高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）試題難度趨勢(shì)分析

張定強(qiáng)　閆佳潔

【摘要】高考試題難度已成為基礎(chǔ)教育工作者非常關(guān)心的議題之一.以2011—2016年度高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）為研究對(duì)象，用綜合難度模型法、層次分析法和問卷調(diào)查法，分選擇題、填空題、解答題探析試題的難度變化趨勢(shì)，以把握新課程高考數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀，析理命題變化的規(guī)律，更好地從事高中數(shù)學(xué)教與學(xué).

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；綜合難度模型；層次分析法；試題難度

1引言

高考是銜接基礎(chǔ)教育與高等教育的橋梁，是選拔人才的重要途徑.高考作為實(shí)施新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的重要環(huán)節(jié)，已然成為教育工作者研究的重要問題.本論文以近六年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）為對(duì)象，研究高考數(shù)學(xué)試題難度的變化趨勢(shì)，以把握新課程高考數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀和命題的發(fā)展趨勢(shì)，總結(jié)歸納其規(guī)律，從而更好地進(jìn)行高中數(shù)學(xué)的教與學(xué).

2研究方法

本文采用綜合難度模型法、層次分析法、問卷調(diào)查法，在具體分析時(shí)，按照選擇題、填空題、解答題三種題型分類討論，得出一些規(guī)律，并加以分析討論.

一般情況下，評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題難度是從學(xué)生得分率和試題本身難度的角度進(jìn)行.學(xué)生得分率受學(xué)習(xí)水平、考試環(huán)境、心理素質(zhì)等因素影響，準(zhǔn)確刻畫難度有困難；試題本身難度是學(xué)者根據(jù)影響試題難度的要素建立的評(píng)價(jià)模型，常見的是鮑建生在文[1]中提出的綜合難度模型，分五個(gè)難度因素，每個(gè)因素分別有若干個(gè)水平層次來確定其難度，運(yùn)算公式如下，具體計(jì)算在文三部分.

其中，di（i=1，2，3，4，5）依次表示“探究”、“背景”、“運(yùn)算”、“推理”、“知識(shí)含量”五個(gè)難度因素上的計(jì)算值，dij為第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的權(quán)重（依水平分別取1，2，3…）；nij則表示這組題目中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，n為該組題目的總數(shù).

要計(jì)算某年某類試題的難度，就需要明晰五個(gè)難度因素上的權(quán)重，為此我們采用層次分析法建立權(quán)重模型.首先建立綜合難度模型層級(jí)結(jié)構(gòu)，其次是構(gòu)造判斷矩陣，然后求出該判斷矩陣的唯一最大正特征根對(duì)應(yīng)的特征向量，最后進(jìn)行一致性檢驗(yàn)從而求出五個(gè)因素上的權(quán)重向量.在此需要建立比例標(biāo)度值，對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，由于此難度模型是5階，其隨機(jī)一致性指標(biāo)RI實(shí)際經(jīng)驗(yàn)值是112[2].如何得到層次分析法的比較判斷矩陣，我們對(duì)蘭州市的100名高中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了兩個(gè)因素的相對(duì)重要性方面的問卷調(diào)查，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，將探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量五個(gè)因素按照重要性排序，依次是知識(shí)含量、探究、背景、推理及運(yùn)算，建立了比較判斷矩陣，其最大特征值為λ≈5.3845，得權(quán)重向量如下表1所示：

3.1選擇題

高考數(shù)學(xué)選擇題屬于客觀性試題，即有備選答案.下面依據(jù)鮑建生的綜合難度模型將選擇題按探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量因素及等級(jí)水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表1.

通過上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到了選擇題每個(gè)等級(jí)水平的折線圖；

1選擇題探究因素折線圖圖12選擇題背景因素折線圖由圖11可知，在探究因素方面，近六年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）選擇題中，考查學(xué)生理解水平的題目總體較多，雖然在2012年后，考查理解水平的題目有所下降，但還是高于識(shí)記和探究.

由圖12可知，在背景因素方面，題目幾乎都無背景，為“純粹”的數(shù)學(xué)題，個(gè)別題目以個(gè)人生活、公共常識(shí)和科學(xué)情境為背景，2013年之后，背景題目開始出現(xiàn)，這與新課標(biāo)倡導(dǎo)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)相關(guān)，背景題目的增加會(huì)成為一種要求和趨勢(shì).

由圖13可知，在運(yùn)算因素方面，總體數(shù)值運(yùn)算居多，不涉及運(yùn)算的題目在0—3道之間， 2016年，選擇題中有一半的題目都是簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，總體來說，近六年高考數(shù)學(xué)選擇題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算要求較低.

3選擇題運(yùn)算因素折線圖圖14選擇題推理因素折線圖由圖14可知，在推理因素方面，涉及簡(jiǎn)單推理的選擇題較多，六年中基本保持在每年8道左右，無推理題目自2013年開始，每年都保持在2道，題目難度變化趨勢(shì)穩(wěn)定.

5選擇題知識(shí)含量折線圖由圖15可知，在知識(shí)含量方面，含兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的題目很少，每年都在2—3道之間，考查單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目只有在2013年較多，達(dá)到了7道，考查兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)以上在2—3道的范圍內(nèi)，總體來看，考查兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目較多.

用式（1）對(duì)題目的難度值進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，2011-2016年選擇題的各個(gè)因素平均難度值為：

3.2填空題

高考數(shù)學(xué)填空題與選擇題同屬于客觀性試題，但填空題沒有備選答案.將填空題按探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量因素的等級(jí)水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表3.

3.3解答題

與選擇題和填空題一樣，將解答題按探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量的等級(jí)水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表5.

4結(jié)論與啟示

本文對(duì)2011年到2016年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）試題分選擇題、填空題、解答題作出了統(tǒng)計(jì)分析，可析出如下一些變化.

（1）高考數(shù)學(xué)試題中的選擇題難度呈現(xiàn)出較穩(wěn)定的難度趨勢(shì).從探究因素看，重在考查學(xué)生的理解能力；從背景因素看，基本上為“純粹”數(shù)學(xué)題，但課改后，背景題目逐漸出現(xiàn)，成增長(zhǎng)趨勢(shì)；從運(yùn)算因素看，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算要求較低，一般都是數(shù)值運(yùn)算；從推理因素看，大部分題目涉及簡(jiǎn)單推理，保持在8道左右；從知識(shí)含量來看，選擇題一般考查一到兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).從綜合難度值看，基本在185附近浮動(dòng)，2013年最低，然后又逐漸升高；可以看出實(shí)施新課標(biāo)高考的第一年選擇題難度最低，然后又開始逐漸增加并趨于穩(wěn)定.

（2）高考數(shù)學(xué)試題中填空題的考查水平總體保持較穩(wěn)定的狀態(tài).從探究因素看，考查理解層次的題目較多；從背景因素看，前五年題目無背景，2016年出現(xiàn)了一道以個(gè)人生活為背景的題目，預(yù)計(jì)其后要增加；從運(yùn)算因素看，以簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算和復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算居多，相對(duì)于選擇題，填空題的運(yùn)算要求相對(duì)高一些；從推理因素看，填空題的難度并沒有呈現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)，各個(gè)層次的題目隨機(jī)出現(xiàn)，但復(fù)雜推理的題目每年都有一道；從知識(shí)含量來看，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查比較穩(wěn)定.從綜合難度值來看，基本在18附近浮動(dòng)，綜合難度值整體呈現(xiàn)出穩(wěn)定趨勢(shì).

（3）綜合題仍是難度最大的題型，呈現(xiàn)出先上升后下降再上升再下降的趨勢(shì).解答題在探究因素上呈現(xiàn)出很穩(wěn)定的趨勢(shì)，理解層次的均為2道，其余都是探究層次的題目；從背景因素看，解答題每年都有一道生活類題目，其余均無實(shí)際背景；從運(yùn)算因素看，幾乎都是要求復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算，個(gè)別題目要求簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算，可以說解答題對(duì)學(xué)生運(yùn)算水平要求較高；從推理因素看，要求復(fù)雜推理的居多，簡(jiǎn)單推理的較少，總體呈現(xiàn)出要求降低的趨勢(shì)；從知識(shí)含量看，解答題均考查兩個(gè)及兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)交叉多、難度大.從綜合難度值來看，基本在25附近浮動(dòng)，綜合難度值比選擇題、填空題高出許多.

本文通過對(duì)2011年—2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）進(jìn)行分析，得出了高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（二）試題的整體變化特點(diǎn)，但仍需進(jìn)一步地研究和探討，為高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的發(fā)展做出貢獻(xiàn).從上面三類試題的難度情況看，基本上穩(wěn)定變化，因此在教學(xué)中，教師們要針對(duì)不同類型試題特點(diǎn)進(jìn)行研究，從中挖掘試題中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)精神、思想和方法，基于教材、學(xué)情分析數(shù)學(xué)問題的探究、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量等因素，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.同時(shí)在客觀分析試題的綜合難度時(shí)還要重視對(duì)學(xué)生答題時(shí)的得分率分析，采用主客觀相結(jié)合的方法剖析試題的教育教學(xué)價(jià)值，使之更好地服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)進(jìn)步.當(dāng)然創(chuàng)新教學(xué)方法，在將教學(xué)的數(shù)學(xué)問題置于難度分析的視野下時(shí)，因材施教，有梯度地整合數(shù)學(xué)問題所涉及的難度要素，分層次教學(xué)，讓每個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感覺到學(xué)習(xí)的快樂與力量，全面提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

參考文獻(xiàn)

[1]鮑建生.中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（09）∶48-52.

[2]張炳江.層次分析法及其應(yīng)用案例[M].北京：電子工業(yè)出版社，2014.