受正弦擾動(dòng)的線性系統(tǒng)的無靜差控制?

林 華， 宿 浩， 唐功友

(中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266100)

在實(shí)際應(yīng)用中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都會(huì)受到來自外部的擾動(dòng)信號(hào)。系統(tǒng)的外部擾動(dòng)往往使得控制系統(tǒng)的性能明顯減弱，甚至使閉環(huán)系統(tǒng)無法正常工作。在實(shí)際系統(tǒng)中，具有正弦特性或周期性特性的擾動(dòng)是很常見的擾動(dòng)形式，如飛機(jī)飛行振動(dòng)控制系統(tǒng)[1]、海洋平臺(tái)振動(dòng)實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)[2]、工業(yè)噪聲減振控制、汽車振動(dòng)減振控制系統(tǒng)等都是在具有正弦特性或周期性特性的擾動(dòng)下工作的。因此，研究如何減弱或者抑制外部擾動(dòng)信號(hào)對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響，對(duì)實(shí)際工程實(shí)踐有重要的意義。

對(duì)于受擾系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制問題，通常前饋反饋算法較經(jīng)典的反饋控制有更好的擾動(dòng)抑制效果，例如文獻(xiàn)[3]針對(duì)正弦擾動(dòng)的控制系統(tǒng)，給出了一種前饋反饋的擾動(dòng)抑制算法。前饋控制的缺點(diǎn)是需要增加擾動(dòng)傳感器實(shí)時(shí)測(cè)量擾動(dòng)信號(hào)。對(duì)于已知頻率、未知振幅和初相角的不可測(cè)量的正弦擾動(dòng)，或其它不可測(cè)量的恒值擾動(dòng)，比較有效的擾動(dòng)抑制控制方案包括自適應(yīng)控制[4-5]和預(yù)測(cè)控制[6-7]等，這些方法對(duì)于具有持續(xù)擾動(dòng)(如正弦擾動(dòng))的抑制在一定范圍內(nèi)都會(huì)存在不同程度的靜差?；趦?nèi)模原理的控制器設(shè)計(jì)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制，目前利用內(nèi)模原理主要是針對(duì)擾動(dòng)的不穩(wěn)定模態(tài)設(shè)計(jì)擾動(dòng)抑制控制器[8-9]。文獻(xiàn)[10]利用內(nèi)模原理設(shè)計(jì)了一種受正弦擾動(dòng)的系統(tǒng)的無靜差擾動(dòng)抑制控制器，這種控制器要求正弦擾動(dòng)是可測(cè)量的，控制器中包含了前饋控制的分量。

本文針對(duì)受外部持續(xù)正弦擾動(dòng)的n階線性系統(tǒng)，提出了一種設(shè)計(jì)無靜差擾動(dòng)抑制控制器的設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)狀態(tài)反饋控制器具有二階動(dòng)態(tài)特性。通過設(shè)計(jì)控制器中的n+2個(gè)參數(shù)，可以使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)漸近穩(wěn)定性。利用內(nèi)模原理，通過在控制器中嵌入正弦擾動(dòng)的模態(tài)矩陣，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的無靜差擾動(dòng)抑制。

1 問題描述

考慮受正弦擾動(dòng)的線性系統(tǒng)

(1)

式中：x∈Rn、u∈R、w∈R分別是狀態(tài)向量、控制輸入和擾動(dòng)輸入；x0是初始狀態(tài)向量；A,B為適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣，假設(shè)矩陣對(duì)(A,B)是完全能控的。不失一般性，可將系統(tǒng)(1)描述為能控規(guī)范型形式，即

(2)

假設(shè)外部擾動(dòng)w(t)為正弦特性：

w(t)=asin(ωt+b)。

(3)

式中：頻率ω是已知的，振幅a和初相位b是未知的。并假設(shè)外部擾動(dòng)w(t)是物理不可測(cè)量的。

在實(shí)際系統(tǒng)中，由公式(3)描述的外部擾動(dòng)是普遍存在的，如工業(yè)生產(chǎn)過程中，來自50 Hz工頻干擾的電壓信號(hào)，其頻率是已知的，但初相位和干擾的振幅是未知的。

本文的研究目的是對(duì)于由公式(1)描述的線性系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)對(duì)正弦擾動(dòng)公式(3)的無靜差擾動(dòng)抑制。

2 無靜差控制律的設(shè)計(jì)

(4)

式中

(5)

對(duì)于傳統(tǒng)的內(nèi)模原理設(shè)計(jì)方法，總是考慮在閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)嵌入系統(tǒng)擾動(dòng)或系統(tǒng)參考輸入的不穩(wěn)定的模態(tài)，其目的是抵消系統(tǒng)外部輸入的不穩(wěn)定模態(tài)引起的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。基于內(nèi)模原理的設(shè)計(jì)方法，本文試圖在閉環(huán)系統(tǒng)中嵌入純虛數(shù)極點(diǎn)模態(tài)，并提出設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法。

我們?cè)O(shè)計(jì)如下動(dòng)態(tài)控制律：

(6)

將動(dòng)態(tài)控制律(6)代入系統(tǒng)(1)，得到系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)：

(7)

圖1示出了閉環(huán)系統(tǒng)(7)的結(jié)構(gòu)圖。

我們的目的是設(shè)計(jì)2×n矩陣H和n階行向量k使得：

(I)閉環(huán)系統(tǒng)(7)的極點(diǎn)可以任意配置，即可使閉環(huán)系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定，且當(dāng)擾動(dòng)w(t)≡0時(shí)，狀態(tài)向量x(t)可以以任意預(yù)先給定的指數(shù)速率趨向于0。

(II)當(dāng)擾動(dòng)w(t)由(3)描述時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)(7)可以實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制，即：狀態(tài)向量x(t)滿足：

(8)

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System structure diagram

由公式(7)可知，閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)(n+2)階系統(tǒng)。我們知道，要使閉環(huán)系統(tǒng)(7)的極點(diǎn)可以任意配置，在控制律公式(6)的2×n矩陣H和n階行向量k中，至少要有(n+2)個(gè)自由分量可供我們?cè)O(shè)計(jì)。又要使控制律(6)的結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單，我們希望控制律公式(6)的2×n矩陣H和n階行向量k中分量可供我們?cè)O(shè)計(jì)的自由分量個(gè)數(shù)越少越好。依據(jù)這一設(shè)計(jì)原則，我們選擇2×n矩陣H和n階行向量k的結(jié)構(gòu)為：

(9)

k1,k2和hi(i=1,2,…,n)為待定的常數(shù)。

我們先給出主要結(jié)果：

定理1設(shè)計(jì)受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)。適當(dāng)選擇控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)，閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)的極點(diǎn)可以任意配置。

(10)

(11)

λn+2+(k2-an)λn+1+(ω2+k1-an-1)λn+

[hn+ω2(k2-an)-an-2]λn-1+

[hn-1+ω2(k1-an-1)-an-3]λn-2+

(hn-2-ω2an-2-an-4)λn-3+…+(h3-ω2a3-a1)λ2+

(h2-ω2a2)λ+(h1-ω2a1)。

(12)

預(yù)先給定閉環(huán)系統(tǒng)公式(10)的(n+2)個(gè)極點(diǎn)λi(i=1,2,…,n+2)，則有：

(13)

其中：

(14)

比較公式(12)和(13)等號(hào)右邊λ的同次冪系數(shù)，得到：

hn+ω2(k2-an)-an-2=βn-1，
hn-1+ω2(k1-an-1)-an-3=βn-2，
hn-2-ω2an-2-an-4=βn-3，
…
h3-ω2a3-a1=β2，
h2-ω2a2=β1，
h1-ω2a1=β0，
k2-an=βn+1，
ω2+k1-an-1=βn。

(15)

求解(15)得：

hn=an-2-ω2βn+1+βn-1，
hn-1=an-3+ω2(ω2-βn)+βn-2，
hn-2=an-4+ω2an-2+βn-3，
…
h3=a1+ω2a3+β2，
h2=ω2a2+β1，
h1=ω2a1+β0，
k2=an+βn+1，
k1=an-1-ω2+βn。

(16)

綜上分析，只要按(16)選取控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)，則閉環(huán)系統(tǒng)(10)的極點(diǎn)可以任意配置。

推論1設(shè)計(jì)受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律(6)。適當(dāng)選擇控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)，如果系統(tǒng)擾動(dòng)w(t)≡0，閉環(huán)系統(tǒng)(7)可以是指數(shù)漸近穩(wěn)定的，且狀態(tài)向量x(t)可以以任意預(yù)先給定的指數(shù)速率趨向于0。

證明 令系統(tǒng)擾動(dòng)w(t)≡0，則閉環(huán)系統(tǒng)(10)可以寫為：

(17)

類似于定理1的證明，預(yù)先給定閉環(huán)系統(tǒng)(17)的(n+2)個(gè)具有負(fù)實(shí)部極點(diǎn)λi(i=1,2,…,n+2)，按(16)設(shè)計(jì)控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)，則閉環(huán)系統(tǒng)(7)是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。不妨令

(18)

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)(17)的解滿足：

(19)

式中M是足夠大的正常數(shù)。又由于是任意給定的具有負(fù)實(shí)部的常數(shù)，所以且狀態(tài)向量x(t)可以以任意預(yù)先給定的指數(shù)速率趨向于0。

注1：定理1的證明不僅證明了閉環(huán)系統(tǒng)(10)的極點(diǎn)可任意配置，而且給出了動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)的參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)的選取公式(16)。

定理2設(shè)計(jì)受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)。按公式(16)選取控制器參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)，則閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)關(guān)于狀態(tài)向量x(t)是漸近穩(wěn)定的，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)公式(1)的無靜差擾動(dòng)抑制，即公式(8)成立。

證明 令

ei(t)=vi(t)+zi(t),i=1,2。

(20)

由(4)和(7)得：

(21)

(22)

注2： 由定理2不僅說明了利用受正弦擾動(dòng)(3)的線性系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)可以實(shí)現(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制，而且給出了動(dòng)態(tài)反饋控制律公式(6)的參數(shù)k1,k2和hi(i=1,2,…,n)的選取公式(16)。

3 示例仿真

考慮受正弦擾動(dòng)(3)的3階線性系統(tǒng)(1)，其中：

假設(shè)系統(tǒng)的輸出為y(t)=x1(t)。系統(tǒng)的初始條件為：

x1(0)=x2(0)=x3(0)=0，

a=2,b=0。

以下作者利用本文提出的動(dòng)態(tài)控制律算法公式(6)與狀態(tài)反饋控制律對(duì)該系統(tǒng)的控制效果進(jìn)行比較。在兩種控制律控制效果的討論中，假設(shè)選擇狀態(tài)反饋控制閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為：

s1=-1+j,s2=-1-j,s3=-2。

狀態(tài)反饋控制律及設(shè)計(jì)過程從略。

設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)控制律公式(6)，由公式(11)得閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)的系數(shù)矩陣為：

本文分2種情形討論動(dòng)態(tài)控制律公式(6)的控制效果。

給定閉環(huán)系統(tǒng)公式(7)的(n+2)=5個(gè)極點(diǎn)：

s1=-1+j,s2=-1-j,s3=-2,s4=-3,s5=-4。

則由公式(12)、(13)和(14)得：

β0=48,β1=100,β2=94,β3=46,β4=11。

再由公式(16)得到控制器參數(shù)：

h3=92-11ω2，
h2=ω2(ω2-46)+100，
h1=-2ω2+48，
k2=10，
k1=-ω2+47。

圖2示出了ω=0.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

圖2 ω=0.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.2 Simulation curves of the system when ω=0.5π

圖3示出了ω=π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

圖3 ω=π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.3 Simulation curves of the system when ω=π

圖4示出了ω=1.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

圖4 ω=1.5π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.4 Simulation curves of the system when ω=1.5π

圖5示出了ω=2π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線。

圖 5 ω=2π時(shí)的系統(tǒng)仿真曲線Fig.5 Simulation curves of the system when ω=2π

從圖 2～5 中可以看到，不論外部正弦擾動(dòng)信號(hào)的頻率如何，利用本文提出的控制器算法，都能使閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)逐漸趨于0。正弦擾動(dòng)信號(hào)的頻率越低，控制效果越好。但是利用本文設(shè)計(jì)的控制律，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的超調(diào)量會(huì)隨著正弦擾動(dòng)信號(hào)頻率的增加而增加。在列舉的仿真例子中，當(dāng)正弦擾動(dòng)信號(hào)頻率ω>1.5π時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的超調(diào)量會(huì)迅速增大。而僅利用狀態(tài)反饋控制律，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線都不能使閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)逐漸趨于0。 但會(huì)隨著正弦擾動(dòng)信號(hào)頻率的增加而增加，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線的振蕩幅值越來越小，這說明利用狀態(tài)反饋控制的閉環(huán)系統(tǒng)有低通濾波的特性。

綜上分析表明，本文設(shè)計(jì)的擾動(dòng)抑制控制律能使閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)漸近穩(wěn)定，而且在正弦擾動(dòng)下能夠?qū)崿F(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。本文的控制器設(shè)計(jì)方法特別適合于具有較低振蕩頻率的正弦擾動(dòng)的系統(tǒng)。

4 結(jié)語

本文基于內(nèi)模原理研究了輸出反饋擾動(dòng)抑制控制律的設(shè)計(jì)問題。本文設(shè)計(jì)的擾動(dòng)抑制控制律能使閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)漸近穩(wěn)定，而且在正弦擾動(dòng)下能夠?qū)崿F(xiàn)無靜差擾動(dòng)抑制。仿真結(jié)果表明，本文的控制器設(shè)計(jì)方法僅適用于具有較低振蕩頻率的正弦擾動(dòng)的系統(tǒng)，正弦擾動(dòng)的振蕩頻率越低，閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能越好。