空間大型末端執(zhí)行器柔性繩索捕獲動力學研究

榮吉利，辛鵬飛，諸葛迅，楊永泰，項大林

（1.北京理工大學宇航學院力學系，北京100081；2.北京航天動力研究所，北京100076；3.中國科學院泉州裝備制造研究所，福建泉州362000）

空間大型末端執(zhí)行器柔性繩索捕獲動力學研究

榮吉利1，辛鵬飛1，諸葛迅2，楊永泰3，項大林1

（1.北京理工大學宇航學院力學系，北京100081；2.北京航天動力研究所，北京100076；3.中國科學院泉州裝備制造研究所，福建泉州362000）

針對繩索式末端執(zhí)行器纏繞及捕獲衛(wèi)星過程中的動力學問題，采用絕對節(jié)點坐標方法描述橫觀各向同性柔性繩索的纏繞運動，及卡爾丹角描述剛體衛(wèi)星的姿態(tài)運動，并引入繩索與目標間的非線性動力學模型，建立包含末端執(zhí)行器固定環(huán)和旋轉環(huán)、繩索及被捕獲衛(wèi)星抓桿在內的剛柔耦合動力學模型。結合廣義α法以及工程上常用的Scaling技術，利用Matlab開發(fā)了計算程序，實現(xiàn)動力學方程的高效精確數(shù)值求解。計算結果表明：此模型能較好地模擬柔性繩索纏繞及捕獲衛(wèi)星的過程，同時給出捕獲過程中衛(wèi)星姿態(tài)的變化及繩索的運動和受力情況，為實際工程中捕獲機構的設計和試驗提供一定的參考依據。

航空、航天科學技術基礎學科；捕獲動力學；柔性繩索；衛(wèi)星姿態(tài)；剛柔耦合；絕對節(jié)點坐標方法

0　引言

隨著航天技術的發(fā)展，在軌服務技術已成為航天高科技領域的一個研究熱點，而機械臂末端執(zhí)行器對目標載荷的成功捕獲是其中的關鍵，也是我國載人航天三期工程正在大力發(fā)展的內容之一。這一技術的研究，直接影響著我國空間站的長期工作性能以及往返運送貨物和宇航員的成本、安全問題，對于我國力求在2020年前后建成大型空間站的目標具有重大現(xiàn)實意義。

基于輕質原則，捕獲機構可采用國際空間站上使用的柔性繩索纏繞捕獲技術［1-3］。圖1為空間機械臂捕獲衛(wèi)星簡易示意圖。對于繩索式末端執(zhí)行器捕獲動力學的研究難點主要有兩方面:一是微重力環(huán)境下具有大柔性、大變形特性的繩索建模困難；二是捕獲過程中復雜的非線性接觸碰撞力較難描述。

圖1　空間機械臂捕獲衛(wèi)星示意圖Fig.1 Schematic diagram of a space manipulator capturing a satellite

柔性繩索的動力學特性研究由來已久。與重力環(huán)境下工程設施中的索纜不同，空間繩索在運動過程中，當內部張力很小時，容易出現(xiàn)應力松弛等力學特性，增加了動力學建模的困難。于洋等［4］分類介紹了國內外幾種常用的空間繩索系統(tǒng)動力學建模方法:離散剛體模型、彈性體模型、離散質點模型等，分別適用于特定工況下的繩索特性研究。國內學者如陳欽等［5］采用集中參數(shù)法建立了空間繩網系統(tǒng)剛柔耦合動力學模型，研究了其發(fā)射展開的動力學問題；針對繩索類捕獲機構，譚益松等［6］采用離散控制模型對柔性繩索進行了建模，分析了柔性繩索在捕獲過程中的復雜動力學問題。但兩種方法均不能精確得到繩索的位形和受力狀況，約束關系的表現(xiàn)形式也極其復雜。因此考慮空間柔性繩索做復雜運動時，需要新的繩索動力學建模方法。

Shabana等［7］基于有限元和連續(xù)介質力學理論，首次提出絕對節(jié)點坐標方法（ANCF），采用節(jié)點坐標、節(jié)點坐標物質導數(shù)作為廣義坐標，可以真實反映大變形柔性體的動力學行為。楊永泰等［8］基于此方法，建立了末端帶集中質量的空間雙連桿柔性機械臂的剛柔耦合動力學模型，研究了機械臂的空間運動規(guī)劃及柔性變形問題。朱大鵬［9］采用該方法建立動力學模型，采用工程正應變與剪應變描述梁單元的變形，進而將考慮截面扭轉變形的縮減直梁單元推廣為曲梁單元。魏承等［10-11］采用縮減的繩索單元對末端執(zhí)行器繩索捕獲過程中的接觸力進行了研究。潘冬等［12］采用實驗研究的方法分析了纏繞過程的接觸力問題，但理論仿真所采用的繩索單元均未對橫觀各向同性材料進行相應的處理。

本文提出基于ANCF描述的繩索單元，推導了其單元應變能及質量矩陣的形式，用于描述空間機械臂末端捕獲機構中柔性繩索的運動，用卡爾丹角描述被捕獲衛(wèi)星的空間姿態(tài)運動，建立了以旋轉環(huán)的轉動帶動繩索運動，繼而使被捕獲衛(wèi)星到達目標方位的剛柔耦合動力學模型。結合廣義α法［13］以及工程上常用的Scaling技術［14］，開發(fā)了計算程序，實現(xiàn)了動力學方程的高效精確數(shù)值求解。計算結果表明，建立的柔性繩索動力學模型能夠較好地模擬機械臂末端執(zhí)行器繩索式捕獲機構的纏繞及捕獲過程。

1　基于ANCF描述的柔性繩索單元

在Gerstmayr等［15］直梁單元研究的基礎上，基于Euler-Bernoulli梁假設，劉鋮［16］提出了ANCF縮減三維曲梁單元。在此框架基礎上，本文提出ANCF縮減三維繩索單元，且根據實際情況，將繩索視為橫觀各向同性材料。圖2為三維繩索單元變形示意圖。

該繩索單元初始長度為l，具有2個節(jié)點，每個節(jié)點有6個絕對坐標，從而有如下12個絕對節(jié)點坐標組成的列向量:

式中:ri，x為節(jié)點i的位置矢量ri對ξ方向的偏導數(shù)矢量，即ri，x=?ri/?x，該矢量用來描述繩索單元中線的變形。繩索單元中線上任一點P的位置矢量可通過單元廣義坐標與單元形函數(shù)表示為

式中:I3為3×3的單位矩陣；ξ為P點在單元坐標系oξyz中的坐標；S為繩索單元的形函數(shù)，其分量表達式為S1=1-3ξ2+2ξ3，S2=l（ξ-2ξ2+ξ3），S3= 3ξ2-2ξ3，S4=l（-ξ2+ξ3），ξ=x/l.

弧長坐標為

圖2　三維繩索單元變形描述示意圖Fig.2 Deformation of 3D flexible rope element

由于在末端執(zhí)行器工作中，繩索的彎曲剛度對當前系統(tǒng)的動力學特性影響很小，故在動力學建模中可以忽略，計算軸向應變時只計拉伸應變而忽略彎曲應變。在初始構型中，設r0為P點所在截面與中線交點的位置矢量，P點附近沿著中線方向的微元長度的平方可表示為

在當前構型中，該微元變?yōu)閐 sP，設r為P點所在截面與中線交點的位置矢量，其長度的平方同樣可表示為

根據Green-Lagrange應變張量的定義，在P點附近微元長度的變化與Green-Lagrange軸向應變關系為

將（5）式、（6）式代入（7）式，并結合（4）式，可得該點的Green-Lagrange軸向應變?yōu)?/p>

由于繩索為橫觀各向同性材料，根據復合材料力學知識可知

式中:ε1和σ1為繩索的軸向應變和應力；ε2和ε3為繩索的兩個橫向應變，σ2和σ3為對應的兩個橫向應力；Sflex表示繩索單元的柔度矩陣；E1為軸向彈性模量；E2為橫向彈性模量；v21為軸向與橫向之間泊松比；v32為橫向與橫向之間泊松比。

由（9）式可得P點的軸向應力為

由繩索的橫觀各向同性以及只受拉不受彎的特性得

將（11）式代入（10）式可得

在得到繩索單元上任一點的軸向應變和軸向應力后，通過對該單元初始構型的體積分，單元應變能可表示為

式中:AS為繩索的截面面積。

單元的質量矩陣為

顯然，單元質量矩陣僅與材料密度與單元形函數(shù)有關，為常數(shù)矩陣。

2　捕獲機構建模

機械臂末端捕獲器以及捕獲器套筒內的操作原理可簡化為圖3所示。根據操作原理，可將其簡化為“一桿、二環(huán)、三繩索”模型，如圖4所示?！耙粭U”即捕獲抓桿，固定在被捕獲衛(wèi)星上，其組成材料為鋁合金?！岸h(huán)”即固定環(huán)和旋轉環(huán)，固定環(huán)固定在機械臂末端的套筒內，旋轉環(huán)可沿著套筒內壁旋轉?！叭K索”即連接固定環(huán)和旋轉環(huán)的3根繩索，每根繩索的兩端分別固定在固定環(huán)和旋轉環(huán)上，初始時呈圓柱螺旋線，處于由兩圓環(huán)組成的圓柱面上，且關于兩圓環(huán)的共同軸線呈120°旋轉對稱，以獲得盡可能大的捕獲容差。

圖3　捕獲器操作原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of capture operating principle

圖4　“一桿、二環(huán)、三繩索”簡化模型Fig.4 “One bar-two rings-three ropes”simplified model

當捕獲桿進入套筒內繩索所圍成的包絡區(qū)域內時，啟動捕獲裝置。在驅動傳動系統(tǒng)的作用下，旋轉環(huán)沿圓周旋轉，使得3根繩索收攏并接觸捕獲桿。在接觸力的作用下，捕獲桿向3根繩索構成的中心移動。在3根繩索完全收攏并接觸捕獲桿后，捕獲桿位置已矯正且不能逃逸，驅動制動系統(tǒng)制動旋轉環(huán)以保證繩索不能繼續(xù)運動，實現(xiàn)對捕獲桿的捕獲。

被捕獲衛(wèi)星星體尺寸設計為1m×1m×1m，質量為2 400 kg，可視為漂浮于無重力空間中的剛體。固定在其上的捕獲抓桿尺寸為φ0.04m×0.35m，質量為1 kg，彈性模量EA=66.7GPa，泊松比vA=0.33.兩圓環(huán)的半徑R=0.72/π≈0.2292m，共用同一中心對稱軸，固定環(huán)在衛(wèi)星一側，兩環(huán)之間距離H=0.2m，可分別視為固定在套筒內和可沿套筒內壁旋轉的剛體。3根柔性繩索的截面半徑為0.001 m，軸向彈性模量E1=130GPa，橫向彈性模量E2=0.13GPa，軸向與橫向之間泊松比v21=0.34.由于捕獲桿的彈性模量遠大于繩索的橫向彈性模量，故捕獲桿可視為剛體。

為描述系統(tǒng)內各剛體和柔性體的運動，定義固定坐標系OXYZ和衛(wèi)星連體坐標系O"X"Y"Z"，如圖5所示，連體坐標系O"位于衛(wèi)星的質心，各坐標軸均為衛(wèi)星的中心慣量主軸，各中心主慣量矩為Jx=Jy=400.2 kg·m2，Jz=400.002 kg·m2，衛(wèi)星相對質心O"的慣量張量J=diag（Jx，Jy，Jz）。固定坐標系O點位于固定環(huán)的圓心，OZ軸位于兩圓環(huán)的中心對稱軸上，初始時OX軸與O"X"軸平行。O"在固定坐標系中的坐標為（0m，0m，-0.6m），故將坐標系OXYZ沿著OZ軸負向平移0.6m便得到原點與O"重合的坐標系O′X′Y′Z′，坐標系O′X′Y′Z′至衛(wèi)星連體坐標系O"X"Y"Z"之間的變換可采用卡爾丹角描述。設卡爾丹角為α、β、γ，則兩坐標轉換矩陣為

3　繩索及衛(wèi)星的動力學方程描述

對于繩索與捕獲桿之間的接觸力，基于Hertz線接觸模型［17］和Lankarani接觸模型［18］中的能量耗散理論，本文提出一種可以考慮接觸過程中能量耗散的法向線接觸力計算模型:

式中:Ce為碰撞恢復系數(shù)，為減少回彈，本文定為0.1；δ為接觸過程中的嵌入深度為接觸過程中的相對嵌入速度，在接觸過程中這兩者均不斷變化；為接觸前瞬間的相對嵌入速度，在某一碰撞過程期間其值是常數(shù)；L為線接觸長度；E*為等效彈性模量，可由（17）式確定:

Ea和Eb分別是兩個接觸物體的彈性模量，va和vb分別是兩個接觸物體的泊松比。

圖5　固定坐標系和連體坐標系示意圖Fig.5 Fixed frame and body frame

按照有限元法中的單元組裝過程，可得到每根繩索的質量矩陣、剛度矩陣、廣義外力向量、彈性力向量，再考慮到每根繩索的約束條件，采用第一類Lagrange方程建立每根繩索的動力學方程為

式中:M為每根繩索質量矩陣；q為每根繩索的廣義坐標向量；F為每根繩索的彈性力向量；Q為每根繩索的廣義外力向量；Φ和Φq分別為每根繩索的約束方程及其對廣義坐標的Jacobi矩陣；λ為Lagrange乘子向量。

每根繩索共有6個約束方程，前3個約束使繩索一端固定在固定環(huán)上并保持靜止，后3個約束使繩索另一端固定在旋轉環(huán)上并隨旋轉環(huán)一起轉動，旋轉環(huán)的轉動角度設計為

對于此3根繩索的微分代數(shù)方程組，即（19）式，本文采用了Arnold等［19］提出的廣義α法迭代策略，為提高計算效率，結合了Bottasso等［14］提出的Scaling縮放技術，縮放系數(shù)取10-12.

下面研究被捕獲衛(wèi)星的姿態(tài)參數(shù)。記3根繩索作用在捕獲桿上的接觸力總和為FN，F(xiàn)N對衛(wèi)星質心的矩為M，衛(wèi)星在連體坐標系中的轉動角速度為w，則衛(wèi)星轉動的動力學方程為

依據剛體動力學，衛(wèi)星轉動的運動學方程為

由（20）式、（21）式并結合衛(wèi)星的初始姿態(tài)構型，經數(shù)值計算可得卡爾丹角α、β、γ，從而獲得衛(wèi)星的姿態(tài)參數(shù)。

圖6表示以上兩類系統(tǒng)動力學方程的聯(lián)合求解過程。

圖6　系統(tǒng)動力學方程求解流程圖Fig.6 Flow chart of solution of system dynamic equations

4　仿真計算結果與分析

由于捕獲桿進入套筒內繩索所圍成的包絡區(qū)域內的隨機性，本文考慮到較不理想情況，捕獲桿與兩圓環(huán)中心軸線之間夾角為較大值10°，捕獲桿沿著兩圓環(huán)中心軸線每旋轉30°為一工況，共有12種工況。考慮到旋轉對稱性，只需對其中4種工況進行仿真，又考慮到等效性，捕獲桿沿著兩圓環(huán)中心軸線旋轉，等效于各圓環(huán)及繩索共同沿著兩圓環(huán)中心軸線反向旋轉，這4種工況的各繩索初始狀態(tài)在固定坐標系OXYZ中的描述為

式中:i=1，2，3為繩索的序號；Li為初始時第i根繩索上某點到固定環(huán)起始點的繩長，0 m≤Li≤0.52m；φ為各圓環(huán)及繩索共同沿著兩圓環(huán)中心軸線的旋轉角，取-30°、0°、30°、60°為對應的4種工況。這4種工況的卡爾丹角初值均為α=10°，β= 0°，γ=0°.將每根繩索均勻分為10個ANCF單元。圖7為φ=0°時繩索捕獲過程各時刻狀態(tài)圖。

圖7　繩索捕獲過程示意圖（左為三維圖，右為俯視圖）Fig.7 Schematic diagram of rope capture process（left:3-D view；right:top view）

由圖7可知，在t=3.43 s時，第3根繩索首先接觸到捕獲桿，系統(tǒng)產生接觸碰撞力并伴隨能量耗散。隨著3根繩索的收攏，所圍區(qū)域逐漸變小，捕獲桿向中間靠攏。到t=7.46 s時，3根繩索都接觸到捕獲桿，之后在3根繩索的接觸力共同作用下，捕獲桿的方位不斷得到矯正。最終在t=12.20 s時，捕獲桿位置已矯正且不能逃逸。一般要求捕獲桿中心軸與兩圓環(huán)中心軸之間夾角小于0.3°.

設捕獲桿中心軸即O"Z"與兩圓環(huán)中心軸即OZ之間夾角為θ、衛(wèi)星在OZ方向上所轉角度為ψ.θ、ψ與卡爾丹角α、β、γ之間的關系為

圖8是旋轉角φ分別為-30°、0°、30°、60°時所對應的4種工況下θ、ψ隨時間t的變化曲線。

圖8　衛(wèi)星各姿態(tài)角隨時間變化曲線Fig.8 Satellite attitude angle versus time

由圖8可知，捕獲桿中心軸與兩圓環(huán)中心軸之間的夾角θ大體上逐漸減小，經矯正后θ均小于0.3°，符合要求。在不同工況下，衛(wèi)星在OZ方向上所轉角度ψ變化趨勢不同，最終值也不同，但其絕對值均小于0.2°，屬于誤差范圍內。

圖9　各繩索中點與捕獲桿中心軸的距離隨時間變化曲線Fig.9 Distance between rope midpoint and capture pole central axis versus time

以旋轉角φ為0°這一工況為例，研究捕獲過程中繩索的運動和力情況。圖9為3根繩索的中點與捕獲桿中心軸的距離d隨時間變化曲線，由圖9可知，繩索中點均不斷靠近捕獲桿中心軸，最后與中心軸的距離均為捕獲桿半徑0.02 m.圖10為3根繩索的繩長LC隨時間變化曲線，由圖10可知，繩索與捕獲桿接觸后繩長均略伸長，在3根繩索均與捕獲桿接觸后的矯正階段伸長量變大，但最終的伸長量均不超過原繩長的1.5％.

圖10 各繩索繩長隨時間變化曲線Fig.10 Cord length versus time

圖11（a）為在固定端附近3根繩索拉力隨時間的變化曲線，圖11（b）為在旋轉環(huán)連接端附近3根繩索拉力隨時間的變化曲線，由圖11可知，繩索與捕獲桿接觸后，繩索的首末兩端拉力均在500 N以內。在3根繩索均與捕獲桿接觸后的矯正階段，首末兩端的拉力快速增大，但固定端3根繩索的拉力均在5 400N之內，旋轉端3根繩索的拉力均在5 780 N之內。該結論可以為柔性繩索的選取和設計提供參考。

圖11　各繩索固定端和旋轉環(huán)連接端拉力隨時間變化曲線Fig.11 Fixed end rope tension and rotating end rope tension versus time

5　結論

本文采用ANCF和卡爾丹角以及非線性接觸碰撞力模型，建立了空間機械臂繩索類末端捕獲機構捕獲衛(wèi)星過程的剛柔耦合動力學模型。結合廣義α法以及工程上常用的Scaling技術，利用Matlab開發(fā)了相應的計算程序，實現(xiàn)了動力學方程的高效精確數(shù)值求解。計算結果能夠較好地模擬繩索纏繞及捕獲衛(wèi)星這一完整過程，使衛(wèi)星從偏差位置、姿態(tài)下矯正到目標位置且不能逃逸，姿態(tài)絕對值在誤差范圍之內；同時研究了繩索首末端的拉力情況，計算結果表明，在3根繩索均與捕獲桿接觸后的矯正階段，首末兩端的拉力快速增大了一個數(shù)量級，為實際工程中柔性繩索的抗拉能力設計提供一定參考。本文給出的多種工況仿真實例說明了該方法的有效性。

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Capturing Dynamics of Flexible Ropes for Space Large-scale End Effector

RONG Ji-li1，XIN Peng-fei1，ZHUGE Xun2，YANG Yong-tai3，XIANG Da-lin1
（1.Department of Mechanics，School of aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2.Beijing Aerospace Propulsion Institute，Beijing 100076，China；3.Quanzhou Institute of Equipment Manufacturing，Chinese Academy of Sciences，Quanzhou 362000，F(xiàn)ujian，China）

The problems of dynamics during winding and capturing a satellite by the space manipulator end-effector are studied.The winding movement of transverse isotropic flexible wire ropes is described by absolute nodal coordinate formulation（ANCF），and Cardan angles are applied to describe the attitude of the rigid satellite.A rigid-flexible coupling dynamic model containing a stationary ring and a rotation ring fixed on the end-effector，three ropes and a shaft of the captured satellite is established.Nonlinear contact force is introduced to reveal the interaction between shaft and wire ropes.The generalized-α method and the scaling technique are employed to develop a numerical calculation program for solving the dynamic equations precisely and efficiently.Simulation results show that the proposed dynamic model can preferably simulate the processes of flexible wire rope winding and satellite capturing.The change of satellite attitude and rope movement during capturing are obtained，which could provide reference basis for design and test of capturing mechanism.

basic disciplines of aerospace science and technology；capturing dynamics；flexible rope；satellite attitude；rigid-flexible coupling；absolute nodal coordinate formulation

V414.1

A

1000-1093（2016）09-1730-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.09.025

2015-12-26

國家自然科學基金項目（10972033）；中國航天科技集團公司航天科技創(chuàng)新基金項目（CAST20100141107）

榮吉利（1964—），男，教授，博士生導師。E-mail:rongjili@bit.edu.cn