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      應用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學問題

      2016-10-21 15:04:59孫輝
      儷人·教師版 2016年5期
      關鍵詞:數(shù)學問題逆向

      孫輝

      【摘要】隨著我國新課程改革的不斷貫徹和深入,在現(xiàn)階段的高中課本中,逐漸引入了近代和現(xiàn)代數(shù)學思想,同時加入了導數(shù)的基礎知識。因此,在高中數(shù)學中出現(xiàn)了很多相關數(shù)學模型,對高中學生的數(shù)學學習帶來一定困難。通過對應用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學問題進行研究分析,希望能夠為相關教育工作者提供一定的理論借鑒。

      【關鍵詞】拉格朗日中值定理 逆向 數(shù)學問題

      前言:拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一,同時也是高中學生必須掌握的定理,對高中生解答數(shù)學題具有至關重要的作用。在如今的高考試題中,常會出現(xiàn)考察高中生運用數(shù)學思想方法解題的問題,對學生數(shù)學能力要求較高。因此,高中數(shù)學教師需要在課堂教學活動中,加強對拉格朗日中值定理知識的滲透,保證所有學生能夠扎實掌握此數(shù)學思想。

      一、拉格朗日中值定理概述

      如果函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ε(a<ε

      二、應用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學問題具體措施

      在面對數(shù)學問題時,利用拉格朗日中值定理需要對問題詳細解讀,充分理順定量之間的限定條件,學生全面掌握拉格朗日中值定理概念的基礎上,對題目與定理之間的關系進行逆向思考,進而構(gòu)建與問題有關聯(lián)的函數(shù),最終實現(xiàn)問題的解答。

      2.1極限問題的求解

      在高中數(shù)學學習階段,有很多方法都能夠解答極限問題,比如說洛必達法則、夾逼定理、或者泰勒公式。上述方法在面對極限問題時,不僅僅便于高中生進行操作,同時解題思路較為清晰明了,能夠有效降低解題難度,有利于提升解題效果。但是,很多極限問題具有一定的困難性和復雜性,利用上述方法無法很好的解決。因此,可以選擇拉格朗日中值定理進行求解。利用拉格朗日中值定理,可以將求積式型的極限替代差式的極限,改變題目,使解答過程更加簡單。此外,面對求解極限問題時,必須充分找出極限問題與拉格朗日中值定理之間的關聯(lián),準確找出連接點,進而使方程式簡化,以此實現(xiàn)問題的解決[2]。不僅于此,在具體計算階段,還需要確認極限式滿足拉格朗日中值定理的限定要求,避免出現(xiàn)解題錯誤的情況。

      2.2不等式問題的求解

      在高中數(shù)學不等式證明中,通常情況下進行函數(shù)的構(gòu)建,以此明確導數(shù)與函數(shù)之間的關系,以此解答問題;使函數(shù)在某個限定條件下符合條件,進而實現(xiàn)不等式的證明。類似此種數(shù)學問題,很難利用初等函數(shù)進行求解,如果利用拉格朗日中值定理,能夠快速準確的求出答案。利用拉格朗日中值定理證明不等式、或者求解不等式時,僅僅需要根據(jù)條件構(gòu)建滿足拉格朗日中值定理要求的函數(shù)即可,之后根據(jù)相應內(nèi)容進行證明。

      2.3證明問題的求解

      在現(xiàn)階段的高等數(shù)學階段,普遍利用拉格朗日中值定理進行問題的證明。在問題的證明過程中,需要高中生能夠?qū)窭嗜罩兄刀ɡ淼脑敿殐?nèi)容做充分掌握,同時能夠利用逆向思維,使思考從題目轉(zhuǎn)回到定理中,根據(jù)具體問題,以此找出與拉格朗日中值定理相關的內(nèi)容,進而將問題與定理合理聯(lián)系起來。在解答數(shù)學問題時,通過利用逆向思維,找出證明途徑,能夠使問題難度降低,更加利于學生解答。

      例如:假設g(a)在[0,1]中可導,并且0

      存在性的證明:可以假設函數(shù)f(a)=g(a)+a-1,那么f(a)在(0,1)范圍內(nèi)可導。同時由于00。依據(jù)根的存在定理可知,f(a)=0在(0,1)中至少存在一個實根。

      唯一性證明:可以假設f(a)=0,在(0,1)中,至少存在2個根a1a2,并且a1

      2.4函數(shù)問題的求解

      拉格朗日中值定理能夠有效經(jīng)導數(shù)與函數(shù)進行相連,中值定理通過聯(lián)系起導數(shù)與函數(shù)之間的關系,可以進一步深入研究函數(shù)性質(zhì),對函數(shù)區(qū)間的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性、以及符號全面解析,有利于學生在整體方面、局部方面掌握函數(shù)關系,拉格朗日中值定理是求解函數(shù)的主要方法。在面對函數(shù)問題時,同樣需要做好逆向分析。根據(jù)拉格朗日中值定理、以及所求證內(nèi)容,以此分析函數(shù)求證之間的關系,并且確認兩者的一致性。有利于幫助學生準備而又快速的求證,簡化函數(shù)問題,提升解題效率。特別注意的是,必須構(gòu)建出最有效、最直接的輔助函數(shù)。

      總結(jié):通過上述論述能夠看出,拉格朗日中值定理對高中生的數(shù)學學習影響深遠。在高中學習階段,學生不僅需要掌握基礎性的數(shù)學知識,以及解題技巧,同時能夠明確各知識之間的內(nèi)在關聯(lián),充分掌握拉格朗日中值定理,結(jié)合逆向思維,利用其正確解答和證明數(shù)學問題,進而提高自身的數(shù)學解題技巧,提高數(shù)學成績。

      【參考文獻】:

      [1]劉彬.拉格朗日中值定理在高中數(shù)學中的應用[J].數(shù)學學習與研究:教研版,2014(9):126-127.

      [2]尹遜波,吳勃英,白紅.拉格朗日中值定理在方程有根證明題中的應用[J].大學數(shù)學, 2015,31(2):84-86.

      [3]王一棋.高觀點下的中學數(shù)學——拉格朗日中值定理在中學數(shù)學中的應用[J].數(shù)學教學通訊:中等教育,2013(33):63-64.

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