帶形狀參數(shù)的二次非均勻雙曲B樣條曲線

方　玲,　王旭輝

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥　230009)

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帶形狀參數(shù)的二次非均勻雙曲B樣條曲線

方玲,王旭輝

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥230009)

文章給出了帶形狀參數(shù)λ的二次非均勻雙曲B樣條曲線,可以通過(guò)改變?chǔ)酥祦?lái)調(diào)節(jié)曲線形狀,從而為曲線表示提供了一種新方法。此外,該曲線不僅具有一般多項(xiàng)式B樣條曲線的諸多優(yōu)良性質(zhì),還可以精確地表示雙曲線。文章給出具體例子說(shuō)明通過(guò)改變?chǔ)说闹祦?lái)反映其對(duì)圖形的影響。

雙曲B樣條;形狀參數(shù);非均勻節(jié)點(diǎn);調(diào)節(jié)

0　引　　言

B樣條是一種通過(guò)基函數(shù)的線性組合表示的特殊樣條曲線。B樣條曲線在CAD、CAGD中被廣泛應(yīng)用。為了調(diào)整B樣條曲線的形狀,可以通過(guò)調(diào)節(jié)其控制頂點(diǎn)或改變其節(jié)點(diǎn)向量來(lái)完成,但這2種方法都有一定的局限性,如調(diào)節(jié)其控制頂點(diǎn)需要重新計(jì)算曲線方程,改變節(jié)點(diǎn)向量沒(méi)有一定的規(guī)則。為了完善這些不足,人們研究了其他形式的樣條曲線。例如,有理B樣條曲線、三角多項(xiàng)式曲線[1-8]、雙曲樣條曲線[9-17],但是由于之前研究的曲線通過(guò)權(quán)因子的變化來(lái)調(diào)整曲線的形狀或改變曲線的位置在計(jì)算方面(如求導(dǎo)、求積等)比較麻煩。為了增加對(duì)樣條曲線的控制性,文獻(xiàn)[11-15]研究了帶形狀參數(shù)的樣條曲線,可以更加方便有效地對(duì)曲線形狀進(jìn)行調(diào)控。雖然二次非均勻B樣條曲線的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單,但是它廣泛應(yīng)用于曲線曲面造型。

本文通過(guò)增加形狀參數(shù),給出了一種帶一個(gè)形狀參數(shù)的雙曲B樣條曲線的構(gòu)造方法,不僅保持了雙曲樣條的連續(xù)性、幾何不變性等很多優(yōu)良性質(zhì),而且可以通過(guò)改變形狀參數(shù)得到不同形狀的曲線,達(dá)到調(diào)控曲線形狀的效果。更重要的是該曲線能精確表示某些圓錐曲線和超越曲線。文獻(xiàn)[3-8]中提出的方法能夠精確表示橢圓,但不能精確表示雙曲線,本文的方法能夠精確地表示雙曲線,補(bǔ)充了上述文獻(xiàn)中提出的方法的不足。與文獻(xiàn)[14]相比,在能夠達(dá)到同樣的目的下,本文構(gòu)造的基函數(shù)形式更簡(jiǎn)潔、更易于應(yīng)用。另外,相比于多參數(shù)的方法,在精確表示雙曲線方面,單參數(shù)的方法更易于計(jì)算參數(shù)與調(diào)控。

1　二次雙曲B樣條的基函數(shù)

1.1基函數(shù)的構(gòu)造

定義1對(duì)于任意給定的節(jié)點(diǎn)u0

稱(chēng)

(1)

為第i個(gè)帶形狀參數(shù)λ的二次非均勻雙曲B樣條基函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)二次雙曲B樣條基函數(shù)。當(dāng)取均勻節(jié)點(diǎn)向量時(shí),稱(chēng)(1)式為第i個(gè)帶形狀參數(shù)λ的二次均勻雙曲B樣條基函數(shù)。

經(jīng)驗(yàn)證,若節(jié)點(diǎn)是均勻的,當(dāng)λ=0時(shí),(1)式定義的基函數(shù)為文獻(xiàn)[9]中當(dāng)α=1時(shí)的二次均勻雙曲B樣條基函數(shù)。

1.2基函數(shù)的性質(zhì)

定理1通過(guò)(1)式所定義的基函數(shù)具有以下性質(zhì):

(1) 局部支撐性。當(dāng)ui0;當(dāng)u0≤u≤ui或ui+3≤u≤un+3時(shí),bi(u)=0。

證明證明如下：

(1) 當(dāng)ui

1-cosh1<0,

所以有：

即

即

當(dāng)ui0,ci>0,所以βici>0。

當(dāng)ui+1

因?yàn)?/p>

所以

即0<1-βi+1ci+1-αi+1di+1<1。

當(dāng)ui+20,di+2>0,所以αi+2di+2>0。

1.3基函數(shù)的連續(xù)性

定理2設(shè)節(jié)點(diǎn)u0,u1,…,un+3滿足u0

證明因?yàn)?/p>

所以

故(1)式定義的基函數(shù)bi(u)可以通過(guò)調(diào)節(jié)形狀參數(shù)λ來(lái)改變基函數(shù),如圖1所示。

圖1　形狀參數(shù)λ的變化對(duì)基函數(shù)的影響

1.4重節(jié)點(diǎn)的情形

當(dāng)雙曲B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)重?cái)?shù)k≤3時(shí),只要把對(duì)應(yīng)的區(qū)間縮小為0,并去掉基函數(shù)的相應(yīng)段即可。特別地,當(dāng)ui+1=ui+2時(shí),Δui+1=0,(1)式變?yōu)椋?/p>

(2)

定理3若u=uj(j=i,i+1,i+2,i+3)是基函數(shù)bi(u)的k (k=2,3)重節(jié)點(diǎn),則基函數(shù)的支撐區(qū)間從3段減少為4-k段。對(duì)均勻節(jié)點(diǎn),當(dāng)k=2時(shí),基函數(shù)在uj上連續(xù);當(dāng)k=3時(shí),基函數(shù)不連續(xù)。對(duì)非均勻節(jié)點(diǎn),基函數(shù)不連續(xù)。

節(jié)點(diǎn)u2=3為2重節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)分別為單節(jié)點(diǎn)且等距或不等距時(shí)的基函數(shù)如圖2所示。

圖2　節(jié)點(diǎn)u2=3為2重節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)為單節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)

從圖2可以看出,除重節(jié)點(diǎn)外,若其余節(jié)點(diǎn)為單重且等距,則基函數(shù)是連續(xù)的;若其余節(jié)點(diǎn)為單重且不等距,則基函數(shù)不連續(xù)。

2　二次雙曲B樣條曲線

利用定義1的基函數(shù)(1),可以定義如下的二次雙曲B樣條曲線。

定義2任意給定R2或R3中控制頂點(diǎn)P0,P1,…,Pn(n≥2),節(jié)點(diǎn) u0,u1,…,un+3及形狀參數(shù)0≤λ<2e/(e2-1),則

(3)

稱(chēng)(3)式為單形狀參數(shù)的二次非均勻雙曲B樣條曲線,其中bi(u)為(1)式所定義的基函數(shù)。

當(dāng)ui

(4)

2.1曲線的連續(xù)性

定理4給定節(jié)點(diǎn)u0,u1,…,un+3,當(dāng)u=ui為單節(jié)點(diǎn)時(shí),(3)式定義的曲線在該點(diǎn)為C1連續(xù);當(dāng)u=ui為k重節(jié)點(diǎn)時(shí),(3)式定義的曲線在該點(diǎn)為C2-k連續(xù)(k=2,3)。

2.2曲線的整體調(diào)控性

給定樣條曲線的控制頂點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的二次樣條調(diào)控性可分為:

(1) 固定節(jié)點(diǎn),通過(guò)改變?chǔ)说闹祦?lái)進(jìn)行調(diào)控,如圖3a所示。

(2) 固定λ,通過(guò)改變節(jié)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行調(diào)控,如圖3b所示。

(a)　改變?chǔ)?/p>

(b)　改變節(jié)點(diǎn)向量

2.3精確表示雙曲線

定理5二次樣條曲線(3)式可精確表示雙曲線。

證明令之前所定義的雙曲B樣條曲線中的λ=0,控制頂點(diǎn)為Pi=(xi,yi),i=0,1,2,且x2=x0≠0,y2=-y0≠0,x1=y1=0,則有：

(5)

則有：

(6)

易知(6)式可精確表示雙曲線,如圖4所示。

圖4　精確表示的雙曲線

2.4圖形例子

通過(guò)改變二次雙曲B樣條的形狀參數(shù)λ值得到的一系列圖形如圖5所示。

(a)　花瓣

(b)　心形

3　結(jié)　　論

本文構(gòu)造了帶一個(gè)形狀參數(shù)的二次雙曲B樣條曲線,其形式比較簡(jiǎn)單,具有二次B樣條曲線的連續(xù)性、權(quán)性等性質(zhì)，并且能夠整體調(diào)控曲線,能精確表示雙曲線,能近似表示圓與橢圓。當(dāng)控制多邊形和節(jié)點(diǎn)向量確定時(shí),可以通過(guò)改變形狀參數(shù)的大小來(lái)調(diào)整曲線的形狀,從而獲得需要的形狀。

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(責(zé)任編輯朱曉臨)

Quadraticnon-uniformhyperbolicB-splinecurveswithashapeparameter

FANGLing,WANGXuhui

(SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009，China)

Akindofquadraticnon-uniformhyperbolicB-splinecurvewithashapeparameterλispresented.Theshapeofthecurvecanbemanipulatedbychangingthevalueoftheparameterλ,thusconstructingasimplemethodtorepresentplanarcurves.ThiskindofcurvenotonlypossessesthemostadvantagesofquadraticpolynomialB-splinecurves,butalsorepresentshyperbolasaccurately.Thenumericalexamplesaregiventodemonstratetheeffectoftheparameterλonthegraphbychangingthevalueofit.

hyperbolicB-spline;shapeparameter;non-uniformknot;regulation

2015-03-30；

2015-08-14

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11301131)

方玲(1989-),女,安徽安慶人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

王旭輝(1980-),男,安徽廬江人，博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.028

TP391

A

1003-5060(2016)08-1148-05