淺析概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中求積分的技巧

聞卉　賀方超

摘 要 本文針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中求分布函數(shù)時(shí)，涉及到的密度函數(shù)積分的特點(diǎn)，給出了求此類(lèi)積分的技巧，并通過(guò)具體例題加以闡述.

關(guān)鍵詞 密度函數(shù) 分布函數(shù) 積分

中圖分類(lèi)號(hào)：O21-4；G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

已知連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)，求隨機(jī)變量的分布函數(shù)，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，這類(lèi)問(wèn)題都涉及到積分的計(jì)算，其中被積函數(shù)的解析式往往是分段函數(shù)（一維情形）或分片函數(shù)（二維情形），這類(lèi)積分是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍存在的難點(diǎn)。本文針對(duì)這現(xiàn)象，重點(diǎn)處理這類(lèi)積分問(wèn)題，并通過(guò)具體例題加以說(shuō)明。

1基礎(chǔ)知識(shí)

（1）若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f（x）和F（x），則F（x）=f（t）dt， ∞

（2）若連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f（x，y）和F（x，y），則F（x，y）=f（u，v）dudv， ∞

2實(shí)例

下面針對(duì)一維連續(xù)型隨機(jī)變量和二維連續(xù)型隨機(jī)變量，分別求相應(yīng)的分布函數(shù)。

例1 已知的密度函數(shù)，

求X的分布函數(shù)F（x）。

說(shuō)明：被積函數(shù)是分段函數(shù)，意味著分布函數(shù)也為分段函數(shù)，且分界點(diǎn)為f（x）的分界點(diǎn)。

3結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍存在的難點(diǎn)，給出了求一維和二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的解題技巧。積分的處理技巧關(guān)鍵在于利用被積函數(shù)的不同表達(dá)式劃分積分區(qū)間（一維）或積分區(qū)域（二維）。對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量而言，利用被積函數(shù)的分界點(diǎn)對(duì)分布函數(shù)的定義域（ ∞，+∞）進(jìn)行分割，從而利用積分區(qū)間的可加性求解當(dāng)自變量落在每一小區(qū)間內(nèi)，變上限積分的結(jié)果，此外，可利用分布函數(shù)的性質(zhì)F（ ∞）=0和F（+∞）=1，直接給出分布函數(shù)在相應(yīng)兩個(gè)子區(qū)間的的積分結(jié)果；對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量而言，積分區(qū)域的分割取決于分布函數(shù)定義式?jīng)Q定的積分區(qū)域和被積函數(shù)不為零對(duì)應(yīng)的區(qū)域的交集，從交集不為零的角度看出自變量的限制條件，即為要找的分界線。

基金項(xiàng)目：湖北省教育廳人文社會(huì)科學(xué)青年項(xiàng)目。編號(hào)：2015Q071；2015Q075。

參考文獻(xiàn)

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