含參不等式恒成立問題的求解策略

謝淵明

(甘肅省定西市岷縣第一中學(xué)，748400)

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含參不等式恒成立問題的求解策略

謝淵明

(甘肅省定西市岷縣第一中學(xué)，748400)

含參不等式的恒成立問題是高考中的熱點內(nèi)容,它以各種形式出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)中的各部分內(nèi)容中,扮演著重要角色.解決含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.從解題策略的角度看,一般而言,針對不等式的表現(xiàn)形式,有如下策略,供大家參考.

一、變換主元,轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題

處理變元較多不易消元的數(shù)學(xué)問題,可以選其中某個變元作為主元,而將其它變元看作常量,從而達(dá)到減元并簡化解題過程的目的.

例1已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍為()

(A)(-∞,2)∪(3,+∞)

(B)(-∞,1)∪(2,+∞)

(C)(-∞,1)∪(3,+∞)

(D)(1,3)

解把原不等式左端看成關(guān)于a的一次函數(shù),并記

f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，

則f(a)>0對任意|a|≤1恒成立.易知只需

解得x<1或x>3,故選C.

例2已知對一切x∈R,不等式

恒成立,試確定a、b應(yīng)滿足的條件.

解因為x2-x+1>0恒成立,所以原不等式可化為(a-b)(x2-x+1)+(x+2)2>0,以a-b為主元.因為x2-x+1>0,(x+2)2≥0,且原不等式對于一切x∈R恒成立,所以a-b>0,即a>b為a、b應(yīng)滿足的條件.

評注在含參不等式成立的問題中,參數(shù)和未知數(shù)是相互制約、相互依賴的關(guān)系.若能轉(zhuǎn)換兩者在問題中的地位,則關(guān)于x的不等式就立即轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式,給人“山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”之感.

二、聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程,轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題

例3已知x∈(0,+∞)時,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,則m的取值范圍是()

即m2-4m-4<0，

評注本題利用換元法簡化了運算,但需要注意換元后自變量的取值范圍.

三、構(gòu)造函數(shù)求最值

解決這類問題常用兩種方針：一是分離參數(shù)法.這種方法常用到下面結(jié)論:若函數(shù)f(x)存在最小值,則a≤(<)f(x)恒成立?a≤(<)f(x)min;若函數(shù)f(x)存在最大值,則a≥(>)f(x)恒成立?a≥(>)f(x)max.二是利用二次函數(shù)性質(zhì).

則g′(x)=x-(lnx+1)=x-1-lnx,

令h(x)=x-1-lnx,

例6函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a對任意x∈[-2,2]總有f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

f(x)min=f(-2)=(-2)2-2a+3-a

=7-3a.

-6≤a≤2，∴-4

f(x)min=f(2)=7+a.

由7+a≥0，得a≥-7，

∴-7≤a≤-4.

綜上,a的取值范圍是[-7,2].

例7在R上定義運算“*”:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1對一切實數(shù)x恒成立,則實數(shù)y的取值范圍是()

(C)(-1,1)(D)(0,2)

解析由題意知,(x-y)*(x+y)=(x-y)[1-(x+y)]<1對x∈R恒成立.

∴12-4×(-1)×(y2-y-1)<0,

∴4y2-4y-3<0,

四、數(shù)形結(jié)合求參數(shù)

評注在不等式恒成立的處理中,若能畫出不等式兩邊相應(yīng)的函數(shù)圖象,恒成立的代數(shù)問題立即變得直觀化,對立的數(shù)量關(guān)系隨之獲得.數(shù)形結(jié)合可使求解過程簡單快捷.