求和問題， 數(shù)列教學的 “重頭戲”

瞿麗娟

摘 要： 數(shù)列求和問題是高考重要考點，數(shù)列求和有多種方法，要讓學生分清每種求和方法適用的題目類型。本文主要從公式求和、整體求和、分項求和等幾大方面入手，通過實例介紹每種求和方法的具體應用，讓學生靈活掌握多種數(shù)列求和方法。

關鍵詞： 數(shù)列求和 公式求和 分項求和

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，同時數(shù)列求和問題是高考的重要考點。近幾年高考中數(shù)列求和問題的出題形式越來越靈活，且很有可能結合導數(shù)相關知識讓學生進行不等式證明，作為整張試卷的壓軸題，這種題目的難度不言而喻。盡管數(shù)列求和有很多種方法，有些學生可能覺得無從下手，但是只要分清每種求和方法的適用題目類型，那么數(shù)列求和這個難題便會很快被攻克，下面我將對數(shù)列求和方法進行總結。

一、公式求和，熟練記憶

等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩類是兩種最基本數(shù)列，其他一些較復雜的數(shù)列往往是在這兩種數(shù)列基礎上變形、轉化得來的，所以說掌握這兩種數(shù)列求和方法是學好數(shù)列求和基本條件。

這兩種數(shù)列的求和都有固定的公式，并不需要學生耗費太多精力。如等差數(shù)列的求和公式：Sn= =a n+ n（n-1）d。等比數(shù)列的求和公式：Sn= （q≠1）。除此之外，數(shù)列求和還有其他固定公式，如Sn=1+2+3+…n= n（n+1），Sn=1 +2 +3 +…n = n（n+1）（2n+1），Sn=1 +2 +3 +…n =[ n（n+1）] 。這些公式都是學生進行復雜數(shù)列求和的基礎，所以一定要熟練記憶。

對于有些題目來說，可能題干中并沒有明確指出數(shù)列類型，但是經(jīng)過對數(shù)列的深入分析后便可以得出該數(shù)列等差數(shù)列或是等比數(shù)列這樣的結論，就可以套用公式求和。所以我們要引導學生在做題過程中仔細思考、沉著應對，努力使題目向所學知識靠攏。

二、整體求和，分清類型

對數(shù)列進行求和時，有些數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，無法用公式求和，這時就需要學生采用其他方法求和。有些數(shù)列通過對數(shù)列整體進行變形和運算巧妙求出數(shù)列的和，如數(shù)列求和中的錯位相減法和倒序相加法就運用這種思想。

錯位相減求和適用于通項公式為等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的形式：如“a =3n-1，b =2 ，c =a b ，求c 的前n項和Tn”。仔細觀察之后不難發(fā)現(xiàn)，a 為等差數(shù)列，b 為等比數(shù)列，c 為等差數(shù)列與等比數(shù)列的積，所以這道題毫無疑義要用錯位相減法。需要讓學生寫出Tn的展開式，然后寫出2Tn的展開式，兩式相減可得-Tn的展開式，而這時-Tn的和正好可以用等比數(shù)列的求和公式，就可以得到Tn=8+（3n-4）2 。而對于倒序相加法來說，有著很廣的應用范圍，如可以用來推導等差數(shù)列的求和公式：Sn=a +a +a +…a ，Sn=a +a +a +…a ，因此將二者相加可得2Sn=（a +a ）n，則Sn= 。這種求和適用于第k項與第（n+1-k）項的和為定值的情況。

因此，需要讓學生分清整體求和中每種方法適用的題目類型。有效引導學生做題時仔細觀察題干中數(shù)列的特點，爭取將每種類型典型例題和解題思路都銘記于心，這樣做起題目來才會得心應手。

三、分項求和，對癥下藥

這里所說的分項求和有兩重含義，一個是將每項拆分成多項求和，這種思路對應的是裂項相消求和法。而另一種則是將數(shù)列中所有項的同一類型的項分為一類，這種思路對應的則是分組求和法。

對于裂項相消求和法，針對不同項往往會有不同裂項方法，下面我總結了一些比較常見的裂項方式： = - ， = （ - ）， = （ - ），那么裂項之后又是如何求和的呢？通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，裂項之后的每一項的減數(shù)部分與其下一項的被減數(shù)部分正好相同，所以相加之后兩者相消，這樣的話中間相都被消去，只需用首項和末項的剩余部分進行求解即可。而分組求和這種方法則相對來說比較簡單，通過對數(shù)列進行觀察將數(shù)列中同類型的數(shù)歸為一組，然后分別求和即可，如對于數(shù)列“Sn=0.9+0.99+0.999+…0.9…9（n個9）”的求和，可以讓學生將0.9拆分成1-0.1，將0.09拆分成1-0.01并以此類推，該數(shù)列最后就可以變形成一個全1數(shù)列的和與一個等比數(shù)列的差，這道題解答時充分利用分組求和思想。

總之，要讓學生充分掌握分組求和要領，仔細區(qū)分每一種方法對應的數(shù)列特點，然后對癥下藥，確保每種方法的應用過程都了然于胸，這樣學生做題時才能心中有數(shù)、萬無一失。

四、其他求和，活學活用

除了以上這些數(shù)列求和方法之外，還有一種比較常用的方法就是構造求和法。這種方法應用得十分廣泛，出題方式靈活多變，更需要靈活掌握。

構造求和法的出題形式一般都是給出一個遞推公式，學生剛接觸可能覺得和之前介紹的哪種方法都靠不上，因此可能感覺有些力不從心。其實，這種類型的題目并不難做，需要讓學生依據(jù)題干給出的關系式進行變形和構造，爭取將其改造成我們熟悉的等差和等比數(shù)列，這樣就可以選擇套用公式進行求解。比如：“數(shù)列a 中a =1，a =0.5a +1（n>1），求Sn。”通過對a =0.5a +1進行變形可得a -2=0.5（a -2），這樣將（a -2）構造成了一個等比數(shù)列，根據(jù)公式可以求出a 的通項，進而求出Sn。這種方法的出題方式非常靈活，很難像之前介紹的那些方法一樣有固定的解題套路，那么我們能做的就只有掌握好最基礎的部分，以不變應萬變。

此外，還有一些數(shù)列求和方法如導數(shù)求和法、數(shù)學歸納法及通項分析法等，由于其并不太常見因此這里不再詳細介紹，但前面提到的構造法是需要學生重點掌握的，教學中要有意識地讓學生對此方法多加練習，爭取做題時將該方法應用得爐火純青。

總之，數(shù)列求和問題是高中教學的一大重點也是一大難點，要讓學生們克服畏難情緒，認真分析每一種求和方法適用的題目類型，然后做題時針對數(shù)列的具體特點選擇合適的方法求解。相信在老師和學生的共同努力下，數(shù)列求和這個難關一定會被攻克，數(shù)列求和這個“重頭戲”一定會被唱得異常精彩。

參考文獻：

[1]王建文.數(shù)列求和方法總結[J].新校園，2011（01）.

[2]付偉.數(shù)列求和問題的研究[J].中國校外教育，2012（04）.