多元函數(shù)積分定義的微課設(shè)計

李紅?陸垚

摘 要：本文針對多元函數(shù)積分定義的微課設(shè)計作了初步的探討。

關(guān)鍵詞：多元函數(shù)的積分；定義；微課；設(shè)計

多元函數(shù)積分部分是高等數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容之一，也是這門課程的重點和難點。多年的教學(xué)經(jīng)驗告訴我們定義是數(shù)學(xué)的靈魂，它直接決定著學(xué)生對這部分知識掌握的程度。因此我們將多種多元函數(shù)積分的定義放到一起構(gòu)成知識單元，通過類比的方法加深學(xué)生對各類多元函數(shù)積分概念的理解，達(dá)到復(fù)雜問題簡單化的目的。下面就是我們具體的做法：

首先，教師在制作微課程之前應(yīng)該對該部分內(nèi)容做一個系統(tǒng)地設(shè)計（最好是圖表形式，間接直觀） ，給微課制作者提供一個可行的整體方案。

我們將各類多元函數(shù)積分的定義放到一起稱之為一個單元，這個單元中包含了二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分和第二類曲面積分共六種多元函數(shù)的積分。為了更好地引入多元函數(shù)積分的定義，我們將定積分作為復(fù)習(xí)模塊納入這個單元，從而將單元劃分為七個知識點；將每個知識點細(xì)分為引例、這類積分的思想方法、定義（符號）、幾何或物理意義、積分域、你對這類積分的概念（符號）的理解、與定義有關(guān)的習(xí)題七個模塊；說明每一個模塊呈現(xiàn)的方式、方法（教案、視頻、圖片、講義、試卷、題庫等形式）；通過學(xué)習(xí)要求學(xué)生完成的線上作業(yè)，并說明此次作業(yè)成績占單元成績的百分比。

其次，教師團(tuán)隊按照之前制定的整體方案分工合作，將我們錄制好的視頻、圖片以及講義、試卷、題庫等分類到不同模塊，以不同形式上傳到學(xué)校的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺，分享給學(xué)生使用。下面就以定積分和二重積分兩個模塊的設(shè)計來說明我們具體的做法：

定積分放到這個單元，目的是幫助學(xué)生回憶定積分的思想方法，溫習(xí)定積分的定義以及它所代表的幾何、物理意義，并和多元函數(shù)積分的定義形成類比。二重積分定義知識點（或其他知識點）與定積分定義知識點中的引例模塊都是通過PPT教案的形式展現(xiàn)，通過學(xué)生線上自學(xué)完成教師提出的問題“曲邊梯形面積的計算與曲頂柱體體積的計算有何異同？”。對比兩類積分的引例，實質(zhì)上它們采取的都是“以直代曲、以常代變、找近似和、取極限”的思想方法。為了達(dá)到學(xué)生能夠靈活的運用這種方法自學(xué)其他類型積分定義的目的，這部分再通過教師講解的微視頻展現(xiàn)。定義（符號）以教師在紙上或黑板上講解的有聲圖片形式呈現(xiàn)，通過類比使學(xué)生深刻理解定積分和二重積分實質(zhì)上都是是離散和的極限值—也就是離散和的推廣“連續(xù)和”（這樣說有可能不科學(xué)，但學(xué)生可以會意地去理解），只不過它們作和的范圍不同（積分域不同）；定積分在幾何上代表的是曲邊梯形的面積，在物理上代表變速直線運動的位移（由此引出定積分的基本公式），二重積分在幾何上代表的是曲頂柱體的體積（由此引出二重積分的計算方法）。二者在物理上具有共同的特性：定積分代表直線型構(gòu)件的質(zhì)量，二重積分代表平面型構(gòu)件的質(zhì)量，并且這種物理解釋可以延續(xù)到三重積分、第一類曲線和第一類曲面積分上。教師通過微視頻講解提醒學(xué)生注意，同時提出問題“如何求三維空間中的立體、曲線型、曲面型構(gòu)件的質(zhì)量”，這樣后續(xù)模塊的鋪墊自然完成。

最后，教師搜集學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的典型問題，通過線下課堂教學(xué)加以講解糾正，將六類多元函數(shù)積分符號與其物理意義相對照書寫出來（表格形式），加以比較，找到各類積分的共同點（沒有方向的積分代表質(zhì)量，有方向的積分代表的是功和流量）與不同點（積分域不同），讓學(xué)生徹底理解各類多元函數(shù)積分的定義不過就是離散和的極限---連續(xù)和，只是不同類型的積分做和的范圍不同而已。通過學(xué)生線上的學(xué)習(xí)，不僅節(jié)省了教師講授的時間，而且使得教師的講解更有針對性，使得像多元函數(shù)積分定義這樣繁瑣的問題一次性地類比解決，讓學(xué)生看到多元函數(shù)的積分原來很容易，真正做到使復(fù)雜的問題簡單化，輕松消化課堂上的難點，激發(fā)他們進(jìn)一步研究各類積分的性質(zhì)和計算方法的興趣，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)第七版，高等教育出版社.

[2]劉群，李紅， 高等數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)， 東北大學(xué)出版社.