復(fù)習(xí)課有效滲透“開放與探究”試題的探究與思考

陳國星

開放探究型問題，可分為開放型問題和探究型問題兩類.

開放型問題是相對于有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的，它是條件或結(jié)論給定不完全、答案不唯一的一類問題.這類試題已成為近年中考的熱點(diǎn)，重在考查同學(xué)們分析、探索能力，以及思維的發(fā)散性，但難度適中.

探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的一類問題.

一、解題策略

由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們在復(fù)習(xí)時，首先對基礎(chǔ)知識一定要全面復(fù)習(xí)，并力求扎實(shí)牢靠；其次要加強(qiáng)對解答這類試題的練習(xí)，注意各知識點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：

1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律.

2.反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致.

3.分類討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)又不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果.

4.類比猜想法，即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密論證.

以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略，在具體操作時應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用.

二、考點(diǎn)精講

（一）開放型問題

考點(diǎn)一：條件開放型

條件開放題是指結(jié)論給定，條件未知或不全，需探求與結(jié)論相對應(yīng)的條件.解這種開放問題的一般思路是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求.

例1：請從以下三個等式中，選出一個等式填在橫線上，并加以證明.

等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD

已知：AB∥CD，BE=DF，？搖？搖 ？搖？搖.

求證：△ABE≌△CDF.

證明：

評注：解決此類問題的一般方法是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合圖形挖掘條件，逆向追索，逐步探尋，是一種分析型思維方式.它要求解題者善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，多途尋因；當(dāng)然也要注意已有的條件及由已有的條件推導(dǎo)出的條件，不可重復(fù)條件，也不能遺漏條件.

考點(diǎn)二：結(jié)論開放型

給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，這些問題都是結(jié)論開放問題.這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進(jìn)行猜想、類比、聯(lián)想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍.

例2：現(xiàn)有四條鋼線，長度分別為（單位：）7、6、3、2，從中取出三根連成一個三角形，這三根的長度可以為？搖？搖 ？搖？搖.（寫出一種即可）

例3：已知，如圖，BC是以線段AB為直徑的⊙O的切線，AC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作弦DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接BD、BE.

（1）仔細(xì)觀察圖形并寫出四個不同的正確結(jié)論：①？搖？搖 ？搖？搖，②？搖 ？搖？搖？搖，③？搖？搖 ？搖？搖，④？搖？搖 ？搖？搖（不添加其他字母和輔助線，不必證明）；

（2）∠A=30°，CD=，求⊙O的半徑r.

評注：此類問題可以充分考查學(xué)生知識的掌握水平，并對問題作更深入的探究.在平常的教學(xué)過程中，應(yīng)該提倡此類題目，讓學(xué)生充分挖掘題目中所能得到的更多結(jié)論.解結(jié)論開放型問題時要充分利用已知條件或圖形特征，進(jìn)行猜想、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論現(xiàn)象，然后經(jīng)過論證作出取舍，這是一種歸納類比型思維.它要求解題者充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維能力和知識應(yīng)用能力.

考點(diǎn)三：策略開放型

一般指解題方法不唯一或解題途徑不明確的問題，這類問題要求解題者善于標(biāo)新立異，優(yōu)化解題方案和過程.在復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力.

例4：如圖1，在第一象限內(nèi)，直線y=mx與過點(diǎn)B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點(diǎn)A，半徑為r的⊙Q與直線y=mx，x軸分別相切于點(diǎn)T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩點(diǎn).

評注：在第（2）的解決過程中，多達(dá)十幾種解法，至少有這三種大的思考方向，一是：平移不變的性質(zhì)，把拋物線平移到合適的位置，從而有效減少參數(shù)，使問題得到有效解決；二是：利用拋物線的幾何性質(zhì)，從而簡化問題；三是：利用同一條線段的兩種不同表示方法列等式進(jìn)行求解.在平常的教學(xué)中，應(yīng)該多注重題目的一題多解及多題歸一的教學(xué).此類問題的一般解法：通常需要模仿、類比、試驗(yàn)、創(chuàng)新和綜合運(yùn)用所學(xué)知識，建立合理的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得以解決.策略開放型問題的解題方法一般不唯一或解題路徑不明確，要求解題者不墨守成規(guī)，敢于創(chuàng)新，積極發(fā)散思維，優(yōu)化解題方案和過程.

考點(diǎn)四：編制開放型

此類問題是指條件、結(jié)論、解題方法都不全或未知，僅提供一種問題情境，需要我們補(bǔ)充條件，設(shè)計結(jié)論，尋求解法的一類題，常令學(xué)生一時不知所措.

例5：某校九年級兩個班各為玉樹地震災(zāi)區(qū)捐款1800元.已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人數(shù)比1班的人數(shù)少10%.請你根據(jù)上述信息，就這兩個班級的“人數(shù)”或“人均捐款”提出一個用分式方程解決的問題，并寫出解題過程.

評注：對于此類編制開放型問題，是一類新型的開放型問題，它要求學(xué)生的思維較發(fā)散，寫出符合題意的正確答案即可，難度要求不大，但學(xué)生容易犯想當(dāng)然的錯誤，敘述不夠準(zhǔn)確，如單位的問題、符合實(shí)際等要求，在解題中應(yīng)該注意防范.

（二）探究型問題

考點(diǎn)五：條件探究型

此類問題結(jié)論明確，而需探究發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目.

（1）求h的值；

（2）通過操作、觀察，算出△POQ面積的最小值（不必說理）；

（3）過點(diǎn)P、C作直線，與x軸交于點(diǎn)B，試問：在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀.

評注：此類型的問題其本質(zhì)與條件探索型相差不大，只是需要多一步作猜想.

考點(diǎn)七：存在探究型

此類問題在一定的條件下，需探究發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.

例8：我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖像是一個中心對稱圖形.你可以利用這一結(jié)論解決問題.

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖像可以看做是：將軸所在的直線繞著原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)y=圖像分別交于第一、三象限的點(diǎn)B、D，已知點(diǎn)A（-m，0）、C（m，0）.

（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是？搖？搖 ？搖？搖；

（2）①當(dāng)點(diǎn)B為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p、α、和m有值；

②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個？（不必說理）

（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，說明理由.

評注：存在性探究的題型的固定的幾種類型，如：相似、等腰、直角、四邊形、面積相等問題，比較容易訓(xùn)練成模型，因此在近幾年的全國范圍內(nèi)的考查中，此類問題正在進(jìn)一步弱化.解答此類問題的一般思路是：先假設(shè)存在，然后由此出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行計算推理論證，導(dǎo)出某個結(jié)果.若該結(jié)果合理，則說明假設(shè)成立，由此得出問題的答案；如果該結(jié)果不合理，則說明假設(shè)不成立，所探索的條件或結(jié)論不存在.