把數(shù)學(xué)史料融入數(shù)學(xué)探究之中

邵漢民 陳芳

【摘 要】“圓周率”是小學(xué)階段一個(gè)學(xué)生不可能依靠自主探究得到的概念。在對(duì)“圓周率”數(shù)學(xué)史料進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行教學(xué)構(gòu)思，首先解決圓周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)疑問(wèn)；接著在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的過(guò)程中，進(jìn)一步積累疑問(wèn)；然后通過(guò)簡(jiǎn)要回顧數(shù)學(xué)“圓周率”的歷史，認(rèn)識(shí)圓周率；最后總結(jié)圓周長(zhǎng)公式。

【關(guān)鍵詞】圓周率 設(shè)疑 積疑 釋疑

數(shù)學(xué)的概念、定義、法則的產(chǎn)生與形成，大多經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷程，在課堂上讓學(xué)生真實(shí)地經(jīng)歷這樣一個(gè)過(guò)程，是不可能也是沒(méi)有必要的。在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究的過(guò)程時(shí)，我們通過(guò)閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，再結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，確定哪些過(guò)程適合于學(xué)生探究，哪些過(guò)程只要學(xué)生讀史了解？下面以“圓周長(zhǎng)”一課中設(shè)計(jì)“圓周率的教學(xué)”為例來(lái)闡述具體做法。

一、讀史感悟

圓周長(zhǎng)的精確測(cè)量是一個(gè)千古難題，在對(duì)這個(gè)難題的破解中，人們發(fā)現(xiàn)了圓周率。圓周率的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)時(shí)期、幾何法時(shí)期、分析法時(shí)期、計(jì)算機(jī)時(shí)期這四個(gè)時(shí)期。從實(shí)驗(yàn)時(shí)期到幾何時(shí)期，是人類對(duì)于圓周率求值過(guò)程的第一次飛躍，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；從幾何時(shí)期到分析時(shí)期，是代數(shù)思想發(fā)展帶給數(shù)學(xué)的生機(jī)；從分析時(shí)期到計(jì)算機(jī)時(shí)期，對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)達(dá)到了質(zhì)的飛躍，成為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)的一大貢獻(xiàn)。

當(dāng)然，要在短短的40分鐘內(nèi)讓小學(xué)六年級(jí)的學(xué)生親身探究這樣的一個(gè)過(guò)程，無(wú)論從時(shí)間與已有的知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)說(shuō)是做不到的。我們可以做的是，創(chuàng)設(shè)情境，在經(jīng)歷了用實(shí)驗(yàn)法只能得到圓周率的大致值的體驗(yàn)之后，介紹之后的關(guān)于圓周率的研究成果與方法。在這樣一個(gè)大的背景下來(lái)認(rèn)識(shí)圓周率，學(xué)生頭腦中的“圓周率”才是比較完整的、真實(shí)的。

為得出圓周率，以下兩個(gè)活動(dòng)必不可少。

第一，讓學(xué)生動(dòng)手量一量圓的周長(zhǎng)與直徑，再算出它的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)。

第二，在操作后發(fā)現(xiàn)它的結(jié)果是三倍多一些，但又不能確定是幾時(shí)，展示事先準(zhǔn)備的資料，介紹圓周率的發(fā)現(xiàn)史，進(jìn)而總結(jié)出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式。

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，人的學(xué)習(xí)過(guò)程是從心理平衡到不平衡再到平衡的一個(gè)認(rèn)知過(guò)程。為讓學(xué)生在圓的周長(zhǎng)的教學(xué)過(guò)程中經(jīng)歷這樣一個(gè)過(guò)程，我們?cè)趫A周率的教學(xué)這一個(gè)環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了積疑、設(shè)疑和釋疑這樣一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。積疑，就是讓學(xué)生在直接測(cè)量一些圓形物品周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，指出如果要測(cè)量黑板上的圓，怎么辦？有沒(méi)有更好的辦法？設(shè)疑，就是讓學(xué)生回顧已有知識(shí)，說(shuō)一說(shuō)圓的周長(zhǎng)與直徑之間的倍數(shù)關(guān)系，了解不同時(shí)期對(duì)圓周率有不同的說(shuō)法，并通過(guò)實(shí)際測(cè)量發(fā)現(xiàn)，圓周率總是得不到統(tǒng)一。這時(shí)教師介紹圓周率的發(fā)現(xiàn)史，進(jìn)行釋疑。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）積疑——從可以直接測(cè)量圓周長(zhǎng)到不可能直接測(cè)量

【片段一】

圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系是客觀存在著的一種現(xiàn)實(shí)，對(duì)于這一個(gè)關(guān)系進(jìn)行探究的目的應(yīng)該是為了解決實(shí)際問(wèn)題，即當(dāng)不能直接測(cè)量出圓的周長(zhǎng)時(shí)，怎么辦？

教師為同桌學(xué)生提供一枚1元硬幣與一顆中國(guó)象棋子，引導(dǎo)學(xué)生“化曲為直”直接測(cè)量出圓的周長(zhǎng)。接著教師提問(wèn)，如果要知道畫在黑板上的圓周長(zhǎng)，你能用什么辦法？

師：當(dāng)一個(gè)圓形在某一個(gè)柱體上時(shí)，可以用化曲為直的方法來(lái)解決。但如果是一個(gè)圓形，我們直接測(cè)量周長(zhǎng)就很困難了。你有什么辦法來(lái)解決這個(gè)難題？

生：可以測(cè)出圓的直徑，再乘3.14。

師：為什么可以這么做？

生：因?yàn)閳A的周長(zhǎng)是直徑的3.14倍。（教師板書：“直徑 3.14倍”“圓周長(zhǎng)=直徑×3.14”）

師：你是怎么知道周長(zhǎng)是直徑的3.14倍的。

生：我是看書知道的。

師：老師也看到一本書，上面是這樣介紹的：

公元前200年《周髀算經(jīng)》 周三徑一

生：這里說(shuō)的是“周長(zhǎng)是直徑的3倍”。（教師板書：“3倍”）

師：現(xiàn)在怎樣求圓周長(zhǎng)？

生：圓周長(zhǎng)=直徑×3。

師：現(xiàn)在我們得到了兩個(gè)求圓周長(zhǎng)的式子，用哪一個(gè)來(lái)做才是正確的呢，或者說(shuō)兩個(gè)都有問(wèn)題？你有什么辦法可以來(lái)驗(yàn)證？

（教學(xué)意圖：對(duì)于圓周率的值，有部分學(xué)生可能已經(jīng)通過(guò)看書有了認(rèn)識(shí)，但又不可能對(duì)其進(jìn)行全面的了解，教師充分利用學(xué)生的這一個(gè)認(rèn)識(shí)起點(diǎn)，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)、算一算。同時(shí)教師再舉一個(gè)書本中的例子，發(fā)現(xiàn)書本對(duì)于圓周率并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的說(shuō)法。從而產(chǎn)生了一個(gè)新的疑問(wèn)，生發(fā)了進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證的需要。）

（二）設(shè)疑——從不能直接測(cè)量到探究圓周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系求圓周長(zhǎng)

【片段二】

用實(shí)際測(cè)量圓的周長(zhǎng)與直徑，再通過(guò)計(jì)算來(lái)探究圓周率的過(guò)程，就是實(shí)驗(yàn)法。這是人類探究圓周率最原始的方法，需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)最少，適合于小學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)。但我們又應(yīng)該清醒地認(rèn)識(shí)到，這種方法并不是求圓周率的最佳策略，不可能對(duì)前面所積累的疑問(wèn)得到圓滿的解決，只是讓學(xué)生掉進(jìn)更大的疑問(wèn)之中。

生：我們前面已經(jīng)測(cè)量出一枚1元硬幣和一顆中國(guó)象棋圓面的周長(zhǎng)，現(xiàn)在只要再測(cè)量出它們的直徑，除一除就可以得到結(jié)果了。

師：聽(tīng)清他講的意思了嗎？（學(xué)生測(cè)量并計(jì)算）

師（找兩張結(jié)果都是三倍多一點(diǎn)的在投影上展示）：你有什么發(fā)現(xiàn)與疑問(wèn)？

生：我發(fā)現(xiàn)求出的結(jié)果并不是三倍，而是三倍多一點(diǎn)，而且兩次的結(jié)果并不相同？

師：有沒(méi)有結(jié)果剛好是3.14的？

有一組學(xué)生舉手。教師把他們的結(jié)果展示出來(lái)，見(jiàn)下表。

師：請(qǐng)同學(xué)們幫助算一算它的結(jié)果。

學(xué)生計(jì)算后都發(fā)現(xiàn)沒(méi)有計(jì)算錯(cuò)誤。這時(shí)教師追問(wèn)：你對(duì)這組數(shù)據(jù)有什么疑問(wèn)？

有些學(xué)生思考后舉手說(shuō)：周長(zhǎng)這個(gè)數(shù)據(jù)不可能量得這么精確。

師：大家認(rèn)為呢？（這時(shí)學(xué)生也恍然大悟）

師：對(duì)了，用我們的尺子來(lái)量，最多只能精確到十分位。并且用尺子測(cè)量線段時(shí)，有一些線段是不可能測(cè)到它的準(zhǔn)確值，這一點(diǎn)到我們讀初中時(shí)數(shù)學(xué)老師會(huì)給同學(xué)們說(shuō)明。不巧的是，在圓中，直徑與周長(zhǎng)中至少有一個(gè)值是無(wú)法用尺子測(cè)量到它的準(zhǔn)確值的。所以用測(cè)量的方法要得到圓周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)的準(zhǔn)確值是不可能的。

[教學(xué)意圖：從圓周率值的精確過(guò)程來(lái)看，經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)法計(jì)算時(shí)期、幾何法計(jì)算時(shí)期、分析法計(jì)算時(shí)期與計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)期。學(xué)生動(dòng)手測(cè)量只是最為原始的實(shí)驗(yàn)法計(jì)算時(shí)期。因此，在一般情況下是不可能得到如3.14這樣的結(jié)論的。但學(xué)生又是在知道圓周率的值（約）是3.14的情況下進(jìn)行的，因此就會(huì)出現(xiàn)“3.14”這樣的值。教師很好地利用課堂的生成資源，組織學(xué)生進(jìn)行討論，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的不可能處，進(jìn)一步反證了圓周率并不是正好是3.14。也進(jìn)一步激發(fā)起學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓周率的需要。]

（三）釋疑——從得不到一個(gè)明確的結(jié)論到了解圓周率的認(rèn)識(shí)史

在數(shù)學(xué)史上，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決不是一蹴而就的，有一些是通過(guò)幾十年、幾百年甚至幾千年的長(zhǎng)期努力才獲得的。讓學(xué)生了解圓周率的探究過(guò)程，有利于學(xué)生更加深刻地理解圓周率。

【片段三】正六邊形的研究

教師出示一個(gè)圓，再在這個(gè)圓內(nèi)做出一個(gè)正六邊形。

師：你能說(shuō)一說(shuō)正六邊形的周長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的關(guān)系嗎？

教師再畫上正六邊形的三條對(duì)角線，說(shuō)一說(shuō)分別是圓的什么。它的長(zhǎng)度相當(dāng)于幾條六邊形的邊長(zhǎng)，那么正六邊形的周長(zhǎng)是直徑的多少倍，也就是周三徑一。這個(gè)“周”是誰(shuí)的“周”？（生：正六邊形的周長(zhǎng)）

師：那么圓的周長(zhǎng)應(yīng)該是直徑的3倍要——（生：多一些），或者說(shuō)是約是周三徑一（教師在“周三徑一”的前面加上“約是”）。受到這個(gè)圖的啟發(fā)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家把這個(gè)圓繼續(xù)分割成——（演示：把圓十二等分后得到的正十二邊形 ）。這時(shí)的正十二邊形的周長(zhǎng)和正六邊形的周長(zhǎng)誰(shuí)的周長(zhǎng)更接近于圓的周長(zhǎng)？數(shù)學(xué)家計(jì)算出正十二邊形的周長(zhǎng)再除以圓的直徑得到值為——大屏幕演示。再把剛才的圓二十四等分，得到正二十四邊形，計(jì)算出近似值是——（大屏幕演示）。你發(fā)現(xiàn)這些數(shù)值有什么變化規(guī)律？這就是有名的割圓術(shù)。（多媒體演示見(jiàn)圖1）

數(shù)學(xué)家用這種方法割啊割，“割”了整整六百多年，到了公元460年左右，有一位數(shù)學(xué)家叫祖沖之，它把圓分割成12288份，得到正12288邊形，得到圓的周長(zhǎng)是直徑的倍數(shù)在3.1415926與3.1415927之間。這個(gè)發(fā)現(xiàn)比國(guó)外的數(shù)學(xué)家早了1000多年。因此人們把這個(gè)倍數(shù)關(guān)系稱為“祖率”。

現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)前面我們說(shuō)的3.14倍與3倍是一個(gè)什么數(shù)？是一個(gè)近似數(shù)。（教師在前面板書的數(shù)據(jù)前加上了約等號(hào)）1882年，離現(xiàn)在一百多年前的德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。這個(gè)倍數(shù)稱為圓周率，為了更好地表示它，數(shù)學(xué)家用希臘字母“π”來(lái)表示，當(dāng)人類發(fā)明了計(jì)算機(jī)之后，計(jì)算這個(gè)圓周率就變得輕松了，已經(jīng)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后2000億位了。出示圖形，請(qǐng)學(xué)生讀一讀。教師說(shuō)明這里還只是表示了圓周率小數(shù)點(diǎn)后的前707位。（多媒體演示見(jiàn)圖2）

（教學(xué)意圖：可以這么說(shuō)，在數(shù)學(xué)世界中，可能找不到一個(gè)數(shù)值，像圓周率這樣吸引這么多數(shù)學(xué)家進(jìn)行這么長(zhǎng)時(shí)間的研究。因此，讓小學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)明白圓周率的內(nèi)涵是不可能，如何讓學(xué)生了解圓周率的歷史，教師選取了數(shù)學(xué)史中的幾個(gè)典型的片斷，讓學(xué)生“思接千年，情寄數(shù)學(xué)”。）

（四）反思——從“再計(jì)算”的過(guò)程中提煉出圓周長(zhǎng)公式

【片段四】

師：根據(jù)我們這么一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，對(duì)前面的兩個(gè)答案有什么進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？

生：這兩個(gè)算式中的“3”與“3.14”分別是圓周率的近似值。

師：哪一個(gè)值更接近于圓周長(zhǎng)的實(shí)際值？

師：如果要更精確，可以怎么做？

生：把圓周率的值保留更多的（小數(shù)）位數(shù)。

師：那么怎樣表示出這個(gè)周長(zhǎng)的精確值？

學(xué)生感到疑惑，教師板書40π厘米。說(shuō)一說(shuō)為什么這個(gè)值是一個(gè)精確的值。

生：40是一個(gè)一定的數(shù)，π也是一個(gè)一定的數(shù)。

師：現(xiàn)在你能總結(jié)出求圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式嗎？

生：圓周長(zhǎng)=直徑×圓周率。

生：C=πd。

（教學(xué)意圖：明白了圓周率的意義，總結(jié)出求圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式，已經(jīng)不是什么難事了。教師通過(guò)與課始的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行呼應(yīng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與提煉的重要性。）

圓周率的認(rèn)識(shí)與定值過(guò)程，是人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與發(fā)展的具體表現(xiàn)。教師只有站在文化傳承的角度，讓學(xué)生經(jīng)歷與回顧圓周率的認(rèn)識(shí)的多個(gè)歷史瞬間，才能感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小 311200浙江省杭州市蕭山區(qū)湘師附小 311200）