpiece location accuracy［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2001，17（2）:104-113.

A Reverse Direction Iterative Planning Algorithm of Clam ping Forces in Entire Active Region Based on Workpiece Stability

QIN Guo-hua1，SUN Shuo1，WANG Hua-min1，ZUO Dun-wen1，2，WU Tie-jun3，LU Yu-ming1
（1.Key Laboratory of Jiangxi Province for Image Processing and Parttern Recognition，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，Jiangxi，China；2.College of Mechanical＆amp;Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，Jiangsu，China；3.Department of Mechanical Engineering，Dongguan Polytechnic，Dongguan 523808，Guangdong，China）

The reasonable planning of clamping forces in the machining process is a key issue for guaranteeing the machining quality，which is of great significance to ensure the machining reliability and accuracy.For this purpose，a reverse direction iterative planning algorithm of clamping forces in entire active region is established.In addition to the direction constraint to contact force between workpiece and fixture，the force state of workpiece in fixturing layout is analyzed.According to unknown and known conditions of magnitude of clamping forces and clamping placement，the analysis methods of force existence and force feasibility are established based on the linear programming technology.Under the condition of existence of clamping forces，a clamping surface is discretized into points，and the magnitude of clampingforce is chosen，beginning with the minimum value at each point with a certain step length along the positive direction.The selection of the next magnitude of clamping force depends on the difference between the feasibilities of clamping forces at two adjacent points.According to the difference between the feasibilities of the current clamping force and the last one，the step length and its direction can be determined for the next selection.If the feasibility of the current magnitude is same as the feasibility of the previous magnitude，the step length and its direction for the next magnitude are the same as those for the current magnitude.Otherwise，a half of step length along the negative direction is chosen.The selection procedure for the magnitude of clamping force is exceeded until the absolute value of the current step length is within the given threshold value.The proposed method can be used to transform the continuous design issue of clamping forces into a discrete one.It can be used for the development of computer aided clamping force design as well as the determination of clamping forces for workpieces with complex surfaces.

manufacturing technology and equipment；clamping force；existence of force；feasibility of force；threshold value；discretization；reverse direction

TG75.3

A

1000-1093（2016）09-1700-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.09.021

2015-11-12

國家自然科學(xué)基金項目（51465045、51165039）；江西省自然科學(xué)基金項目（20142BAB206018）；深圳市基礎(chǔ)研究項目（JCYJ20140509174140668）

秦國華（1970—），男，教授，碩士生導(dǎo)師。E-mail:qghwzx@126.com