利用信息技術(shù)研究曲線的切線在函數(shù)中的應(yīng)用

黃樣球

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）19-0035-01

函數(shù)的思維是一種動(dòng)態(tài)思維，函數(shù)的性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)所在，大多數(shù)學(xué)生在接受、理解和運(yùn)用等環(huán)節(jié)都存在較大的困難。導(dǎo)數(shù)是一種工具，是研究函數(shù)性質(zhì)的工具，能熟練掌握好導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，并能應(yīng)用到解決相關(guān)函數(shù)問題，會(huì)使得求解過程便捷、容易理解。對(duì)于導(dǎo)數(shù)模塊知識(shí)中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是其中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。在曲線某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是經(jīng)過該點(diǎn)的曲線的切線的斜率，用式子表達(dá)為k=f'（x0）（其中k為切線的斜率，（x0，y0）為曲線上某一點(diǎn)），同時(shí)導(dǎo)數(shù)也是反映曲線在某一點(diǎn)處的變化速度的快慢。因函數(shù)是一個(gè)變化的動(dòng)態(tài)過程，所以其導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)變化的動(dòng)態(tài)過程，通過運(yùn)用信息技術(shù)可以把這種動(dòng)態(tài)的變化過程進(jìn)行直觀化，把這個(gè)過程直接呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，方便學(xué)生進(jìn)行直觀理解和應(yīng)用。

導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)問題的一種工具，能靈活掌握和應(yīng)用，可大幅提高解題的速度。結(jié)合在曲線某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及到曲線的切線問題，基本是優(yōu)先考慮從導(dǎo)數(shù)入手思考解決問題的方法。根據(jù)函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化的本質(zhì)特征，運(yùn)用信息技術(shù)的手段，把抽象的理論問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像進(jìn)行理解，從而幫助我們更好地解決問題。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)與切線的內(nèi)在聯(lián)系，通過下面三個(gè)特例來分析如何利用信息技術(shù)來研究曲線的切線在解決相關(guān)函數(shù)問題中的應(yīng)用。

例1、已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0，若f（x）≥ax，則a的取值范圍是：

A、（-∞，0] B、（-∞，1] C、[-2，1] D、[-2，0]

分析：已知函數(shù)為分段函數(shù)，且在函數(shù)中不帶有參數(shù)故函數(shù)的圖像是固定的，因而審題后，作出函數(shù)f（x）的圖像，從而得到函數(shù)y=f（x）的圖像。要求解問題，必需要研究過原點(diǎn)的直線y=ax與函數(shù)y=f（x）的位置關(guān)系，并滿足y=f（x）的圖像始終在直線y=ax圖像的上方，最多出現(xiàn)相切。對(duì)于直線y=ax中的參數(shù)a為直線的斜率，故問題可轉(zhuǎn)化為過原點(diǎn)且與函數(shù)y=f（x）相切的問題，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為l2：y=-2x。直線y=ax是過原點(diǎn)的直線束，利用信息技術(shù)把直線y=-2x繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到l1、l2時(shí)都不滿足題意，因而得到a的取值范圍為[-2，0]，故答案為D。

例2、設(shè)點(diǎn)P在曲線y=2ex上，點(diǎn)Q在曲線y=ln x-ln2上，則PQ的最小值為：

分析：根據(jù)已知條件作出函數(shù)y=2ex和y=ln x-ln2的圖像，易知兩個(gè)函數(shù)是互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。問題可轉(zhuǎn)化為一條曲線上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值的2倍為所求。利用信息技術(shù)把直線y=x平移到直線l的位置且與曲線y=ln x-ln2相切，設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，k=f'（x0）==1，所以得x0=1，y0=ln 1-ln 2=-ln 2，所以PQ的最小值為2× 1+ln2）。答案為D。

例3、已知函數(shù)f（x）=x2+x+a，x<0ln x，x>0，若函數(shù)f（x）的圖像在P、Q兩點(diǎn)處的切線重合，則常數(shù)a的取值范圍為：

A、（-2，-1） B、（1，2） C、（-ln2，+∞） D、（-1，+∞）

分析：根據(jù)已知條件作出函數(shù)f（x）=ln x的圖像，并知函數(shù)f（x）=x2+x+a當(dāng)x=0時(shí)，y=a因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln x為單調(diào)增函數(shù)，在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1，其與y軸交點(diǎn)為（-1，0）。

當(dāng)a=-1時(shí)，直線y=x-1與曲線f（x）=x2+x+a（x<0）沒有交點(diǎn)。利用信息技術(shù)手段展示f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的過程，同時(shí)函數(shù)f（x）=ln x的切線也變化。但要滿足切線與f（x）=x2+x+a（x<0）有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)f（x）=x2+x+a（x<0）往上平移的過程中，始終存在函數(shù)f（x）=ln x的切線與它有一個(gè)交點(diǎn)，因而滿足題意的a的范圍為（-1，+∞）。答案為D。

曲線的切線是反映函數(shù)在某點(diǎn)處的變化速度的快慢，是研究函數(shù)變化的一種工具。函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化可以通過其切線變化來體現(xiàn)，變化的過程可通過信息技術(shù)手段呈現(xiàn)，可以直觀展示其變化過程，從而方便對(duì)結(jié)論的理解，達(dá)到事半功倍的效果。在應(yīng)用切線來解決問題的時(shí)候要充分理解下面三個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

（1）對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的充分理解及靈活掌握。

（2）能準(zhǔn)確求出在曲線某點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程。

（3）能準(zhǔn)確求出過某點(diǎn)（a，b）的曲線的切線方程。

信息技術(shù)能把動(dòng)態(tài)的變化過程直觀展示，使理論變成直觀，對(duì)信息技術(shù)的靈活使用，能豐富我們的課堂教學(xué)，同時(shí)也能讓我們的學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解變得更容易、更直觀，課堂的教學(xué)效果更顯著。