問題解決中的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換

盧清榮　盧睿瑄

摘 要：小學(xué)生要學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式，會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實生活和其他學(xué)科中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，并能解釋表達的合理性。有效的數(shù)學(xué)表達離不開數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換有助于學(xué)生在問題解決過程中構(gòu)建問題表征、確定解題思路、掌握解題方法、發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：問題解決；數(shù)學(xué)語言；靈活轉(zhuǎn)換

“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵的三個方面之一。學(xué)生要能“通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的交流方式；能夠有意識運用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實生活和其他學(xué)科中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，并能解釋表達的合理性?！薄皢栴}解決的活動是以問題為目標(biāo)導(dǎo)向、以思考為內(nèi)涵，運用已有知識去探索新情境中的問題結(jié)果的活動?！痹趩栴}解決的過程中，學(xué)生要用已有知識和經(jīng)驗去進行觀察、思考、探索和表達，這些活動都離不開數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，也就是學(xué)生把文字語言、圖表語言和符號語言進行相互轉(zhuǎn)換的過程。小學(xué)生的問題解決過程包括“感知理解問題階段、確定求解方案階段、實施問題解決階段、檢驗評價階段”。無論在哪個階段，學(xué)生只有通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，才能實現(xiàn)對問題的理解、分析、推理或演算。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換越深刻，學(xué)生理解問題就越清晰，分析問題就越有條理，解決問題就越順利，數(shù)學(xué)表達就越流暢。因此，靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言是學(xué)生發(fā)展問題解決能力的關(guān)鍵，也是他們運用數(shù)學(xué)思維進行思考的關(guān)鍵。

一、感知階段轉(zhuǎn)換，理解問題實質(zhì)

感知理解問題就是學(xué)生通過閱讀、觀察、提取、比較等思維活動在頭腦中構(gòu)建問題表征的過程。對問題情境的理解水平直接影響著學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的分析和求解方案的確立。理解問題階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生閱讀情境信息，分析情境問題，并轉(zhuǎn)述問題情境的含義，為學(xué)生提供將新問題納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中的學(xué)習(xí)空間，恰當(dāng)提出“中間”問題，促進他們開展豐富多彩的感知活動來理解問題結(jié)構(gòu)。學(xué)生在理解問題的過程中恰當(dāng)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，就能整理情境中的分散信息，掌握有用信息之間的邏輯關(guān)系，為合理、正確地解決問題提供可能。

教學(xué)“長方形和正方形面積”時，有這樣一道題目：一個邊長為10米的正方形養(yǎng)魚池的四個角上分別栽種了一棵樹?，F(xiàn)在要擴大養(yǎng)魚池，在不移動四棵樹的情況下，擴大后的養(yǎng)魚池形狀仍然是正方形，擴大后的面積是多少平方米？學(xué)生閱讀題目理解問題情境有困難，無法順利建立魚池、栽樹點和正方形之間的聯(lián)系，問題無從下手。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“把樹看作一個點，正方形的四個角各栽一棵樹，栽樹位置與正方形有什么關(guān)系？”學(xué)生經(jīng)過正方形的四個頂點嘗試畫出更大的正方形，并聯(lián)想所畫正方形與原來正方形之間的關(guān)系。

理解問題階段要讓學(xué)生明確已知條件中的有用信息，知道問題情境需要解決的問題是什么，從而理解問題本質(zhì)。學(xué)生面對的問題中包含的信息比較多，有正方形、魚池、正方形四個角栽樹、擴大成新的正方形等。教師要提供“中間問題”引導(dǎo)學(xué)生思考，“把樹看作點，栽樹位置的點與正方形有什么關(guān)系？”在思考中間問題的過程中，學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，抽象出正方形四角栽樹的生活問題就是正方形及四個頂點位置關(guān)系的數(shù)學(xué)問題——求魚池擴大后的新正方形的面積，需要先確定它的邊長。學(xué)生畫大正方形的過程把問題轉(zhuǎn)換成“過頂點作正方形對角線的垂線”的新問題。通過圖形語言轉(zhuǎn)換為新的圖形語言，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的聯(lián)系，并有條理地表達所要求的問題，從而順利地理解問題。

二、確定階段轉(zhuǎn)換，催生求解方案

確定求解方案是根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定問題解決的思路、步驟和具體的方法。其過程實質(zhì)上是在對問題情境理解和數(shù)量關(guān)系把握基礎(chǔ)上，看清楚“已知條件”（當(dāng)時的狀況）和“所求問題”（必須達到的目標(biāo)）之間的差距，利用相關(guān)背景知識，先在頭腦中建構(gòu)問題表征，再根據(jù)一定的推理規(guī)則和解題策略，把生活問題抽象為系統(tǒng)的、邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計解題步驟，選擇解題策略，表征問題結(jié)構(gòu)，確定解題思路。將生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程就是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程。如果數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換順利，學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)表征就具體形象。學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)的抽象越明確，就越有利于建立清晰的解題思路。

教學(xué)“多邊形面積”時，有這樣一道題目：一塊長5分米、寬4分米的長方形彩紙，可以剪成多少個兩條直角邊都是4厘米的直角三角形彩旗？學(xué)生把剪彩紙的生活問題抽象為平均分面積的問題，并基于先前知識經(jīng)驗“已知長方形和三角形的面積，用長方形剪三角形”，在頭腦中建構(gòu)解題計劃——求剪成直角三角形的個數(shù)可以類化為“長方形面積中包含三角形面積個數(shù)”的平均分模型，列出算式：（50×40）÷（4×4÷2）=250（個）。

交流思路時，個別學(xué)生質(zhì)疑方法的局限性，認(rèn)為剪三角形不能包含拼接現(xiàn)象，如果剪的過程中出現(xiàn)“邊角料”現(xiàn)象，就會影響平均分模型解題的適用性。學(xué)生通過畫圖轉(zhuǎn)換問題表征形式，發(fā)現(xiàn)剪三角形的問題就是“每排剪幾個，剪幾排，求一共剪多少個”，就是求幾個幾是多少的乘法模型問題。畫圖（示意圖、線段圖、連線列舉圖、集合圖）是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的基本形式，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化。學(xué)生畫圖的過程就是把抽象的文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言的過程。圖形語言以其可見的直觀性拉近了已知條件與問題之間的距離，學(xué)生因此找到錯誤思路的癥結(jié)。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換幫助學(xué)生調(diào)整解題方案，形成了問題解決的正確思路。

三、實施階段轉(zhuǎn)換，優(yōu)化解題方法

實施問題解決的過程實質(zhì)就是執(zhí)行問題解決方案的過程，也就是求解問題答案的過程。在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，學(xué)生根據(jù)問題的已知條件，按照問題解決的思路將問題情境中數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，列出相應(yīng)的算式，并求出答案。解決問題時，學(xué)生既要明白自己每一步求解的目標(biāo)是什么，又要判斷每一步是否正確。問題解決過程離不開數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，靈活轉(zhuǎn)換能有效提升學(xué)生的運算能力、知識應(yīng)用能力和交流表達能力。

教學(xué)“列方程解決實際問題”時，有這樣一道題目：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米，小雁塔高多少米？學(xué)生已經(jīng)會寫含有字母的式子，會用等式的性質(zhì)解簡易方程，會列方程解決一步計算的實際問題。結(jié)合題目中的數(shù)學(xué)信息分析，學(xué)生能根據(jù)“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”發(fā)現(xiàn)大雁塔和小雁塔高度之間的關(guān)系，并進行完整表述：1.小雁塔的高度×2－22=大雁塔的高度；2.小雁塔的高度×2=大雁塔的高度＋22；3.小雁塔的高度×2－大雁塔的高度=22；4.（大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度，再設(shè)出未知數(shù)并解答，最后交流解方程的過程并寫出答案。學(xué)生在交流、比較中認(rèn)識到列方程解決實際問題一般用最直接明了的數(shù)量關(guān)系比較簡便。

教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平及已有經(jīng)驗引導(dǎo)他們列方程解決實際問題。學(xué)生的問題解決過程就是不斷轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言的過程：在文字語言轉(zhuǎn)換為新的文字語言中，他們從問題情境中抽象出數(shù)量關(guān)系式；在文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言中，他們根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程；在符號語言轉(zhuǎn)換為新的符號語言中，他們解方程求出未知數(shù)。通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，學(xué)生發(fā)現(xiàn)列方程解決問題可以把題目中的未知量與已知量放在同等地位，思考過程更順暢、更靈活；通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，他們不但理解并掌握了方程的解法，而且能靈活列方程解決實際問題，還能體會方程的思想方法及價值，養(yǎng)成獨立思考、主動與他人合作交流等習(xí)慣，最終順利解決了問題，并優(yōu)化了解決問題的方法——選出了數(shù)量關(guān)系與題目信息吻合，能充分體現(xiàn)思考過程與解答同步的方程。

四、檢驗階段轉(zhuǎn)換，評價探究過程

豐富的思維價值蘊含在問題解決的過程中?；仡?、反思問題解決的過程，有助于學(xué)生掌握問題解決的方法以及策略等，促進學(xué)生問題解決能力的發(fā)展。檢驗評價可以從以下幾方面入手：再次觀察問題情境，回顧問題解決過程，檢驗求解算式，驗證問題解決結(jié)果是否正確；反思問題解決過程，分析解題途徑是否合理、精致、簡捷，反思為什么要選擇這樣的解題方法；評價解決問題的策略是否正確、簡潔，能否有更簡潔的途徑驗證解題準(zhǔn)確性，凸顯問題解決方案的多樣化和靈活性。檢驗是數(shù)學(xué)問題解決的重要環(huán)節(jié)，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些錯誤，總結(jié)反思可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)其他解題途徑，發(fā)現(xiàn)不同解題方法之間的聯(lián)系，以便成為一個更好的問題解決者。

教學(xué)“最小公倍數(shù)”時，有這樣一道題目：張師傅和李師傅出海打魚，張師傅每休息5天出海打魚一天，李師傅每休息3天出海打魚一天。如果張師傅和李師傅在5月3日同時出海打魚，那么，他們下一次同時出海打魚的時間是幾月幾日？學(xué)生嘗試練習(xí)后進行交流，多數(shù)學(xué)生先求出5和3的最小公倍數(shù)15，再從5月3日往后推15天，即5月18日為他們再次同時出海打魚的時間。個別學(xué)生畫日歷圖解決問題：從5月3日開始，張師傅再次出海日期為9日、15日、21日、27日……王師傅再次出海的日期為7日、11日、15日、19日……他們再次同時出海的時間是5月15日。學(xué)生的不同答案，似乎都有道理。究竟哪種答案是正確的呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析自己的思路和想法，讓其他學(xué)生檢驗并判斷。有學(xué)生提出問題：“張師傅是休、休、休、休、休、出；李師傅是休、休、休、出。休息5天打魚一天的循環(huán)周期是幾？”有的學(xué)生把原來題目中的信息換一種說法，就是張師傅每6天出海打魚一天，李師傅每4天出海打魚一天，求出6和4的最小公倍數(shù)12，再用5月3日加上12天就是5月15日。答案在爭執(zhí)中越來越明朗，出現(xiàn)錯誤答案的學(xué)生反思自己的錯誤原因時，認(rèn)為自己原來的想法只關(guān)注了兩人的休息時間5和3，從而出現(xiàn)了方向性選擇錯誤。

在問題解決過程中，學(xué)生理解問題的角度不同，常常會在解決同一個問題時提出不同的方法。這些方法可能都是對的，可能都是錯的，也可能既有對的也有錯的，需要學(xué)生進行適當(dāng)檢驗、評價和反思，以便從中獲得不同的啟示。學(xué)生的質(zhì)疑、檢驗和反思過程，其實就是評價他人或自己方法的過程，也是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程，他們把“休息5天打魚一天”“休息3天打魚一天”轉(zhuǎn)換為新的文字語言，從而發(fā)現(xiàn)了方法的錯誤；學(xué)生檢驗循環(huán)周期的過程是把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言的過程，他們通過畫圖正確理解了題意，解決了問題；學(xué)生把原來題目中的信息換一種說法的過程就是把文字語言轉(zhuǎn)換為新的文字語言，解決問題比較簡潔。

總之，問題解決是數(shù)學(xué)思維的過程和目的，也是數(shù)學(xué)思維的基本方法。數(shù)學(xué)問題解決遠(yuǎn)不是單一的解題技巧，它是綜合構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程，是設(shè)計求解模型方法的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維幫助思考的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維探索、分析和解決簡單陌生情境中的現(xiàn)實生活問題，給出數(shù)學(xué)描述和解釋，運用數(shù)學(xué)的語言與思想方法，綜合運用多個領(lǐng)域的知識，提出設(shè)計思路，制定解決方案，能夠在解決問題的過程中選擇合適的方法進行評估……”在問題解決過程中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生熟練轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，就能幫助學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系、正確分析問題和理解問題，就能幫助他們設(shè)計正確的求解方案，實施有效的問題解決。

（作者單位：南京師范大學(xué)相城實驗小學(xué) 南京曉莊學(xué)院濱河實驗學(xué)校）

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：6，83.

[2]梁秋蓮.“問題解決”教學(xué)的研究與實踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（23）：4-7.