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    例談相遇問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2016-10-21 17:01:23沈衛(wèi)軍
    新課程·中旬 2016年5期
    關(guān)鍵詞:時(shí)間路程速度

    沈衛(wèi)軍

    摘 要:在蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上第四章第3節(jié)“用一元一次方程解決問題”中,有一類關(guān)于行程問題的應(yīng)用題中,相遇問題是常見的一類題目,它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)階段,在不等式、函數(shù)中都出現(xiàn)了它的身影,而且方程、不等式、函數(shù)之間有著很密切的關(guān)系。就通過幾個(gè)例題來談一談相遇問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:相遇;時(shí)間;速度;路程

    有關(guān)相遇問題的題目從七年級(jí)上的一元一次方程中首次出現(xiàn),一直到九年級(jí)中的函數(shù)也有相關(guān)問題,在中考中也是常見的一種題型,因此,本文就通過幾個(gè)例題,由淺入深,來談?wù)勏嘤鰡栴}在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

    【例1】甲、乙兩輛汽車分別從相距270千米的A、B兩地同時(shí)相向而行,已知甲車的速度為每小時(shí)行40千米,乙車的速度為每小時(shí)行50千米,問出發(fā)后多長時(shí)間兩車相遇?

    解析:此題中關(guān)鍵是抓住相遇問題中甲、乙兩輛汽車行駛時(shí)間相等,甲乙兩輛汽車行駛的路程之和等于A、B之間的路程即可,如果能畫出線段圖(如下圖),那么問題就能迎刃而解:設(shè)出發(fā)后x小時(shí)相遇,可得方程40x+50x=270,解之得x=3,即出發(fā)后3小時(shí)兩車相遇。

    這是最基礎(chǔ)的相遇問題,解決這類應(yīng)用題,關(guān)鍵是能畫出線段示意圖,特別是一些稍復(fù)雜的題目,分析出整段行駛的過程,理清時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系,這一類相遇的問題便能迎刃而解。

    【例2】小明和爸爸同時(shí)從距離20千米的兩地相向而行,爸爸每小時(shí)走6千米,小明每小時(shí)走4千米,小明帶著只狗,狗每小時(shí)跑10千米,這只狗和小明同時(shí)出發(fā),碰到爸爸的時(shí)候,馬上掉頭朝小明這邊跑,碰到小明的時(shí)候又掉頭朝爸爸方向跑去,直到小明和爸爸相遇,問這只狗一共跑了多少千米?

    解析:此題是多次相遇的問題,但本題中并不需要知道相遇了幾次,求狗一共跑了多少千米,因?yàn)楣返乃俣纫阎?,所以只要知道狗跑的時(shí)間就可以了,而狗跑的時(shí)間和小明、爸爸跑的時(shí)間是相同的,而這個(gè)時(shí)間就是小明和爸爸相遇所需的時(shí)間,從而又轉(zhuǎn)化到例題1中的相遇問題了。

    解:設(shè)小明和爸爸相遇的時(shí)間為x小時(shí)。

    由題意得:6x+4x=20

    x=2

    即狗跑了2小時(shí),所以狗一共跑了2×10=20千米

    但有些題目中并不是同時(shí)出發(fā),或者說他們行駛的時(shí)間是不相等的,那這一類相遇的行程問題又該如何解決呢?那我們就通過下面的例題來看看。

    【例3】甲、乙兩輛汽車分別從相距270千米的A、B兩地同時(shí)相向而行,已知甲車的速度為每小時(shí)行40千米,乙車的速度為每小時(shí)行50千米,甲車剛出發(fā)就因汽車拋錨而耽擱了半小時(shí),問乙車出發(fā)多少小時(shí)后兩車相距20千米?

    此題中甲車中途停留了半小時(shí),所以這半小時(shí),甲車沒前進(jìn),所以在計(jì)算路程時(shí)應(yīng)當(dāng)注意,但不管是停留還是有些題目中誰先出發(fā),我們都應(yīng)該抓住甲乙兩車行駛的路程等于整段路程這一等量關(guān)系,本題還應(yīng)注意兩車相距20千米有兩種情況,第一種情況(如下圖1):兩車還沒相遇之前相距20千米,根據(jù)“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=A、B之間的距離-20千米”這一等量關(guān)系,設(shè)出發(fā)x小時(shí)之后,兩車在相遇前相距20千米,得方程:50x+40(x-0.5)=270-20,解得x=3,第二種情況(如下圖2):兩車相遇之后繼續(xù)往前走,相距20千米,根據(jù)“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=AB之間的距離+20千米”這一等量關(guān)系,設(shè)出發(fā)后y小時(shí)兩車相遇后相距20千米,得方程:50y+40(y-0.5)=270+20,解得y=31/9,因此乙車出發(fā)后3小時(shí)或31/9小時(shí)后兩車相距20千米。

    對于這種不管是中間停留還是誰先出發(fā)的題型,同樣我們應(yīng)該通過畫線段圖,找出他們路程之間的關(guān)系,只不過行駛的時(shí)間現(xiàn)在不相等了,這些都是相遇問題在方程中的應(yīng)用,在其他章節(jié)中同樣也出現(xiàn)過相遇問題,下面我們就繼續(xù)來看看。

    【例4】A、B兩地相距270千米,兩地之間有個(gè)C站,甲車由A地駛往C站,乙車由B地駛往C站,兩車同時(shí)出發(fā),本來約定3個(gè)小時(shí)能同時(shí)到達(dá)C站,但因甲車剛出發(fā)半小時(shí),因汽車拋錨而花了半小時(shí)修車,已知甲車原來的速度為40千米/小時(shí),問甲車為了能趕在B車到達(dá)C站之前到達(dá)C站,甲車修好車之后的速度應(yīng)不低于多少?

    此題中乙車的路程不變,速度不變,到達(dá)C站的時(shí)間也不變,所以關(guān)鍵是甲車修好車之后行駛的那一段路程,甲車出發(fā)半小時(shí),修車半小時(shí),也就是說修好車之后趕去C站的時(shí)間最多2小時(shí),路程不變,由此才會(huì)有問題中甲車速度應(yīng)不低于多少,此題可由“約定3小時(shí)同時(shí)到達(dá)C站”,求出AC之間的距離為40×3=120千米,則修好車之后甲車距C站還有120-40×0.5=100千米,設(shè)甲車的速度應(yīng)不低于x千米/小時(shí),可得不等式x/100≤2,解得x≥50,即甲車的速度應(yīng)不低于50千米/小時(shí)。

    這個(gè)是相遇問題在不等式中的應(yīng)用,我們現(xiàn)在應(yīng)該重點(diǎn)抓住他們在行駛過程中路程、速度或者時(shí)間之間的不等關(guān)系來列出不等式,從而解決問題。下面我們通過最后一個(gè)例題來看一看相遇問題在其他方面的應(yīng)用。

    【例5】如下圖1所示,在A,B兩地之間有汽車站C站,客車由A地駛往C站,貨車由B地駛往A地.兩車同時(shí)出發(fā),勻速行駛.圖2是客車、貨車離C站的路程y1,y2(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系圖象。

    (1)填空:A,B兩地相距_____千米;

    (2)求兩小時(shí)后,貨車離C站的路程y2與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式;

    (3)客、貨兩車何時(shí)相遇?

    解析:(1)由題意可知:B、C之間的距離為60千米,A、C之間的距離為360千米,A,B兩地相距360+60=420千米;

    (2)根據(jù)貨車兩小時(shí)到達(dá)C站,求得貨車的速度,進(jìn)一步求得到達(dá)A站的時(shí)間,進(jìn)一步設(shè)y2與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式可以設(shè)x小時(shí)到達(dá)C站,列出關(guān)系式,代入點(diǎn)求得函數(shù)解析式為y2=30x-60即可;

    (3)兩輛車相遇在函數(shù)圖象中就是兩函數(shù)的圖象相交,求得y1的函數(shù)解析式,與(2)中的函數(shù)解析式聯(lián)立方程,解決問題。

    關(guān)鍵我們來看看第(3)小題,這就是相遇問題在函數(shù)中的應(yīng)用,兩車相遇在函數(shù)圖象中就是兩直線相交,從而我們可以通過列方程組來求兩直線的交點(diǎn),從而求得相遇的時(shí)間。

    函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),也是中考中的一個(gè)熱點(diǎn)考題之一,綜合性比較強(qiáng),解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意結(jié)合圖象說出其圖象表示的實(shí)際意義,這樣便于理解題意及正確解題。

    以上就是我通過幾個(gè)例題來看看相遇問題在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,我們應(yīng)該理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,在平時(shí)的教學(xué)過程中,特別是初三復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練,知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間加強(qiáng)聯(lián)系,做到一題多變。以上就是我自己的一些觀點(diǎn),如有不足之處,希望各位專家和同仁指教。

    編輯 謝尾合

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