三次樣條插值在小波去噪中的應(yīng)用

張　濤　張　欣

(貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院　貴州 貴陽 550025)

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三次樣條插值在小波去噪中的應(yīng)用

張濤張欣*

(貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院貴州 貴陽 550025)

針對傳統(tǒng)小波閾值函數(shù)在圖像去噪中的不足，結(jié)合三次樣條插值提出一種新的閾值函數(shù)。該函數(shù)具有很好的光滑性，既克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)性造成的吉布斯效應(yīng)，也解決了軟閾值函數(shù)引起的恒定偏差問題，而且能夠根據(jù)圖像噪聲方差的大小，自適應(yīng)地改變函數(shù)系數(shù)以達(dá)到最佳的去噪效果；最后，利用人工蜂群算法構(gòu)造新的閾值進(jìn)行去噪。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該去噪方法無論是主觀感受，還是客觀評價均優(yōu)于軟閾值及硬閾值的去噪效果，與其他改進(jìn)的小波去噪方法相比該算法也具有較好的效果。

小波變換三次樣條插值閾值函數(shù)人工蜂群算法(ABC)

0　引　言

圖像中的噪聲對圖像后期的處理帶來嚴(yán)重的影響，因此圖像去噪是圖像處理的首要任務(wù)。由于小波變換具有有效、高度直觀的描述框架和多分變率圖像存儲的優(yōu)點(diǎn)，尤其是可以同時在空間域和頻域研究圖像[1]，使其在圖像去噪中獲得了很好的效果。目前小波去噪主要包括三種方法：基于小波閾值去噪算法、基于小波系數(shù)相關(guān)性去噪算法和基于小波極大值去噪算法[2]，其中閾值去噪算法應(yīng)用最為廣泛。

傳統(tǒng)的小波閾值去噪算法是Donoho于1995年提出的。雖然該方法簡單，但卻存在固有的缺點(diǎn)：硬閾值函由于在閾值處不連續(xù)，因此對圖像處理之后會造成Gibbs振蕩效應(yīng)；軟閾值函數(shù)存在著恒定的偏差，這些限制了其應(yīng)用。對此國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了改進(jìn)的算法[3-8]，文獻(xiàn)[3]通過改進(jìn)閾值，在多閾值的情況下進(jìn)行去噪；文獻(xiàn)[4，5]通過改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行去噪；文獻(xiàn)[6]在Bayes風(fēng)險最小的情況下進(jìn)行了局部去噪；文獻(xiàn)[7]通過改進(jìn)閾值函數(shù)和閾值進(jìn)行去噪；文獻(xiàn)[8]將人工蜂群算法引入小波中進(jìn)行去噪；這些算法在一定程度上實(shí)現(xiàn)了小波閾值去噪的優(yōu)化。本文在此基礎(chǔ)上，采用三次樣條插值構(gòu)造閾值函數(shù)，利用人工蜂群算法優(yōu)化閾值，實(shí)現(xiàn)了較好的去噪效果。

1　傳統(tǒng)小波閾值函數(shù)去噪原理

設(shè)一幅M×N的圖像被高斯噪聲污染后的表示如下：

hj,k=fj,k+nj,k

(1)

其中j=1,2, …,M；k=1,2,…,N；hj,k為含噪圖像在(j,k)處的灰度值，fj,k是原圖像在(j,k)處的灰度值，nj,k為服從N(0,σ2)的正態(tài)分布。

設(shè)hj,k經(jīng)過小波變換后變?yōu)閣j,k，由于該過程是線性變換[9]，所以wj,k是fj,k的小波系數(shù)與nj,k的小波系數(shù)之和；另一方面，變換后原圖像本身的能量集中于較大的小波系數(shù)中，而噪聲的能量則分布于較小的系數(shù)中，因此可以設(shè)置一個閾值，大于該閾值的小波系數(shù)認(rèn)為是fj,k的小波變換，給予保留；而小于該閾值的小波系數(shù)則認(rèn)為是nj,k的小波變換，給予刪除，這樣就達(dá)到了去噪的目的，其步驟如下所示：

(1) 對hj,k進(jìn)行小波系數(shù)分解得wj,k；

(2) 對wj,k進(jìn)行閾值處理，設(shè)vj,k為處理后的小波系數(shù)，硬閾值方法為:

(2)

軟閾值方法為:

(3)

(4)

2　三次樣條插值構(gòu)造新的閾值函數(shù)

2.1三次樣條插值構(gòu)造閾值函數(shù)

2.1.1三次樣條插值簡介

早期工程師制圖時，把富有彈性的細(xì)長木條(所謂樣條)用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其他地方讓它自由彎曲，然后沿木條畫下曲線,稱為樣條曲線。三次樣條插值(簡稱Spline插值)是通過一系列形值點(diǎn)的一條光滑曲線，數(shù)學(xué)上通過求解三彎矩方程組得出曲線函數(shù)組的過程。其定義如下：

若點(diǎn)a=x0

(1) 在每個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0, 1, 2,…,n-1)上S(x)是三次多項(xiàng)式；

(2)S(x)在[a,b]二階連續(xù)可導(dǎo)；

則稱S(x)是區(qū)間 [a,b]上的三次樣條函數(shù)[10]。

若求f(x)在[a,b]的三次樣條插值函數(shù)，由定義可設(shè)S(x)=aix+bix+cix+di,x∈[xi,xi+1](i=0, 1, 2,…,n-1)其中ai、bi、ci、di為未知數(shù)，共4n個，按照三次樣條插值的定義，則有如下條件：

1) 插值條件n+1個：S(xi)=f(xi)；

2) 連續(xù)條件n-1個：S(xi-0)=S(xi+0)；

3) 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件n-1個：S(1)(xi-0)=S(1)(xi+0)；

4) 二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件n-1個：S(2)(xi-0)=S(2)(xi+0)。

其中S(n)(x)表示對S(x)n次求導(dǎo)，共確定4n-2個條件，若要求解S(x)，還需要兩個條件，稱為邊界條件：S(1)(x0)=f(1)(x0),S(1)(xn)=f(1)(xn)；由以上4n個條件便可求出S(x)。

2.1.2新閾值函數(shù)的構(gòu)造

當(dāng)n=2時，需要8個條件方可求出S(x)，為了使構(gòu)造的新閾值函數(shù)在[λ-ε,λ+ε]內(nèi)具有很好的光滑性，且可以與硬閾值函數(shù)很好地銜接，則S(x)在應(yīng)滿足如下條件：

1)S(λ-ε)=0；

2)S(λ+ε)=λ+ε；

3)S(λ-0)=m；

4)S(λ+0)=m；

5)S(1)(λ-ε)=0；

6)S(1)(λ+ε)=1；

7)S(1)(λ-0)=S(1)(λ+0)；

8)S(2)(λ-0)=S(2)(λ+0)。

其中ε=k1×λ，m=k2×λ,k1調(diào)節(jié)鄰域的大小，k2調(diào)節(jié)S(x)在閾值處的值; 條件1)、2)、5)和6)保證新閾值函數(shù)可以光滑地與硬閾值函數(shù)銜接條件3)、4)、7)和8)保證了新閾值函數(shù)在λ處一、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。通過下式:

(5)

(6)

取λ=0.5, k1=0.5, k2=0.5，新閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)及軟閾值函數(shù)的對比圖像如圖1所示。可以看出采用三次樣條插值構(gòu)造的vj,k有如下特點(diǎn)：

(1) 既克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，又解決了軟閾值函數(shù)的恒定偏差，且高階可導(dǎo)，具有很好的光滑性。

(2) k1越小，則過渡階段的鄰域范圍就越小，S(x)的斜率越大，新閾值函數(shù)趨近閾值函數(shù)的速度越快；若k1越大，過渡階段越長，去噪后的圖像會出現(xiàn)模糊現(xiàn)象。

(3) k2越小，新閾值函數(shù)在[λ-ε, λ]范圍內(nèi)越趨近于0，越有利于去噪。但k2過小，S(x)容易在λ處出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，此時構(gòu)造的vj,k在零點(diǎn)附近容易出現(xiàn)劇烈的振蕩現(xiàn)象。為了實(shí)現(xiàn)較好的去噪效果，需要合理地對k1、k2進(jìn)行取值，經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，當(dāng)k1=0.1、k2=0.3時基于本文閾值函數(shù)的小波去噪效果最好。

圖1　各閾值函數(shù)的對比圖

2.2人工蜂群算法尋優(yōu)閾值

2.2.1人工蜂群算法簡介

人工蜂群算法是模仿蜜蜂行為提出的一種優(yōu)化方法，是集群智能思想的一個具體應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)的ABC模型主要包括三個基本的組成元素：蜜源、被雇傭的蜜蜂(也稱為引領(lǐng)蜂)以及未被雇傭的蜜蜂。未被雇傭的蜜蜂又分為跟隨蜂與偵察蜂。蜜源相當(dāng)于優(yōu)化問題的可行解，它由其所含花蜜的豐富程度、獲取難易以及距離蜂巢的遠(yuǎn)近等因素決定；引領(lǐng)蜂攜帶蜜源的信息，并可以將其分享給其它的蜜蜂，它的數(shù)量與蜜源相等；跟隨蜂通過觀察引領(lǐng)蜂的舞姿來獲取不同蜜源的收益率，并根據(jù)一定的規(guī)則選出最好的蜜源前去采蜜，在此過程中，跟隨蜂也會在該蜜源附近尋找是否有更好的蜜源；偵察蜂則負(fù)責(zé)在蜂巢附近隨機(jī)的搜尋新蜜源?？偟牟擅圻^程如下：

1) 在初始階段，蜂群在整個空間隨機(jī)尋找蜜源；

2) 找到蜜源的偵察蜂變?yōu)橐I(lǐng)蜂，在采蜜后，它將該蜜源的信息送回蜂巢與跟隨蜂分享，當(dāng)該蜜源采完后，它變?yōu)閭刹旆淅^續(xù)搜尋新的蜜源；

3) 跟隨蜂根據(jù)引領(lǐng)蜂攜帶的蜜源信息，按照一定的規(guī)則選擇一個蜜源進(jìn)行開采，然后重復(fù)步驟2)，直到滿足結(jié)束條件[11，12]。

2.2.2新閾值的優(yōu)化算法

由于小波變換后每層的系數(shù)不同，利用單一閾值去噪的效果并不理想，因此有必要對閾值進(jìn)行改進(jìn)。在利用人工蜂群算法時，把信噪比(SNR)作為尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，其中SNR越大表示圖像去噪效果越好，其公式如下所示：

(7)

(8)

本文結(jié)合小波去噪的過程，對算法做如下改進(jìn)：

1) 初始化設(shè)置：群體個數(shù)為SN、最大循環(huán)次數(shù)MaxCycles、控制參數(shù)Limit、問題的維數(shù)D及計(jì)數(shù)Bas，其中引領(lǐng)蜂、跟隨蜂數(shù)目為SN/2，蜜源數(shù)目與引領(lǐng)蜂數(shù)目相等。

2) 引領(lǐng)蜂根據(jù)式(9)，在蜜源附近尋找新的蜜源，采用輪盤賭法擇優(yōu)選擇，當(dāng)新蜜源比原蜜源好時，更新蜜源的位置，否則Bas加1。

Sm,n=Xm,n+Rm,n×(Xm,n-Xp,n)

(9)

其中p∈{1,2,…,SN}，n∈{1,2…,D},且p≠n，Rm,n∈[-1,1]。Xm,n是當(dāng)前的初始蜜源，它由式(4)產(chǎn)生，Xp,n是隨機(jī)選擇的一個鄰域個體的蜜源。

3) 跟隨蜂根據(jù)式(7),選擇使SNR最大的蜜源對引領(lǐng)蜂進(jìn)行選擇。

4) 跟隨蜂在步驟3)中選擇的蜜源附近搜尋新的蜜源，根據(jù)式(9)更新蜜源的位置。

5) 在搜尋蜜源的過程中，如果未更新的次數(shù)超過一定的次數(shù)，即未更新計(jì)數(shù)Bas的值大于限制的參數(shù)Limit時，與該蜜源相對應(yīng)的引領(lǐng)蜂變?yōu)閭刹旆洌墒?10)產(chǎn)生新的蜜源。

Xmin,mn=Xmin,n+rand(0,1)×(Xmax,n-Xmin,n)

(10)

其中Xmax,n，Xmin,n是變量的最大值和最小值，rand(0,1)是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

6) 返回算法的引領(lǐng)蜂階段，繼續(xù)迭代，直到迭代次數(shù)大于MaxCycles,此時的閾值是最優(yōu)值(流程如圖2所示)[11]。

圖2　人工蜂群算法優(yōu)化閾值流程圖

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文算法，使用MATLAB 7.1對加入均值為0、方差為0.03的高斯白噪聲的Lena圖分別采用硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)、文獻(xiàn)[4]提出的方法和本文提出的方法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)采用sym4小波進(jìn)行三層分解，人工蜂群的個數(shù)SN=80，MaxCycles=3000，D=30，Limit=1/2×SN×D=1200，Bas初始值為0。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，可以看出本文算法在視覺方面具有較好的效果，在圖3(c)以及圖3(d)中帽子頂部和背景處出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象，而在本文算法去噪結(jié)果(圖3(e))中振蕩現(xiàn)象有明顯的消除。

圖3　各閾值函數(shù)對Lena含噪圖像去噪的效果比較

為了進(jìn)一步比較本文提出的閾值函數(shù)與軟硬閾值函數(shù)的性能，對加入不同方差的含噪圖像分別用軟、硬閾值方法，文獻(xiàn)[4]方法及本文方法進(jìn)行去噪，用信噪比(SNR)衡量去噪效果的好壞。從表1中可以看出本文閾值函數(shù)的去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)閾值函數(shù)以及文獻(xiàn)[4]的去噪效果。

表1　不同方差的高斯噪聲圖像在不同閾值函數(shù)下去噪的信噪比

4　結(jié)　語

本文結(jié)合三次樣條插值與人工蜂群算法提出了一種新的閾值函數(shù)與閾值。新的閾值函數(shù)不僅連續(xù)，而且高階可導(dǎo)，可通過改變調(diào)節(jié)系數(shù)k1和k2以及結(jié)合新的閾值獲得最好的去噪效果。從實(shí)驗(yàn)仿真中可以看出，相比傳統(tǒng)軟硬閾值函數(shù)和文獻(xiàn)[4]法，該方法對圖像去噪更加有效。從文中可以看出，閾值大小的估計(jì)直接影響著去噪的效果，而噪聲方差的大小對閾值的估計(jì)起著關(guān)鍵的作用[13],因此如何正確地計(jì)算噪聲方差的大小是后續(xù)研究的重點(diǎn)。

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APPLICATION OF CUBIC SPLINE INTERPOLATION IN WAVELET DENOISING

Zhang TaoZhang Xin*

(SchoolofBigDataandInformationEngineering,GuizhouUniversity,Guiyang550025,Guizhou,China)

To overcome the drawback of traditional wavelet threshold function in denoising, combining with cubic spline interpolation we proposed a new threshold function. The function has good smoothness, it overcomes the Gibbs effect caused by the discontinuity of hard threshold function while solves the constant deviation problem caused by soft threshold function as well. And the function can adaptively change its coefficients to achieve best denoising effect according to the size of image noise variance. Finally, it uses artificial bee colony algorithm to construct a new threshold for denoising. Experimental results showed that this denoising method, in either subjective feelings or objective evaluation, is better than soft threshold and hard threshold denoising effect. And compared with other improved wavelet denoising method, this algorithm also has a good effect.

Wavelet transformCubic spline interpolationThreshold functionArtificial bee colony algorithm(ABC)

2015-03-30。國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11204046)；貴州省科技廳工業(yè)攻關(guān)項(xiàng)目(黔科合GY字[2010]3056)；貴州大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(研理工2014007)。張濤，碩士生，主研領(lǐng)域：數(shù)字圖像處理。張欣，副教授。

TP391

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.08.019