淺談二元一次方程組課堂教學(xué)中變式法的應(yīng)用

馬昭浩

【中圖分類號】G632.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）22-0-01

教學(xué)中我們習(xí)慣于題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生做各種各樣的習(xí)題。于是學(xué)生在無數(shù)重復(fù)的題海中疲于奔命，而最后的效果卻差強人意，數(shù)學(xué)成績得不到顯著提升。在新課標指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)的教育教學(xué)方法應(yīng)不斷進步、革新。教學(xué)中不限于掌握課本簡單知識，而是在學(xué)生初步掌握基礎(chǔ)知識、技能后，應(yīng)對學(xué)習(xí)知識進一步的深化和熟練，使學(xué)生在今后學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三，而“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化。即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。

方程是初中階段代數(shù)的重要內(nèi)容，貫穿初中的各個在學(xué)習(xí)階段，也是重要的數(shù)學(xué)方法，掌握好方程解法是極為重要的。在學(xué)習(xí)二元一次方程及二元一次方程組之前學(xué)生已經(jīng)熟悉一元一次方程的解法，因此教學(xué)中把二元轉(zhuǎn)化為一元是關(guān)鍵，也就是消元。用代入法和加減法就能實現(xiàn)消元，但教學(xué)中發(fā)現(xiàn)并不是每個學(xué)生都能根據(jù)二元一次方程組的特點選擇適當?shù)慕夥?，靈活正確解出方程。有的教師教學(xué)中會讓學(xué)生做大量的習(xí)題，而缺少進行的變式教學(xué)及方法的概括。以下是本人在二元一次方程組解法教學(xué)中變式方法的初步應(yīng)用。

出示較為簡單的方程組例題：x+2y=-3①x-3y=2②

先要求學(xué)生用代入法來解，由學(xué)生觀察、討論、分析得出，由x=-3-2y或x=3y+2代入另一個方程即可解出y的值，再把y的值代入方程中的任意一個就可解出x得值。然后推薦學(xué)生代表解說過程，教師在黑板板演。

接著問除了代入法還有別的更簡便辦法消去x嗎？再讓學(xué)生認真觀察方程組中未知數(shù)x系數(shù)的特點？發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)相同，如果兩個方程兩邊分別相減即用加減法來解便可以消去x，顯然比用代入法更加簡便。學(xué)生說過程，教師板演。學(xué)生通過比較初步體會選擇適合方法的重要性。

變式一：2x+2y=-3①2x-3y=2②

學(xué)生觀察、比較方程組與上一個方程組的異同點。用代入法解時很多學(xué)生會習(xí)慣把方程轉(zhuǎn)化為x=-y-32或x=32y+1，顯然再代入方程計算較為麻煩。提醒學(xué)生仔細觀察方程特點，方程①、②中的2x是相同的，因此用整體2x=-2y-3或2x=3y+2代入另一個方程較為簡便，使學(xué)生體會到整體的思想。

能否用加減消元法解這個方程組呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中x的系數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)兩個方程中x的系數(shù)相同都是2，選擇用加減消元法，由①-②可消去x來解方程組顯然更為簡便。

思考：通過解以上這兩個方程組你可有什么心得？讓學(xué)生用自己的語言來表達。

變式二：-2x+2y=-3①2x-3y=2②

觀察上述方程組，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點？選擇什么方法可簡便消去x呢？通過提問學(xué)生有目標性的觀察方程的特點，發(fā)現(xiàn)未知數(shù)x的系數(shù)相反，如把兩個方程的兩邊對應(yīng)相加，便可消掉未知數(shù)x。比用代入消元法解方程明顯簡便。

讓學(xué)生想一想通過解前面三個方程組，你發(fā)現(xiàn)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)什么條件下可用加減消元法？引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反思后總結(jié)：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時（系數(shù)的絕對值相等），將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，從而達到消元解方程組的目的。

變式三：4x+2y=-3①2x-3y=2②

引導(dǎo)學(xué)生觀察方程未知數(shù)系數(shù)的特點，接著問：這個方程組用代入消元法來解簡便嗎？讓學(xué)生嘗試用代入法來解，顯然用代入消元法計算復(fù)雜不簡便。接著問：本例可用加減消元法來解嗎？這兩個方程直接相加減能消去某個未知數(shù)嗎？顯然不能，為什么？那怎樣才能使方程組中的某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等呢？通過這一系列的提問，引發(fā)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生仔細觀察方程組的特點，發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系。如果我們把②x2，就可得4x-6y=4③，再由①-③就可消去x，從而達到消元解方程組。

反思：通過本例你能總結(jié)出什么條件下也可用加減消元法解二元一次方程組呢？

變式四：-2x+2y=-3①5x-3y=2②

想想這個二元一次方程組還可以用加減消元法來解嗎？

顯然方程組中系數(shù)，既沒有絕對值相等，也沒有整數(shù)倍關(guān)系。該怎樣才能把某一未知數(shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化成的絕對值相等呢？先獨立思考后，再小組討論交流，最后小組反饋說出自己的想法。在此過程中，教師適時點撥引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要將同一未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化成它們的最小公倍數(shù)就可以了。由此最終分析得出兩種解法：

方法一：通過由方程①×5，②×2，這樣就使兩個方程中的未知數(shù)x的系數(shù)絕對值相等，再把新得的兩個方程相加就達到消元解方程的目的。

方法二：通過由①×3，②×2，也可使兩個方程中的未知數(shù)y的系數(shù)絕對值相等，從而用加減法可解得。

再引導(dǎo)學(xué)生對兩種方法進行對比，讓學(xué)生自己總結(jié)出應(yīng)選擇方程組中同一未知數(shù)系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元比較簡便。

變式五：-2x+1+2y-1=-35x-1-3y+1=2

觀察本例中二元一次方程組的特點，問：此題可以直接用加減消元法來解嗎？

引發(fā)學(xué)生的思考、討論，并嘗試解題。學(xué)生在解的過程中發(fā)現(xiàn)這個方程組無法直接消元，要先去掉括號，接著移項、合并同類項，化簡整理成“標準形式”的方程組-2x+2y=15x-3y=10，再按變式四中總結(jié)的方法進行解方程組。

變式六：-0.2x+0.3y=-3①52x-53y=2②

出示題后引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組，有了變式五的經(jīng)驗基礎(chǔ)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)此題系數(shù)有小數(shù)、分數(shù)，同樣無法直接用加減消元法來解，自然而然去思考、去討論：如何才能也把方程組化簡成標準形式呢？

通過學(xué)生之間的討論交流發(fā)現(xiàn)：把①×10就把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，把②×6就去掉了分母，從而把方程組化簡成標準形式-2x+3y=-3015x-10y=12，同樣的按變式四的方法就可以解這個方程組了。

及時讓學(xué)生觀察變式五和變式六的解題過程，發(fā)現(xiàn)其共同點：對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡（化整數(shù)、去分母、去括號，合并同類項等方式），把方程組化簡整理成標準的二元一次方程組后，再根據(jù)方程組的特點選擇合適的方法進行消元解方程。

通過這一系列變式的二元一次方程組的解法探索，學(xué)生由淺入深逐步掌握了用消元法解各種類型二元一次方程組，師生共同梳理并歸納出解二元一次方程組的一般思路方法：解二元一次方程組的總體思路是消元，能根據(jù)方程組的特點正確選擇用代入法或加減法，把二元一次方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的一元一次方程，進而解出方程組的解。進一步總結(jié)出用加減法解二元一次方程組的一般步驟：1、如果方程組的兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個方程的兩邊相減，消去這個未知數(shù)。2、如果方程組中不存在某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)（選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)），求出它們的最小公倍數(shù)（如果一個系數(shù)是另一個系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù)），然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等（都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù)），再加減消元。3、對于有括號的或系數(shù)是小數(shù)、分數(shù)的較復(fù)雜方程組，應(yīng)先化簡（化整數(shù)、去分母、去括號、合并同類項等），通常要把每個方程整理成含未知數(shù)的項在左邊，常數(shù)項在方程右邊的標準形式，再作如上加減消元的考慮。

總之，本人在二元一次方程組解法教學(xué)中有目的、有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生多角度，多側(cè)面，多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討，多爭論，幫助學(xué)生使所學(xué)的知識點融會貫通，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，保持其參與教學(xué)活動的興趣和熱情，最終達到提高教學(xué)質(zhì)量的目的，并為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。