把握課堂追問提升學(xué)生學(xué)習(xí)力

王春霞

摘要：教學(xué)活動(dòng)是教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”的雙邊活動(dòng)互動(dòng)。“追問”，顧名思義就是追根究底地問。追問是課堂教學(xué)中普遍運(yùn)用的一種方式，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維性品質(zhì)、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程和方法有著重要意義。學(xué)習(xí)動(dòng)力、學(xué)習(xí)毅力和學(xué)習(xí)能力是學(xué)習(xí)力的三要素。在教學(xué)過程中，適時(shí)、恰當(dāng)?shù)挠行ё穯柨梢园褜W(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的以思維為核心的認(rèn)知操作系統(tǒng)與以情感為杠桿的動(dòng)力系統(tǒng)做到恰如其分的結(jié)合，這樣才能使學(xué)生在課堂中興趣盎然，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)力，促進(jìn)其智力因素的發(fā)展，從而達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的目的。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)力；追問；提升

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2015）11-0076

我國(guó)教育家陶行知說過：“行是知之路，學(xué)非問不明?！闭n堂追問是一門教學(xué)藝術(shù)，是為教學(xué)服務(wù)的。追問是對(duì)事物的深刻挖掘，是逼近事物本質(zhì)的探究。就教學(xué)來說，追問是課堂非預(yù)設(shè)性生成的產(chǎn)物，是將預(yù)設(shè)問題與臨時(shí)生成進(jìn)行整合，巧妙穿插，進(jìn)行由淺入深、由此及彼地提問，形成嚴(yán)密而有節(jié)奏的課堂教學(xué)流程。追問可激活學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生深入探究，開啟學(xué)生智慧之門，提升學(xué)生思維高度。教師適時(shí)有效的追問是課堂的催化劑，是知識(shí)的升華。因此，要智慧把握課堂教學(xué)的目標(biāo)和節(jié)奏，及時(shí)捕捉“追問”的契機(jī)，巧妙有效地進(jìn)行追問。一句輕輕的追問，能讓學(xué)生幡然悔悟、讓學(xué)習(xí)漸入佳境……精當(dāng)點(diǎn)撥、精要講解、精心設(shè)問，讓我們成為課堂上一名理性而智慧的“追問者”！

一、追問于學(xué)習(xí)滿足時(shí)──提升學(xué)生思維深度

“問之不切，則聽之不專，聽之不專，則其取之不固”。題目解完了，方法功能也就隨之結(jié)束，學(xué)生思維活動(dòng)也會(huì)處于暫停的狀態(tài)。有些問題看似淺顯，往往被學(xué)生忽視，課堂上，教師適當(dāng)?shù)厣顚哟巫穯枺趯W(xué)生思考粗淺時(shí)牽一牽、引一引，引領(lǐng)學(xué)生去探索，能激發(fā)、啟迪學(xué)生思維和想象，將學(xué)生的知識(shí)、思維一步步、循序漸進(jìn)地深入下去。

[案例]若函數(shù)f（x）= ，則求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（ ）+f（ ）+f（ ）的值？

片刻后，學(xué)生給出思路1：分別將7個(gè)自變量帶入函數(shù)中即可。但很快有同學(xué)提出異議“太繁”并給出思路2：先計(jì)算f（2）+f（ ），f（3）+f（ ），f（4）+f（4），f（1）的值再求和。如果作為練習(xí)，只需讓學(xué)生體會(huì)兩種思路的繁簡(jiǎn)，其目的也許已經(jīng)達(dá)到。但若就此罷休，解題則完全淪為機(jī)械的訓(xùn)練，大多數(shù)學(xué)生除了驚嘆思路2的巧妙之外別無所獲。好的解法緣何得到？沒有道破，學(xué)生可能會(huì)記憶、套用、領(lǐng)會(huì)，即便如此，學(xué)生的思維最多只能經(jīng)歷提取、驗(yàn)證、對(duì)比、加深的過程，缺乏認(rèn)知上和經(jīng)驗(yàn)上的“沖突”，無法產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí).事實(shí)上，思路2的得到，也許也是一種自覺，是對(duì)待求式結(jié)構(gòu)特征的一種本能反應(yīng)，但卻是思維火花的迸發(fā)，教學(xué)中，教師要善于捕捉這種稍縱即逝的機(jī)會(huì)，使之得以燎原。于是，教師追問：

問1：是什么促使你想到先計(jì)算f（2）+f（ ），f（3）+f（ ），……的呢？

問題讓學(xué)生陷入“心求通而未能得之意”的“憤悱”狀態(tài)，此時(shí)及時(shí)引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)領(lǐng)悟到：“配對(duì)、求簡(jiǎn)”等意識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思維有激發(fā)和調(diào)控作用，若教師經(jīng)常能以追問的形式來引導(dǎo)學(xué)生反思思維的鍥入點(diǎn)，必能提高學(xué)生的理性思維能力。不過，直接追問，如“你是怎么想到的？”“你憑什么這么說？”有時(shí)會(huì)讓學(xué)生無所適從，甚至厭惡.所以，換一種方式，也許會(huì)有異曲同工之效，甚至還有曲徑通幽之妙。為此，教師繼續(xù)追問：

問2：算出f（2）+f（ ），f（3）+f（ ），……的值后，你能得出函數(shù)f（x）具有怎樣的性質(zhì)？

進(jìn)行追問2的目的有二，一是促使學(xué)生進(jìn)一步合情推理：猜想函數(shù)具有性質(zhì)f（x）+f（ ）=1，然后進(jìn)行證明，使學(xué)生做一回“發(fā)現(xiàn)者”，體驗(yàn)成功后的喜悅；二是使學(xué)是明確思路2是函數(shù)性質(zhì)的體現(xiàn)與應(yīng)用，具有必然性，逐步培養(yǎng)從本質(zhì)上思考問題的意識(shí)。

為使學(xué)生能將這種認(rèn)識(shí)納入到已有的認(rèn)知體系，教師進(jìn)一步追問：

問3：你能用文字語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)f（x）具有的性質(zhì)嗎？它與函數(shù)的哪種常見性質(zhì)相似？

很顯然，追問3為學(xué)生提供了思維的指向：觀察函數(shù)f（x）的兩個(gè)自變量取值特征及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之間的聯(lián)系，軟化檢索自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)體系，得出與一般函數(shù)的對(duì)稱性（奇偶性）類似的關(guān)系，進(jìn)而將這種性質(zhì)同化為“類對(duì)稱性”，實(shí)現(xiàn)對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)體系的順應(yīng)和擴(kuò)充。從思維上看，恰好在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，拉長(zhǎng)了思維爬坡過程，對(duì)問題本質(zhì)的理解更深刻。

為使學(xué)生的思維發(fā)展由點(diǎn)到面，為此，教師又追問：

問4：類似函數(shù)g（x）= 是否也有類似的性質(zhì)呢？形如h（x）= （m≠0）的函數(shù)呢？

要回答追問4并非易事，但前面的成功激勵(lì)學(xué)生嘗試驗(yàn)證：g（x）+g（ ）=1是否成立，然而事與愿違，學(xué)生思維受挫。若就此罷休，學(xué)生將再次喪失錘煉思維的良機(jī)，若引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到：解析失中常數(shù)的改變必然引起等式中相應(yīng)常數(shù)的改變，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行修改、驗(yàn)證等思維活動(dòng)，探究得到：h（x）+h（ ）=1，使學(xué)生的思維由點(diǎn)拓展到面。

至此，優(yōu)美的結(jié)論已經(jīng)讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，他們的思維處于積極的狀態(tài)，為進(jìn)一步探究問題的本質(zhì)奠定了良好的心理狀態(tài)，因此教師最后追問：

問5：將函數(shù)f（x）= 中的冪指數(shù)2改為3，4， ，- ，n， 還有類似的性質(zhì)嗎？

問6：將函數(shù)v（x）= ，還有類似的性質(zhì)嗎？

前面的經(jīng)驗(yàn)和鋪墊、成功的激勵(lì)、思考的快樂，促使學(xué)生進(jìn)行代入、化簡(jiǎn)、驗(yàn)證，探究得：μ（x）= 滿足μ（x）+μ（ ）=1，有了追問5的成功解答，學(xué)生情緒高亢，不一會(huì)兒，有學(xué)生就得到了追問的探索結(jié)果： =1。到此，學(xué)生的情緒沉浸在豐收的喜悅之中，思維在經(jīng)歷了較長(zhǎng)的爬坡后，豁然開朗，得以上升到一定的高度。

教師在面對(duì)學(xué)生思維粗淺，提不出問題時(shí)，實(shí)施追問，步步深入，絲絲入扣，由特殊情形推廣到一般情況體現(xiàn)的淋漓盡致，演繹精彩，效果非凡。這當(dāng)中有由表及里的引導(dǎo)，把學(xué)生的思維引往“深”處，有由此及彼的引導(dǎo)，把學(xué)生的思維引向“開闊地帶”。同時(shí)，教師也很自然地把個(gè)別學(xué)生的思維成果轉(zhuǎn)化為了全班學(xué)生的共同財(cái)富。

二、追問于思維偏差時(shí)——提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

布魯納曾經(jīng)說過：“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的。”錯(cuò)誤本身并不可怕，可怕的是抓不住錯(cuò)誤這一鮮活資源。錯(cuò)誤是孩子最樸實(shí)的思想、最真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)。錯(cuò)誤往往發(fā)生學(xué)生思維偏差時(shí)，所以學(xué)生的錯(cuò)誤往往是一種鮮活的教學(xué)資源，我們教師若能善于抓住學(xué)生的思維偏差追問，善于抓住習(xí)題的難點(diǎn)，選準(zhǔn)突破口進(jìn)行追問，通過一環(huán)扣一環(huán)的巧妙、合理的追問，牽引學(xué)生朝正確的方向思考，解決疑難，打開思路，就能促進(jìn)學(xué)生思考的深入，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在糾錯(cuò)中拓展思維的寬度，增加思維的厚度，從而挖掘和發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后隱藏的教育價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生從錯(cuò)中求知、從錯(cuò)中探究，從而讓課堂教學(xué)更精彩。

[案例]已知數(shù)列（an）與（bn）是等差數(shù)列，Sn和Tn分別是它們的前n項(xiàng)和，若 = ，求 ？

一部分學(xué)生首先給出了這樣的解法：

因?yàn)?= ，所以可設(shè)Sn=k（4n+3），Tn=k（2n+5），k≠0

于是a8=S8-S7=k（4×8+3）-k（4×8+3）=4k，同理b8=2k，故 =2

而另外一部分學(xué)生認(rèn)為這種解法是錯(cuò)誤的，正確的解法應(yīng)該是：

= = = = = 。

兩種解法都有道理，似乎都對(duì)，兩組學(xué)生互相爭(zhēng)論，相持不下。其實(shí)，要搞清楚這兩題的解法對(duì)錯(cuò)就是本題題目的一個(gè)難點(diǎn)，也是等差數(shù)列求和公式的一個(gè)重點(diǎn)。對(duì)學(xué)生來講，要熟練掌握等差數(shù)列前項(xiàng)和的特點(diǎn)、項(xiàng)和之間的關(guān)系確實(shí)有一定的難度。如果這時(shí)教師只簡(jiǎn)單地直接告訴學(xué)生哪種方法對(duì)或者哪種方法錯(cuò)誤，學(xué)生仍會(huì)一知半解，于是教師（追問）：上面兩種解法所的結(jié)果不同，這兩種解法對(duì)嗎？

（很多學(xué)生認(rèn)為兩種解法都對(duì)，但納悶為什么結(jié)果會(huì)不一樣，學(xué)生的求知欲望被充分調(diào)動(dòng)起來。教師不動(dòng)聲色，引導(dǎo)學(xué)生探究。）

生1：解法1不對(duì)，因?yàn)榈炔顢?shù)列如果不是常數(shù)列，它的前n項(xiàng)和Sn是一個(gè)形如an2+bn的二次式，因此當(dāng)假設(shè)Sn=k（4n+3），Tn=k（2n+5），k≠0時(shí)，等式右邊是關(guān)于n的一次式，因此這樣的假設(shè)是錯(cuò)誤的。

教師（追問）：那么，如何假設(shè)才合理呢？

生2：只要設(shè)成關(guān)于n的二次式，但不含常數(shù)項(xiàng)即可。應(yīng)該 設(shè)：Sn=kn（4n+3），

Tn=kn（2n+5），k≠0，于是a8=S8-S7=63k，同理b8=35k，故 = 。

教師（追問）：大家再一起來探究問題：“等差數(shù)列{an}和{bn}之比與它們的前n項(xiàng)的和Sn和Tn之比有什么關(guān)系呢？”（學(xué)生熱情高漲，又開始了探索）

生3： = = = = ，所以等差數(shù)列an和bn之比與它們的前n項(xiàng)的和Sn和Tn之比有關(guān)系 = 。

教師（追問）：從生3的解答中大家能否發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)等差數(shù)列{an}中項(xiàng)an和Sn之間的關(guān)系？

生4：項(xiàng)an=（ ）·S2n-1

……

在此案例中，教師追尋學(xué)生的思維軌跡，不斷緊追不舍，不斷地由此及彼，由淺入深，思路越追越清，問題就越追越明，知識(shí)就越追越多，疑難就會(huì)越來越小。學(xué)生不光自己從中迸發(fā)了創(chuàng)新的火花，體驗(yàn)了成功的快樂，而且?guī)ьI(lǐng)教師和同學(xué)進(jìn)入了嶄新的思維領(lǐng)域，使課堂得到了優(yōu)化?？此坪?jiǎn)單，平常的一問一答卻蘊(yùn)含著智慧，孕育著深刻，點(diǎn)亮了學(xué)生的思維火花，引發(fā)了學(xué)生的猜想、推理，不知不解中將疑難破解，學(xué)生的思維水平又向前邁進(jìn)了一步。因此，一個(gè)個(gè)有目的、有深度的追問，往往是課堂的點(diǎn)金之筆，讓學(xué)生一次次感受到了學(xué)生思維的激流涌動(dòng)，使課堂成了一讓智慧飛揚(yáng)的天地。

三、追問于思路困惑時(shí)──提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心

學(xué)生受知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，在積極學(xué)習(xí)、認(rèn)真思考、熱烈討論中，有時(shí)思維會(huì)遇到障礙，不能進(jìn)一步思考、解釋、分析，此時(shí)，教師要有意識(shí)地抓住學(xué)生的困惑點(diǎn)，在不同知識(shí)點(diǎn)的銜接處去設(shè)計(jì)問題，去追問和引導(dǎo)，搭設(shè)思維跳板，開拓思路，激活學(xué)生的思維.？如此不僅能化難為易，而且能有效地吸引和提醒學(xué)生去主動(dòng)思考和解決這些問題，完成思維的再創(chuàng)造過程。這樣的提問可以讓學(xué)生和教師共同聚焦教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)也能夠增強(qiáng)學(xué)生的成就感和信心。

[案例]設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t>0，n=2，3，4，……），求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。

問題一拋出，學(xué)生都感到束手無策，筆者設(shè)計(jì)如下問題幫助學(xué)生順利解決眼前的困難。

問1：已知下列兩數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的公式，求它們的通項(xiàng)公式。（1）Sn=n3+n-1 （2）Sn=n2-1。

問2：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+……+（n-1）an-1（n≥2），

則{an}的通項(xiàng) 。

問3：數(shù)列{an}中，a1=1，且3（a1+a2+……+an）=（n+2）an，（n=2，3，……），則an= 。

問4：數(shù)列{an}滿足：a1=1，a1+a2+……+an=n2an（n≥2），則an= 。

問5：已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=（n+1）（n+2），則an= 。

問6：已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn= ，且{bn}是等差數(shù)列，求證：{an}也是等差數(shù)列。

本案例通過一系列的追問，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去思考，去觀察、分析、歸納，最終引導(dǎo)學(xué)生探究到本題的本質(zhì)——“由Sn求an”的問題本質(zhì)即能由項(xiàng)去求和，又能由和的差去表示項(xiàng)。有這些問題的鋪墊學(xué)生不僅能順利解決當(dāng)前問題，而且對(duì)問題有更深層次的理解。

四、追問于“意外”發(fā)生處——提升學(xué)生思維廣度

在教學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)有許多動(dòng)態(tài)生成，發(fā)生“意外”事件。它是一種來源于學(xué)習(xí)活動(dòng)本身，是學(xué)生獨(dú)立思考后靈感的萌發(fā)、瞬間的創(chuàng)造，是張揚(yáng)學(xué)生個(gè)性的最佳途徑。它能直接反映學(xué)生學(xué)習(xí)情況的生成性資源。因此，面對(duì)學(xué)生的“意外”，我們應(yīng)耐心聆聽，睿智追問，開啟學(xué)生思維，讓創(chuàng)造的火花燦爛地綻放，讓這份沒有預(yù)約的精彩成為師生間美麗的“邂逅”。

[案例]已知等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S10=100，S100=10，求S110？

本題意圖是考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的熟練應(yīng)用，讓學(xué)生體驗(yàn)蘊(yùn)涵的方程和函數(shù)的思想，是數(shù)列中的一道基本題，大部分學(xué)生很順利地算得，可有個(gè)學(xué)生突然舉手問：“是不是等差數(shù)列中”作為教師的筆者預(yù)設(shè)了公式法、函數(shù)法……，只想引導(dǎo)學(xué)生選擇適合自己的、計(jì)算量較小的方法解決問題，卻沒有對(duì)。一語(yǔ)驚四座，整個(gè)教室頓時(shí)熱鬧起來，人人都想探討這個(gè)結(jié)論，學(xué)生的求知欲、積極性調(diào)動(dòng)起來了。筆者意識(shí)到這是培養(yǎng)學(xué)生猜想論證能力的時(shí)機(jī)，于是順?biāo)浦劢柚穯枺龑?dǎo)學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行探究。

教師（追問）：這位學(xué)生表現(xiàn)出很強(qiáng)的數(shù)感，但這一性質(zhì)是必然還是巧合呢？

生1：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，若Sm=n，Sn=m（m≠n），則有

Am2+Bm=nAn2+Bn=m解得A=- ，B=-

所以Sm+n=A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），即Sm+n=-（m+n）

教師（追問）：這個(gè)結(jié)論可以證明是正確的，有更一般的形式嗎？

生2：等差數(shù)列{an}中，若Sm=a，Sn=b（m≠n），都有Sm+n=

教師（追問）：運(yùn)用類比思想，能否得到等比數(shù)列的類似性質(zhì)？

生3：設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，Tm=n，Tm=m，（m≠n）則有

教師（追問）：數(shù)列是特殊的函數(shù)，能將這個(gè)結(jié)論推廣到函數(shù)？

生4：已知二次函數(shù)f（x）m=ax2+bx+c，若f（m）=p，f（n）=q，則

f（m+n）= +c.

葉讕教授曾說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅途，隨時(shí)都有可能發(fā)生意外的通道和美麗的圖景?！泵鎸?duì)意外，教師要把握時(shí)機(jī)，掌握尺度，積極引導(dǎo)，使學(xué)生的靈性和創(chuàng)造性得以閃爍。本題的四個(gè)追問抓住了學(xué)生稍縱即逝的靈感，將問題引向縱深，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，在問答之間建構(gòu)起我們?yōu)橹蛲撵`動(dòng)課堂，在有效追問中展現(xiàn)師生智慧、互動(dòng)的火花，提高了解題的效能。

五、追問于思維活躍處——激發(fā)學(xué)生思維潛能

興趣是學(xué)好數(shù)學(xué)的動(dòng)力和保證，學(xué)生總是存在探究新事物的心理傾向，但由于學(xué)生不能根據(jù)自己的興趣和愿望去選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，所以對(duì)知識(shí)的需求常處于一種潛伏狀態(tài)。有效的追問可以在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)設(shè)計(jì)好問題情景，抓住興趣點(diǎn)追問，使學(xué)生的探索活動(dòng)在有序和諧中展開。讓一個(gè)問題的追問形成系統(tǒng)，環(huán)環(huán)相扣，指向明確，思路清晰，具有內(nèi)在聯(lián)系的問題鏈。讓學(xué)生產(chǎn)生的暫時(shí)性思維火花成燎原之勢(shì)，真正培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極體驗(yàn)、保持長(zhǎng)期的興趣，讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。

[案例]已知x、y≥0且x+y=1，∵y≥0，∴x≤1求x2+y2的取值范圍。

對(duì)于本題基本學(xué)生都用函數(shù)思想解決，解法如下：

解法一：（函數(shù)思想）由x+y=1得y=1-x，∵y≥0，∴x≤1則x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x- ）2+ 由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)x= 時(shí)，x2+y2取最小值 ；當(dāng)x=0或1時(shí)，x2+y2取最大值1。

解法二：設(shè)z=x2+y2 ∵ x+y=1得y=1-x ∵y≥0，∴0≤x≤1，同理0≤y≤1

∴ z=x2+y2-x-y+1=（x- ）2+（y- ）2+ ≥

∴當(dāng)x=y= 時(shí)，z最小= 即x2+y2的最小值為

問1：此題能用不等式來解決么？

解法三：（運(yùn)用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1，則xy≤ = ，從而0≤xy≤ 于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy所以，當(dāng)xy=0時(shí)，x2+y2取最大值1；當(dāng)xy= 時(shí)，x2+y2取最小值 。

問2：利用三角函數(shù)的有界性來解決取值范圍問題也是我們常用的策略，此處能和三角函數(shù)聯(lián)系起來么？

解法四：（三角換元思想）由于x+y=1，1≥x、y≥0，則可設(shè)x=cos2θ，y=sin2θ 其中θ∈[0， ]則x2+y2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2cos2θsin2θ=1- （2sinθcosθ）2=1- sin22θ=1- × = + cos4θ ∵4θ ∈[0，2π] ，于是，當(dāng)4θ=π，即cos4θ=-1時(shí)，x2+y2取最小值 ；當(dāng)4θ= ，即4θ=1時(shí)，x2+y2取最大值1。

問3：數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問題的最重要的數(shù)學(xué)思想，本題能從形的角度去考慮么？

解法五：（數(shù)形結(jié)合思想）設(shè)x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動(dòng)圓，記為⊙F。于是，問題轉(zhuǎn)化為⊙F與線段x+y=1x≥0y≥0有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。當(dāng)⊙F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時(shí)rmax=1；當(dāng)⊙F與線段AB相切時(shí)rmin= ，

則 ≤x2+y2≤1

課堂上的生成是可以誘發(fā)的。教師要借助教學(xué)文本，把握契機(jī)，在文本的空白處適時(shí)追問，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)掘文本，促成拓展延伸，提升文本價(jià)值，讓學(xué)生在課堂結(jié)尾處再形成一次思維高潮，體現(xiàn)出“課已終，情猶存，意更深”的課堂教學(xué)。

著名教育學(xué)家蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“真正的課堂乃是一個(gè)積極思考的王國(guó)。”課堂中的有效追問既是一門學(xué)問，更是一門藝術(shù)，它是教師教學(xué)智慧和教學(xué)藝術(shù)的體現(xiàn)，是教師真情投入、深情流露、適時(shí)捕捉的結(jié)果。追問提升了質(zhì)量，追問提升了品位，追問開啟了智慧，追問掀起了課堂的高潮，演繹了課堂的精彩！我們的學(xué)生定會(huì)因我們的“錦心繡口”的發(fā)“問”而開啟思維之旅，教學(xué)之路也將綿綿流長(zhǎng)！