淺談如何解答圖形運(yùn)動(dòng)型試題

吳毓文

摘 要：探究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化過程中與圖形相關(guān)的某些量的變化或其中存在的函數(shù)關(guān)系，對(duì)于圖形運(yùn)動(dòng)型試題，要注意用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變的量，不變的關(guān)系或特殊關(guān)系，善于化動(dòng)為靜，由特殊情形逐步過渡到一般情形，綜合運(yùn)用各種相關(guān)知識(shí)及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想加以解決。

關(guān)鍵詞：圖形運(yùn)動(dòng)；化動(dòng)為靜；方程模型；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）16-087-01

探究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化過程中與圖形相關(guān)的某些量（如角度，線段，周長(zhǎng)，面積及相關(guān)的關(guān)系）的變化或其中存在的函數(shù)關(guān)系，這類題目叫做圖形運(yùn)動(dòng)型試題。對(duì)于圖形運(yùn)動(dòng)型試題，要注意用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變的量，不變的關(guān)系或特殊關(guān)系，善于化動(dòng)為靜，由特殊情形（如特殊點(diǎn)，特殊值，特殊位置，特殊圖形等）逐步過渡到一般情形，綜合運(yùn)用各種相關(guān)知識(shí)及數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想加以解決。解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展。從數(shù)學(xué)思想的層面上講：運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類思想；轉(zhuǎn)化思想等。研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對(duì)策，把握方向。只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向。下面以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)型問題舉例分析：

例：如圖，已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）.

（1）求此函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸； （2）點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1個(gè)單位的速度沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形；②設(shè)PQ與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，過M點(diǎn)作x軸的平行線交AB于點(diǎn)N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值或最小值.

解：（1）∵二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，-3），∴c=-3.

將點(diǎn)A（3，0），B（2，-3）代入 ，得 ，解得 ，

∴ ，配方得 ，∴對(duì)稱軸為直線 。

（2）①由題意可知BP=OQ=0.1t，∵點(diǎn)B、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，∴BC∥OA。過點(diǎn)B，點(diǎn)P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D、E。要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，即QE=AD=1.又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t， ∴2-0.2t=1，解得t=5。即t=5秒時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形。

②設(shè)對(duì)稱軸與BC、x軸的交點(diǎn)分別為F、G，∵對(duì)稱軸直線 是線段BC的垂直平分線。

∴BF=CF=OG=1，又BP=OQ，∴PF=QG。又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ，∴MF=MG，∴點(diǎn)M為FG的中點(diǎn)。

∴ ，由 ， ，∴ ，又BC=2，OA=3，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，需要20秒，∴ ，∴當(dāng)t=20秒時(shí)，面積S有最小值3.

解決這類問題的關(guān)鍵是把握量與量之間的關(guān)系，可能會(huì)涉及全等、相似等。

函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系。