例談一題多變與一題多解

毛相平

(浙江省龍游橫山中學，324406)

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例談一題多變與一題多解

毛相平

(浙江省龍游橫山中學，324406)

大量的教學實踐證明,通過一題多變和一題多解來實現(xiàn)數(shù)學的探究性學習,是可行的,也是幫助學生克服狹隘思維的有效方法,還能給學生新鮮感,喚起學生的好奇心和求知欲.為此,本人根據(jù)最近幾年的教學研究與實踐,以高中數(shù)學教學中的一題多變和一題多解為切入點,談幾點粗淺認識.

一、一題多變,重點在于“變化”

1.變換條件,引導類比遷移

教學過程中,通過變換條件,讓學生通過類比,自主尋找變式訓練題的解題方法,從而提高學生對數(shù)學知識的運用能力.

例1若f(x)=3f(-x)+x,x∈R，求f(x)的解析式.

探究點:本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建一個關(guān)于f(x)、f(-x)的方程組,消去f(-x)即可.

在題設(shè)條件中用-x去替換x,即可得一個關(guān)系式,與已知條件聯(lián)立,得方程組

變式2已知f(x)+2f(1-x)=x+1,x∈R，求f(x)的解析式.

探究點:用1-x去替換x,構(gòu)造一個關(guān)于f(x)、f(1-x)的方程組.

在已知條件中,用1-x去替換x,得

解得f(x)=-x+1,x∈R.

2. 變換結(jié)論,引導發(fā)散思維

教學過程中通過變換結(jié)論,讓學生自主探究,有意識地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,提高學生的思維能力.

例2設(shè)a，b，c>0,求證：

探究點:由于例題中的三個分式中的分母都只有一項,故可以將它們一一拆開成兩個分式,再利用基本不等式即可證明.

當且僅當a=b=c時等號成立.

變式設(shè)a，b，c>0,求證：

探究點:引導學生觀察,變式中不等號左邊的分子分母倒了一下,顯然不能直接套用例2的解法了,但求解例2的思想方法仍然可以用.

當且僅當a=b=c時等號成立，

3.變換條件和結(jié)論,引導逆向聯(lián)想

教學過程中通過交換條件和結(jié)論,讓學生自主探究,有意識地改變學生的單向思維,引導學生逆向聯(lián)想,從不同角度加深學生對問題的理解,提高數(shù)學學習興趣與應變能力.

∵x，y>0且x+y=1,

事實證明,一題多變,學生不僅能通過自主探究的方式完成學習任務,而且可以培養(yǎng)學生靈活多變的解題思維與應變能力,對教學質(zhì)量的提高起事半功倍的作用,此外還能引起學生對數(shù)學學習產(chǎn)生積極的情感.

二、一題多解,核心在于“比較”

1.一題多解,注重多種方法的縱向比較

探究點:先引導學生研究原題中與點P無關(guān)的定值是多少,以及產(chǎn)生定值的根本原因.引導學生嘗試多種方法求定值,并進行縱向比較,揭示定值產(chǎn)生的根源.

解法1設(shè)對稱點連線方程為y=kx,M(xm,ym),N(xn,yn),P(x,y),聯(lián)立方程組

解法2設(shè)對稱點坐標M(m,n),N(-m,-n),P(x,y),則直線PM,PN的斜率分別為

解法3設(shè)點M(acosβ,bsinβ),N(-acosβ,-bsinβ)，P(acosα,bsinα)，則

對于雙曲線可采用類似方法得類似性質(zhì)(略).

對于解法1,學生最容易想到,但直線方程與橢圓方程聯(lián)立求交點的化簡過程過于繁瑣,耗時費力,解題的準確率大大降低,不利于學生掌握.解法2巧妙利用對稱點的坐標作為參數(shù),運算過程相對解法1要簡潔,提倡學生掌握這種方法.解法3是學生不容易想到的,也是圓錐曲線問題中最容易被學生忽視的知識點.但利用圓錐曲線的參數(shù)方程設(shè)點的坐標的方法,化簡是最簡潔的.以上三種解法各有不同,但本質(zhì)都是先設(shè)定參數(shù),再利用條件消去參數(shù),從而得到定值. 在講解本題過程中,通過縱向比較,學生不僅復習了大量有關(guān)圓錐曲線的的知識要點,還體驗到不同解法的優(yōu)缺點.所以注重一題多解,縱向比較多重解法,對培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維有很大的幫助.

2.一題多解,注重多元拓展的橫向類比

對于例4,如果僅僅停留在以上三種方法的對比上,學生也只能機械地模仿,學生的想象力與創(chuàng)新能力必然要大打折扣.還可以引導學生自主探究,原問題中橢圓問題除了類比到雙曲線以外,還可以類比到其他曲線嗎?

引導學生聯(lián)想：若M,N是圓C:x2+y2=r2(r>0)C上關(guān)于原點對稱的兩個點,點P是圓上任意一點,當直線PM,PN的斜率都存在,那么kPM和kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值-1.

針對這道例題,我們從橢圓類比到雙曲線,繼而聯(lián)想到圓,通過多元的橫向類比的問題設(shè)計,使學生能達到做一題通一類的學習效果.這就像著名教育家波利亞說的一樣:“一個好老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題就就像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”

本著“探究為主線,思維為核心”的基本理念,本文著手談了如何從“一題多變”和“一題多解”中尋求探究點,并讓學生參與其中,讓學生在這個過程中建立起自己的認知結(jié)構(gòu).我們的最終目的是想通過學生的自主探究,使學生能靈活地運用所學知識來解決實際問題,使學生的主觀能動性得到發(fā)揮,使學生的思維得到拓展.