混合超記憶梯度法多尺度全波形反演

胡　勇,韓立國,張　盼,白　璐,張?zhí)鞚?/p>

(吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春130026)

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混合超記憶梯度法多尺度全波形反演

胡勇,韓立國,張盼,白璐,張?zhí)鞚?/p>

(吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春130026)

超記憶梯度類優(yōu)化算法具有全局收斂性和超線性收斂速度,計算內(nèi)存需求小,適合求解大規(guī)模無約束優(yōu)化問題。將超記憶梯度類優(yōu)化算法應(yīng)用到全波形反演中,結(jié)合超記憶梯度類方法優(yōu)點(diǎn),提出混合超記憶梯度法全波形反演策略,并給出詳細(xì)的實(shí)施流程。數(shù)值試算結(jié)果表明,混合超記憶梯度法優(yōu)于共軛梯度法。含不同強(qiáng)度噪聲的地震數(shù)據(jù)及不同精度初始模型的反演結(jié)果表明,混合超記憶梯度法反演精度較高。反演效率分析結(jié)果表明,混合超記憶梯度法反演耗時較短,證明了該混合策略在全波形反演應(yīng)用中有一定的優(yōu)勢。

全波形反演;共軛梯度法;超記憶梯度法;固定步長超記憶梯度法;混合超記憶梯度法

隨著石油工業(yè)的發(fā)展和勘探開發(fā)程度的不斷深入,油氣勘探開發(fā)從構(gòu)造勘探階段逐漸走向巖性勘探階段。為此,全波形反演(FWI)迅速發(fā)展起來,并成為當(dāng)今地球物理界的研究熱點(diǎn)[1]。全波形反演是一個基于地震全波場模擬的數(shù)據(jù)擬合過程,幾乎使用了地震記錄中所有的有效信息[2]。該方法利用優(yōu)化算法不斷進(jìn)行搜索,最終找到模擬數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合差最小的模型[2]。20世紀(jì)80年代,TARANTOLA[3]提出了時間域全波形反演方法,指出目標(biāo)函數(shù)對模型參數(shù)的梯度可以通過殘差反傳波場和正傳波場互相關(guān)運(yùn)算得到,該伴隨狀態(tài)法有效避免了求取Jacobi矩陣。20世紀(jì)90年代,PRATT[2]將全波形反演推廣到了頻率域,提出只需要幾個離散的頻率就可以得到高精度的反演結(jié)果,而且從低頻到高頻的反演策略可以很好地解決陷入局部極小值的問題。

TARANTOLA[3]給出了用最速下降法計算時間域二維聲波方程參數(shù)的反演公式,該方法結(jié)構(gòu)簡單,計算量小,但收斂速度慢。SHI等[4]用控制共軛梯度法和預(yù)條件共軛梯度法求解時間域波動方程參數(shù),并將該方法應(yīng)用于實(shí)際地震數(shù)據(jù)處理,得到了很好的反演剖面。GAO等[5]利用反褶積梯度法進(jìn)行全波形反演,但反演精度不高。PRATT等[6]給出全波形反演中近似Hessian矩陣和精確Hessian矩陣計算公式,當(dāng)利用基于Hessian矩陣的高斯-牛頓類優(yōu)化方法進(jìn)行全波形反演時,計算量過大,對存儲的要求很高,但當(dāng)Hessian矩陣非正定或者高度病態(tài)時,這種方法不能保證目標(biāo)函數(shù)收斂。朱童等[7]將對角Hessian矩陣尺度化的梯度與粒子群算法聯(lián)合,降低了算法對初始模型的依賴性,但計算效率較低。BROSSIER等[8]將L-BFGS方法應(yīng)用到二維彈性波全波形反演中,反演結(jié)果很好。LI等[9]提出修正高斯牛頓法,并將其應(yīng)用到稀疏約束全波形反演中,減小了全波形反演對計算機(jī)內(nèi)存的需求。全波形反演要求在高精度的前提下盡可能地提高計算效率,而直接利用共軛梯度法進(jìn)行全波形反演,不能快速得到高精度的反演結(jié)果。

針對以上問題,本文利用混合超記憶梯度法進(jìn)行全波形反演?；旌铣洃浱荻确ㄊ菍⒊洃浱荻确ê凸潭ú介L超記憶梯度法二者組合來進(jìn)行全波形反演,目的是在保證具有超記憶梯度法反演精度的前提下提高計算效率。超記憶梯度法利用多步梯度信息來對當(dāng)前梯度方向進(jìn)行校正[10],具有全局收斂性和超線性收斂速度,該方法有效彌補(bǔ)了共軛梯度法只利用兩步梯度信息的缺陷,同時避免計算Hessian矩陣。固定步長超記憶梯度法利用梯度信息直接求取模型更新的步長[11],不需要線性搜索,節(jié)約了大量的計算時間。但固定步長超記憶梯度法在求取步長時沒有利用Wolfe收斂準(zhǔn)則來約束目標(biāo)函數(shù),導(dǎo)致該方法在高頻段反演結(jié)果不穩(wěn)定。為了解決反演不穩(wěn)定問題,本文利用混合超記憶梯度法反演策略,即固定步長超記憶梯度法先在低頻段反演,快速得到一個高精度初始模型,再用超記憶梯度法在高頻段反演,最終得到高精度全波形反演結(jié)果。該策略結(jié)合了固定步長超記憶梯度法計算效率高的優(yōu)勢和超記憶梯度法反演精度高的優(yōu)勢。模型試算結(jié)果證明了本文方法可以很好地改善模型整體的反演效果并提高全波形反演的計算效率。

1　方法原理

1.1頻域全波形反演方法

二維頻率域聲波波動方程可以表示為[12]:

(1)

式中:w=2πf表示角頻率,f表示頻率;vP表示縱波速度;x表示震源位置;u(x,w)表示頻率域單頻波場;s(x,w)表示震源函數(shù)。利用有限差分離散算子,則方程(1)可以表示為[13]:

(2)

式中:A(x,w)表示阻抗矩陣。給定初始速度模型和震源子波函數(shù),根據(jù)(2)式即可求得頻率為f時的單頻地震波場u(x,w)。

頻域全波形反演主要利用地震波的振幅、相位以及頻率信息,將采集的時間域地震數(shù)據(jù)通過傅里葉變換得到頻域觀測數(shù)據(jù)(dobs),與正演模擬數(shù)據(jù)(dcal)做差,得到殘差數(shù)據(jù)。殘差數(shù)據(jù)通過伴隨算子作用得到殘差反傳波場,并與正傳波場互相關(guān),得到地下模型的更新梯度[7]。全波形反演是一個不斷去擬合實(shí)際數(shù)據(jù)的過程(最終得到數(shù)據(jù)殘差最小的反演結(jié)果),它具有成像精度高、反演模型參數(shù)準(zhǔn)確、復(fù)雜構(gòu)造成像效果好等優(yōu)點(diǎn)。

全波形反演目標(biāo)函數(shù)定義為:

(3)

式中:m代表模型參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)兩端對模型參數(shù)m求導(dǎo),即得到目標(biāo)函數(shù)的梯度[7]:

(4)

式中:(A-1)T(dobs-dcal)為殘差反傳波場;(A-1)T為伴隨算子;u代表正傳波場。從(4)式可以看出,目標(biāo)函數(shù)的梯度可以利用正傳波場與殘差反傳波場互相關(guān)得到。

1.2混合超記憶梯度法

1.2.1超記憶梯度法

超記憶梯度法具有超線性收斂速度、內(nèi)存需求小、反演精度高等特點(diǎn)。最速下降法只用當(dāng)前梯度的信息,在計算過程中目標(biāo)函數(shù)收斂速度慢[14],共軛梯度法用上一步梯度信息來對當(dāng)前梯度方向進(jìn)行校正,目標(biāo)函數(shù)收斂速度較最速下降法快[15]。準(zhǔn)確的梯度方向可以加快目標(biāo)函數(shù)的收斂速度,超記憶梯度法則是利用多步梯度信息來校正當(dāng)前梯度方向[10]。超記憶梯度算法具體步驟如下。

1) 給定初始模型參數(shù)m0,允許誤差ε,ρ∈(0,1),σ∈(0,2),記憶度M(即記錄梯度向量的個數(shù))為正整數(shù),最大迭代次數(shù)為kmax,令k=0。

3) 計算目標(biāo)函數(shù)下降方向:

(5)

其中,

(6)

4) 利用強(qiáng)Wolfe收斂準(zhǔn)則,搜索步長αk,更新模型參數(shù)mk+1=mk+αkdk,k=k+1,并轉(zhuǎn)步驟2)。

從步驟3)可以看出,求取下降方向dk利用了多步梯度信息。在全波形反演過程中記憶梯度數(shù)目不同導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)收斂速度及模型反演精度有差別,記憶梯度數(shù)量過多則會導(dǎo)致梯度方向校正過度,因為全波形反演的梯度是通過Born近似得到(非精確的一階導(dǎo)數(shù)),所以在全波形反演的過程中不能像數(shù)學(xué)理論描述的那樣,記憶梯度數(shù)目越多反演精度越高,目標(biāo)函數(shù)收斂速度越快[10]。當(dāng)記憶過多梯度時,目標(biāo)函數(shù)值下降變慢,計算速度變慢,內(nèi)存需求增大;記憶梯度數(shù)量少則退化為共軛梯度法。

1.2.2固定步長超記憶梯度法

共軛梯度法和超記憶梯度法都需要進(jìn)行線性搜索求模型更新步長,在搜索合適步長過程中浪費(fèi)了大量的計算時間。為此,馬巍[11]提出固定步長技術(shù),即在每次迭代中通過一個確定的公式來計算步長,從而避免了每一步都進(jìn)行線性搜索,該方法大大節(jié)約了計算時間。固定步長超記憶梯度法具體步驟如下。

1) 給定初始模型m0,允許誤差ε,ρ∈(0,1/M),σ∈(0,2),記憶度M為正整數(shù),最大迭代次數(shù)為kmax,令k=0。

3) 計算目標(biāo)函數(shù)下降方向:

(7)

4) 計算模型更新步長:

(8)

其中,Lk為Lipschitz常數(shù),有:

(9)

其中,L0是一個常數(shù),為了防止步長αk=0。

5) 更新模型參數(shù)mk+1=mk+αkdk,k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2)。

可以看出,固定步長超記憶梯度法無需進(jìn)行線性搜索,直接利用梯度和下降方向求出模型更新步長,顯著縮減了全波形反演的計算時間;但由于未采用收斂準(zhǔn)則約束目標(biāo)函數(shù),導(dǎo)致高頻段全波形反演結(jié)果不穩(wěn)定。

1.2.3混合超記憶梯度法

針對固定步長超記憶梯度法高頻段反演不穩(wěn)定問題,本文提出混合超記憶梯度法反演策略,即固定步長超記憶梯度法先在低頻段反演,快速得到一個高精度初始模型,再利用超記憶梯度法在高頻段反演,最終得到高精度全波形反演結(jié)果。混合超記憶梯度法的實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示,給定初始模型基于二維頻率域聲波波動方程,對Marmousi速度模型用超記憶梯度類方法與共軛梯度法分別進(jìn)行反演。模型橫、縱網(wǎng)格大小為128×384,網(wǎng)格間距均為50m。利用隨機(jī)震源動態(tài)編碼策略[16]壓制超級炮內(nèi)部的串?dāng)_噪聲,一個超級炮中含有38個震源。震源深度均為50m,水平位置在模型表面隨機(jī)分布。檢波器沉放深度均為100m,水平間隔均為50m,共384個。震源為12Hz主頻的雷克子波,采樣間隔為1ms,采樣總長度為4.2s,反演頻率為1～12Hz。圖2為雷克子波時間域波形及其頻譜圖。

圖1　混合超記憶梯度法全波形反演流程

通過正傳波場與反傳波場互相關(guān)求得模型更新梯度,利用混合超記憶梯度優(yōu)化算法進(jìn)行迭代。在全波形反演過程中,本文利用隨機(jī)震源編碼策略[16],在一定程度上縮短了正演模擬所需要時間。

2　數(shù)值模型試算

為了克服全波形反演過程中目標(biāo)函數(shù)陷入局部極小和反演跳周問題,利用組頻重疊多尺度頻率全波形反演。將反演頻率(1～12Hz)分成20個組,每個組包含4個頻率,頻率間隔隨著頻率增加而增大,相鄰頻率組之間重疊度為50%[17],如圖3所示。每個頻率迭代30次。

圖2　雷克子波時間域波形(a)及其頻譜(b)

真實(shí)模型的速度范圍是1.5～4.0km/s。全波形反演的初始模型是真實(shí)模型(圖4a)平滑后的結(jié)果如圖4b所示。

圖3　組頻重疊多尺度示意(單位:Hz)

圖4　真實(shí)模型(a)和平滑初始模型(b)

2.1反演精度對比

利用相同初始步長α0=0.5,強(qiáng)Wolfe收斂準(zhǔn)則搜索步長和相同組頻分別采用共軛梯度法、超記憶梯度法和固定步長超記憶梯度法進(jìn)行反演,結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出,超記憶梯度法具有更高的反演精度,尤其是深層區(qū)域。

圖5　共軛梯度法(a)、超記憶梯度法(b)和固定步長超記憶梯度法(c)反演結(jié)果

從反演結(jié)果(圖5)中分別抽取第120道和第270道(模型中豎線標(biāo)志)的速度值進(jìn)行對比,結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出,共軛梯度法反演結(jié)果的速度曲線在深部偏離真實(shí)值,而超記憶梯度類方法反演速度曲線與真實(shí)值幾乎完全重合?？梢?超記憶梯度類反演方法得到的速度比較準(zhǔn)確,整體效果優(yōu)于共軛梯度法,尤其是深層區(qū)域的效果更好。

從圖5可以看出,固定步長超記憶梯度法反演精度(圖5c)不如超記憶梯度法(但優(yōu)于共軛梯度法),根本原因在于固定步長超記憶梯度法無強(qiáng)Wolfe收斂準(zhǔn)則約束目標(biāo)函數(shù),導(dǎo)致反演結(jié)果不穩(wěn)定,這種現(xiàn)象越到高頻越明顯。本文利用混合超記憶梯度法反演策略很好地解決了高頻反演不穩(wěn)定問題。

混合超記憶梯度法反演結(jié)果如圖7所示,可以看出,固定步長超記憶梯度法反演結(jié)果只在低頻段(1～4Hz)缺失很多細(xì)節(jié)信息(圖7a),但在高頻段有效避免了反演不穩(wěn)定的問題。以該反演結(jié)果作為初始模型,采用超記憶梯度法在高頻段(4～12Hz)進(jìn)行反演,得到的反演結(jié)果(圖7b)與單獨(dú)采用超記憶梯度法的反演結(jié)果幾乎相同。

從圖7b所示的反演結(jié)果中抽取第120道和第270道(模型中豎線標(biāo)志)的速度值與真實(shí)速度值進(jìn)行對比,結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出,混合超記憶梯度法反演速度曲線與真實(shí)值幾乎完全重合,反演精度與超記憶梯度法相同。

圖6　共軛梯度法(a)、超記憶梯度法(b)和固定步長超記憶梯度法(c)反演結(jié)果的第120道和第270道速度曲線對比

圖7　采用固定步長超記憶梯度法在低頻段(1～4Hz)(a)和采用超記憶梯度法在高頻段(4～12Hz)(b)的反演結(jié)果

圖8　混合超記憶梯度法反演結(jié)果單道速度對比

2.2反演效率分析

在同一臺機(jī)器(16G內(nèi)存,CORETMi5,4核處理器,windows7操作系統(tǒng))上,采用MATLAB編譯,并統(tǒng)計時間。表1為梯度類不同優(yōu)化方法的對比結(jié)果。

從表1中可以看出,共軛梯度法耗時最長,原因是梯度方向與真實(shí)梯度方向有偏差,使得在搜索步長的過程中浪費(fèi)了大量的時間。在模型計算中,超記憶梯度法的記憶度取M=5,可以看出,相比于共軛梯度法,其反演精度得到了提高,同時縮短了計算時間。固定步長超記憶梯度法的優(yōu)勢在于無需搜索步長,直接根據(jù)之前梯度信息和下降方向計算出合適步長,對模型進(jìn)行更新迭代?；旌铣洃浱荻确ǖ挠嬎憔扰c超記憶梯度法的計算精度相同,雖然其計算效率比不上固定步長超記憶梯度法的計算效率,但相對于超記憶梯度法來說,其計算時間減少了一半。

經(jīng)過上述反演效率和反演模型誤差的對比分析,可以看出,混合超記憶梯度法在計算效率和反演精度等方面具有明顯的優(yōu)勢。本文提出的混合超記憶梯度法能夠更好地適應(yīng)求解大尺度全波形反演問題。

表1　梯度類不同優(yōu)化方法對比結(jié)果(迭代2400次)

注:模型誤差計算公式為(|反演結(jié)果-真實(shí)模型|/真實(shí)模型)×100%。

2.3收斂穩(wěn)定性分析

2.3.1目標(biāo)函數(shù)收斂速度分析

采用圖4b所示結(jié)果作為初始模型進(jìn)行測試,反演頻率為2Hz,共迭代102次,全波形反演目標(biāo)函數(shù)如圖9所示。從圖9可以看出,超記憶梯度法的記憶度(M)對目標(biāo)函數(shù)下降幅度有一定的影響,當(dāng)記憶度M=4,5時,目標(biāo)函數(shù)下降的幅度較大(圖9a),隨著記憶度的增加目標(biāo)函數(shù)的下降幅度逐漸減小。可見,當(dāng)超記憶梯度法記憶梯度數(shù)量過多時,則對當(dāng)前梯度信息校正過度,導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)下降緩慢,本文將記憶度M=5定為最優(yōu)記憶度。固定步長超記憶梯度法目標(biāo)函數(shù)因為沒有約束條件的限制,其下降幅度不穩(wěn)定(圖9b),但其整體下降幅度大于超記憶梯度法(圖9c)。

2.3.2初始模型依賴分析

利用圖10a所示的線性初始速度模型測試梯

度類優(yōu)化算法反演時對初始模型的依賴程度,反演結(jié)果如圖10b,圖10c,圖10d和圖10e所示。與真實(shí)模型(圖4a)對比可以看出,線性初始速度模型與真實(shí)速度模型差距很大,基本不含真實(shí)模型任何構(gòu)造信息。從圖10可以看出,當(dāng)初始模型較差時,4種方法都能很好地將Marmousi模型淺層構(gòu)造反演出來,隨著深度的增加,共軛梯度法反演結(jié)果出現(xiàn)了偏差,在儲層下方出現(xiàn)了一個實(shí)際上不存在的低速異常,而且高速層位發(fā)生了錯動(圖10c)。對比線性初始模型反演結(jié)果(圖10)和平滑初始模型反演結(jié)果(圖5)發(fā)現(xiàn),超記憶梯度類方法反演結(jié)果區(qū)別不大,證明了超記憶梯度類方法在不缺失低頻情況下基本不依賴初始模型,而共軛梯度法對初始模型依賴較強(qiáng)。

圖9　超記憶梯度法不同記憶度(a)、固定步長超記憶梯度法(b)和不同梯度法(c)的102次迭代目標(biāo)函數(shù)

圖10　線性初始模型(a)和超記憶梯度法(b)、共軛梯度法(c)、固定步長超記憶梯度法(d)、混合超記憶梯度法(e)的反演結(jié)果

2.3.3抗噪能力分析

對比圖5與圖12發(fā)現(xiàn),高斯噪聲對全波形反演結(jié)果影響較大,雖然4種方法都可以基本反演出Marmousi模型,但噪聲使得模型反演結(jié)果不清晰,影響了反演結(jié)果的穩(wěn)定性?？梢钥闯?共軛梯度法反演結(jié)果受噪聲影響最為嚴(yán)重,尤其深部區(qū)域反演結(jié)果畸變嚴(yán)重。多次試驗后發(fā)現(xiàn),逐漸增加噪聲的強(qiáng)度,當(dāng)信噪比低于3時,4種方法都無法得到正確的反演結(jié)果。

圖11　加入高斯噪聲(a)和無噪聲(b)的隨機(jī)震源單頻波場

圖12　地震觀測記錄加入高斯白噪反演結(jié)果a 超記憶梯度法; b 共軛梯度法; c 固定步長超記憶梯度法; d 混合超記憶梯度法

經(jīng)過對梯度類優(yōu)化方法收斂性的穩(wěn)定性分析,得出如表2所示的結(jié)論?？梢钥闯?混合超記憶梯度法結(jié)合了超記憶梯度法和固定步長超記憶梯度法的優(yōu)點(diǎn),相比于共軛梯度法具有明顯的優(yōu)勢。

表2　梯度類優(yōu)化算法優(yōu)、缺點(diǎn)分析

3　結(jié)論與認(rèn)識

針對全波形反演的強(qiáng)非線性,利用混合超記憶梯度法組頻重疊多尺度反演策略,增強(qiáng)了全波形反演的穩(wěn)定性、可靠性和抗噪性,并且一定程度上降低了對初始模型的依賴。

通過理論研究與模型試算得到以下認(rèn)識。

1) 超記憶梯度法具有超線性收斂速度、反演精度高、基本不依賴初始模型、抗噪能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。將超記憶梯度法應(yīng)用于全波形反演一定程度上提高了全波形反演的精度。

2) 在低頻段利用固定步長超記憶梯度法進(jìn)行全波形反演,無需搜索步長,節(jié)約大量計算時間,可以快速為超記憶梯度法提供高精度的初始速度模型,顯著提高了全波形反演的計算效率。

3) 混合超記憶梯度法全波形反演結(jié)合了超記憶梯度類方法的高精度和高效等優(yōu)點(diǎn),能夠快速對復(fù)雜地下速度模型進(jìn)行精細(xì)刻畫,滿足當(dāng)前地震成像對速度建模的高精度需求,模型試算結(jié)果表明,混合超記憶梯度法全波形反演,在反演精度和計算效率方面均優(yōu)于常規(guī)共軛梯度法。

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(編輯：顧石慶)

Multi-scale full waveform inversion with hybrid super memory gradient method

HU Yong,HAN Liguo,ZHANG Pan,BAI Lu,ZHANG Tianze

(CollegeofGeo-ExplorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China)

Abstract: The super memory gradient method is an optimization algorithm which has global convergence and super-linear convergence rate,which uses less memory and is suitable for solving large-scale unconstrained optimization problems.The super memory gradient optimization algorithm is applied to full waveform inversion.We propose a hybrid super memory gradient method inversion strategy by combining the advantages of super memory gradient method.The detailed implementation processes are given in the flow diagram.The tests with synthetic data show the hybrid super memory gradient optimization algorithm is superior to conjugate gradient method.For seismic data containing different intensity noises or different precision initial models,the inversion results denote that the hybrid super memory gradient method can get high resolution inversion results.Inversion efficiency analysis shows that the hybrid super memory gradient method costs less computational time,and it demonstrates that hybrid strategy has some advantages in full waveform inversion.

full waveform inversion,conjugate gradient method,super memory gradient method,fixed step length super memory gradient method,hybrid super memory gradient method

2015-09-18;改回日期：2016-03-28。

胡勇(1992—),男,碩士在讀,研究方向為全波形反演理論及其應(yīng)用。

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)項目(2014AA06A605)資助。

P631

A

1000-1441(2016)04-0559-09DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2016.04.011

This research is financially supported by the National High-tech R & D Program (863 Program) (Grant No.2014AA06A605).