基于隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制的歐式期權(quán)動(dòng)態(tài)對(duì)沖研究

張衛(wèi)國(guó)+杜謙

摘要：應(yīng)用隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制方法研究了歐式期權(quán)的動(dòng)態(tài)對(duì)沖問題，該方法能夠靈活選擇適合的目標(biāo)函數(shù)、股票價(jià)格預(yù)測(cè)模型以及顯式處理交易費(fèi)用約束。通過蒙特卡洛仿真對(duì)基于隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制的對(duì)沖方法和delta對(duì)沖方法的效果進(jìn)行了對(duì)比分析，并且對(duì)華夏上證50ETF期權(quán)合約進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果表明了基于隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制的對(duì)沖方法的有效性。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制；動(dòng)態(tài)對(duì)沖；交易費(fèi)用

中圖分類號(hào)：F831 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1009-055X（2016）04-0001-09

doi：1019366/jcnki1009-055X201604001

引言

經(jīng)證監(jiān)會(huì)批準(zhǔn)，我國(guó)首只場(chǎng)內(nèi)交易的期權(quán)產(chǎn)品“華夏上證50ETF期權(quán)”于2015年2月9日在上海證券交易所上市交易，開啟了中國(guó)資本市場(chǎng)期待已久的“期權(quán)元年”，豐富了我國(guó)資本市場(chǎng)上的金融產(chǎn)品，增加了風(fēng)險(xiǎn)管理的手段。

期權(quán)的定價(jià)和對(duì)沖問題一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)，對(duì)資本市場(chǎng)上期權(quán)、結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和交易有著重大意義。Black和Scholes（BS）及Merton對(duì)期權(quán)的定價(jià)和對(duì)沖研究做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，他們?cè)O(shè)定股票價(jià)格變動(dòng)模型為布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)擴(kuò)散模型，通過伊藤引理和積分變換求解隨機(jī)微分方程得到了歐式看漲和看跌期權(quán)的精確價(jià)格。[1-2]他們提出的模型稱為BSM模型，它假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)、無交易費(fèi)用、連續(xù)時(shí)間對(duì)沖，這與實(shí)際市場(chǎng)情況不相符，直接應(yīng)用BSM模型可能帶來較大的對(duì)沖誤差。對(duì)此，學(xué)者們?cè)贐SM模型的基礎(chǔ)上不斷對(duì)模型加以改進(jìn)。例如： Merton在BSM模型的基礎(chǔ)上加入服從泊松過程的跳躍部分來描述股價(jià)的跳躍現(xiàn)象；[3]Heston放松BSM模型中波動(dòng)率為常量的限制，提出了Heston隨機(jī)波動(dòng)模型[4]，他假設(shè)波動(dòng)率服從CIR模型；[5]Bakshi等假設(shè)股票價(jià)格服從隨機(jī)利率、隨機(jī)波動(dòng)率以及泊松跳躍過程的模型，全面考慮市場(chǎng)上影響期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、跳躍風(fēng)險(xiǎn)等主要風(fēng)險(xiǎn)，提出了BCC模型，該模型具有更高的自由度，可以根據(jù)市場(chǎng)數(shù)據(jù)來校準(zhǔn)模型的參數(shù)，通過傅里葉變換得到精確的期權(quán)定價(jià)公式。[6]

期權(quán)對(duì)沖最常見的方法為delta對(duì)沖，即投資組合中標(biāo)的股票的投資份額等于期權(quán)價(jià)格關(guān)于標(biāo)的股票價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)，每一期都根據(jù)delta值來調(diào)整投資策略。Heston模型、BCC模型都可通過計(jì)算delta值來調(diào)整股票頭寸對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。在波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)下，Leland根據(jù)交易費(fèi)用的比例相應(yīng)的調(diào)整波動(dòng)率改進(jìn)了對(duì)沖誤差。[7]Boyle等人在Cox-Ross-Rubinstein 二叉樹定價(jià)模型的基礎(chǔ)上研究了考慮交易費(fèi)用的期權(quán)對(duì)沖問題。[8]Nguyen等人研究了考慮隨機(jī)波動(dòng)率和交易費(fèi)用的期權(quán)對(duì)沖問題，改進(jìn)了Leland調(diào)整波動(dòng)率的方法。[9]

從控制論的角度可以將期權(quán)動(dòng)態(tài)對(duì)沖看成一個(gè)跟蹤控制問題。從市場(chǎng)上得到的標(biāo)的股票價(jià)格、利率、期權(quán)價(jià)格等公開信息看作系統(tǒng)的觀測(cè)值，系統(tǒng)的控制變量為股票、債券的投資金額或者投資份數(shù)，系統(tǒng)的輸出變量為由股票和債券構(gòu)成的投資組合價(jià)值，系統(tǒng)的控制目標(biāo)是在給定投資組合的初始金額等于賣出期權(quán)價(jià)格的條件下，采用合適的控制方法使得投資組合動(dòng)態(tài)跟蹤期權(quán)的價(jià)值，跟蹤誤差越接近零越好，且盡可能地排除隨機(jī)因素的干擾。該系統(tǒng)的方框圖如圖1所示。

控制論中的隨機(jī)最優(yōu)控制可以解決多階段的期權(quán)對(duì)沖問題，通過哈密頓-雅可比-貝爾曼（Hamilton-Jacobi-Bellman）偏微分方程來求解。Gondzio和Zhao等人分別把定價(jià)和對(duì)沖問題轉(zhuǎn)化成隨機(jī)線性規(guī)劃問題，通過多階段隨機(jī)規(guī)劃求解。[10-11]這種方法的主要不足是模擬樹的節(jié)點(diǎn)會(huì)隨著仿真周期的數(shù)量呈現(xiàn)指數(shù)倍增長(zhǎng)，因此通常情況下每個(gè)節(jié)點(diǎn)只考慮2個(gè)或者3個(gè)分叉情況。Primbs把對(duì)沖問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性二次型（LQR）調(diào)控問題，采用兩種方法考慮交易費(fèi)用，一是在目標(biāo)函數(shù)中加入交易成本作為懲罰項(xiàng)，將對(duì)沖問題轉(zhuǎn)化為無約束的隨機(jī)線性二次型問題；[12]另一種方法是通過隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制來處理交易費(fèi)用約束，求解一個(gè)有限時(shí)域的二次規(guī)劃問題。[13]Bemporad等人提出了基于情景樹模擬的隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制方法，將期權(quán)到期時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)映射到較短時(shí)刻，根據(jù)考慮交易費(fèi)用與否選擇跟蹤誤差的方差或者條件在險(xiǎn)價(jià)值（Condition Value at Risk，CVaR）作為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用相應(yīng)的優(yōu)化方法得到了一個(gè)次優(yōu)解。[14-15]尹力博等人研究了人民幣外匯期權(quán)的對(duì)沖問題，考慮不同資產(chǎn)收益率的隨機(jī)波動(dòng)與匯率的隨機(jī)波動(dòng)，構(gòu)建整體風(fēng)險(xiǎn)控制和后驗(yàn)優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)再調(diào)整的外匯期權(quán)組合風(fēng)險(xiǎn)綜合管理機(jī)制，通過基于離散情景樹的多階段隨機(jī)規(guī)劃求解最優(yōu)對(duì)沖策略。

上述關(guān)于期權(quán)對(duì)沖問題的研究工作考慮隨機(jī)波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的比較多，而考慮隨機(jī)利率和跳躍風(fēng)險(xiǎn)的較少。本文選擇隨機(jī)波動(dòng)率、隨機(jī)利率和跳躍風(fēng)險(xiǎn)的BCC模型作為股票價(jià)格的預(yù)測(cè)模型研究歐式期權(quán)的動(dòng)態(tài)對(duì)沖問題。在不考慮交易費(fèi)用的情況下，建立以跟蹤誤差的方差最小化為控制目標(biāo)的優(yōu)化控制模型。在考慮交易費(fèi)用的情況下，建立以跟蹤誤差的CVaR最小化為控制目標(biāo)的優(yōu)化控制模型。并且，通過蒙特卡洛仿真對(duì)基于隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制的對(duì)沖方法和delta對(duì)沖方法的效果進(jìn)行對(duì)比分析。進(jìn)一步使用華夏上證50ETF期權(quán)合約的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果驗(yàn)證了基于隨機(jī)模型預(yù)測(cè)控制方法解決期權(quán)對(duì)沖問題的有效性。

一、構(gòu)建資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)模型

（一）股票價(jià)格模型

通過圖2可以看出，delta對(duì)沖和SMPC對(duì)沖兩種方法整體上能達(dá)到跟蹤期權(quán)回報(bào)的目標(biāo)，但是當(dāng)期權(quán)處于虛值狀態(tài)時(shí)跟蹤誤差較大；從圖3可以看出SMPC對(duì)沖的誤差分布相對(duì)均勻，而delta對(duì)沖的誤差分布左偏。表1中CVaR統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果表明SMPC對(duì)沖的風(fēng)險(xiǎn)要小于delta對(duì)沖的風(fēng)險(xiǎn)。

接下來進(jìn)行考慮交易費(fèi)用的仿真，設(shè)定股票價(jià)格變動(dòng)服從BSM模型，并且預(yù)測(cè)模型也是BSM模型，以跟蹤誤差的95%-CVaR為目標(biāo)函數(shù)。設(shè)置模型中的參數(shù)如下：初始價(jià)格S0=100，敲定價(jià)格K=100，到期日T=10/360年，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=005，波動(dòng)率sigma=03，仿真步長(zhǎng)M = 10，交易費(fèi)用比率ε設(shè)置為1%，總共仿真500次。