定積分思想中近似代替的教學(xué)注記

何宗祥 曹亞文

【摘要】 針對定積分思想的教學(xué)過程中，容易引起和產(chǎn)生混淆的近似代替環(huán)節(jié)，分析了產(chǎn)生問題的原因、提出了解決問題的方法和途徑、并給出了具體教學(xué)過程中實(shí)施的建議.

【關(guān)鍵詞 】 定積分； 分割；等價(jià)無窮??；近似代替

【基金項(xiàng)目】 本項(xiàng)目是2016年安徽省高校省級自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目，項(xiàng)目名稱：高等水生植物抑藻的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建與應(yīng)用（KJ2016A268）.

在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題的過程中，近似代替是定積分思想的一個重要環(huán)節(jié).隨著分割越來越細(xì)，如何選擇特定的、規(guī)則的、熟悉性質(zhì)的已知量近似代替被分割后的小對象，這不僅關(guān)系到定積分表達(dá)式中被積函數(shù)的形式，還關(guān)系到定積分的計(jì)算量，更重要的是關(guān)系到定積分思想運(yùn)用的合理性.這在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題的教學(xué)過程中，是一個十分重要、卻又必須交待清楚、而實(shí)際上卻常常忽略的問題.很多學(xué)生由于忽視了這一環(huán)節(jié)的處理，往往在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題的過程中感到不解、困惑和迷茫.

在運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題的教學(xué)過程中，一定要遵循“隨著分割的加細(xì)，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價(jià)無窮小”的原則.只有這樣才可以使得定積分思想得到合理性的運(yùn)用、實(shí)際問題得到圓滿的解決. 但是，在實(shí)際教學(xué)過程中，由于教師的強(qiáng)調(diào)不足以及學(xué)生的重視不夠，往往造成部分學(xué)生只注重考慮隨著分割的加細(xì)，被分割后的小對象與近似代替其的小對象都是無窮小的事實(shí)，而忽略、或者基本上不考慮他們之間還必須是等價(jià)無窮小的這一根本要求.這樣下去的結(jié)果往往是實(shí)際問題難以通過定積分的運(yùn)用得到合理的解決，從而使得學(xué)生對自己運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題的能力感到懷疑，失去解決實(shí)際問題和進(jìn)一步分析問題的信心.這對學(xué)生學(xué)習(xí)積分學(xué)是十分不利和有害的，對他們今后走向社會在工作中運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題也是有負(fù)面影響的.

以下就運(yùn)用定積分思想，在求平面曲線的弧長、空間曲面的面積這兩個實(shí)際問題的教學(xué)過程中，應(yīng)該如何遵循“隨著分割的加細(xì)，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價(jià)無窮小”這一根本原則，提出一些想法、介紹一些做法.

對于平面光滑曲線弧段L（）：y = f（x），x∈[a，b]，在其上依次任意取n - 1個點(diǎn)，則被分割成n個小弧段.記 T = {|Mi（xi，yi）∈L，A = M0，B = Mn，i = 1，2，…，n}為該分割.由于 = 1，故小弧段的長||可以用其內(nèi)接直線段的長|Mi-1Mi|近似代替.于是，平面光滑曲線弧段的弧長[1]

s = || = |Mi-1Mi| = dx.

在這一實(shí)際教學(xué)過程中，如果教師沒有根據(jù)平面曲線弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，利用“兩邊夾”定理[1] 講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1，那么，不可避免的就會有學(xué)生提出：隨著分割的加細(xì)，作為無窮小的小弧段的長||為什么可以其用內(nèi)接直線段的長||近似代替，卻不可以用同是無窮小的|Δxi|、|Δyi|近似代替？這種問題的提出，是學(xué)生對 = 1這一根本原則的理解和把握不夠. 當(dāng)然，在教師能根據(jù)曲線弧段L（）：y =f（x），x∈[a，b]的光滑性，講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1的前提下，學(xué)生就能夠比較好的理解和把握“隨著分割的加細(xì)，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價(jià)無窮小”這一根本原則，那么，隨著分割的加細(xì)，作為無窮小的小弧段的長||不僅可以用其內(nèi)接直線段的長||近似代替，還可以用小弧段上任意點(diǎn)的切線在[xi-1，xi]上切線段的長|Δxi|，？坌ξi∈[xi-1，xi]，i=1，2，…，n，近似代替.這樣，學(xué)生對運(yùn)用定積分求平面光滑曲線的弧長就會有一個比較好的、深入的和全面的認(rèn)識、理解和把握.這對他們學(xué)習(xí)和運(yùn)用積分學(xué)是十分有益的.

同樣，對于空間光滑曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D，若T = {D1，D2，…，Dn}是D的任意一個分割，則相應(yīng)的∑也被分割成n個小曲面塊∑1，∑2，…∑n，且∑i在坐標(biāo)面xoy上的投影為Di，∑i的面積為ΔSi，Di的面積為Δσi，過∑i上任意一點(diǎn) Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面為πi，πi 上小平面塊Ai在坐標(biāo)面xoy上的投影仍為Di，Ai的面積為ΔAi.由空間曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，并利用“兩邊夾”定理可得 = 1，故小曲面塊∑i的面積ΔSi可以用過∑i上任意一點(diǎn) Mi（ξi，ηi，f（ξi，ηi））的切平面πi上小平面塊Ai的面積ΔAi近似代替，i = 1，2，…，n.于是，空間光滑曲面塊∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的面積[1]

教學(xué)過程中，如果教師沒有根據(jù)空間曲面塊 ∑：z = f（x，y），（x，y）∈D的光滑性，利用“兩邊夾”定理講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1，再加上許瓦耳茲（H.A.Schwarz）的例子[2]的影響就使得學(xué)生在運(yùn)用定積分思想求空間光滑曲面塊的面積過程中，對近似代替這一環(huán)節(jié)的把握深感不解、困惑和迷茫.事實(shí)上，教師在講透徹并且強(qiáng)調(diào)上述等價(jià)無窮小的同時(shí)，再指出許瓦耳茲的例子只是強(qiáng)調(diào)小曲面塊的面積用其內(nèi)接平面塊的面積代替并不總是能夠成立的，只要能夠保證隨著分割的越來越細(xì)，小曲面塊上任一點(diǎn)的法向量與其內(nèi)接平面塊的法向量越來越趨于平行，那么小曲面塊的面積用其內(nèi)接平面塊的面積代替還是可行的.因?yàn)榇藭r(shí) = 1，其中ΔBi為∑i內(nèi)接平面塊的面積，i = 1，2，…，n.所以講透徹并且強(qiáng)調(diào) = 1是運(yùn)用定積分思想求空間光滑曲面塊面積的關(guān)鍵.對它的理解不僅可以說明用小切平面塊的面積代替小曲面塊的面積的合理性，而且還可以得到能夠代替小曲面塊面積的其他形式.由于這些能夠代替小曲面塊面積的各種形式，當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，都是小曲面塊面積的等價(jià)無窮小，故空間光滑曲面塊的面積公式是統(tǒng)一（唯一）的形式.

綜上所述，在運(yùn)用定積分思想解決實(shí)際問題的教學(xué)過程中，一定要注重對“隨著分割的加細(xì)，研究對象被分割后的小對象與近似代替其的小對象之間是等價(jià)無窮小”這一根本原則的把握.只有這樣，才能從眾多的近似代替的各種形式中，提取出最合理的被積表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，為更好的運(yùn)用定積分的思想，使實(shí)際問題得到圓滿解決提供最有效的支持.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析[M].第三版. 北京：高等教育出版社，2001.

[2]Г.М.菲赫金哥爾茨著，微積分學(xué)教程[M].吳親仁，路可見譯，第三卷第二分冊. 北京：人民教育出版社，1978.