都是“主觀臆斷”惹的禍

代建偉

《中小學數(shù)學》（初中版）第12期中刊登了陳志軍老師的《都是“中點”惹的禍》，陳老師對中考試題的研究非常深入細致，對中考試題的練習研究非常到位，值得我們學習.筆者想借陳老師的話題談談自己的一些想法，不當之處希望各位專家批評指正.

陳師先研究了2008年北京市高級中等學校招生考試數(shù)學試題第19題的解答，陳老師把這道題叫做原題.

題目1：（2008·北京）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD=∠A.

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=2，求⊙O的直徑.

然后研究了2011年廣東省湛江市中考數(shù)學試卷第25題（筆者查到的資料是第27題），陳老師把這道題叫做改編題.

題目2：（2011·湛江）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直徑.

題目2是在題目1的基礎(chǔ)上改編的，陳老師對題目2進行了認真研究，對題目2的（2）做出了三種矛盾的答案（筆者認為也是一種情況，只不過是沒有用“中點”這個條件做出的答案）.筆者對陳老師的解法進行了研究，這三種解法確實沒有問題，都是從已知出發(fā)的，解題的根據(jù)也是正確的，解題過程也是符合邏輯的.從兩道題目的形式來看，題目2多了條件“點D是AC的中點”，陳老師認為都是“中點”惹的禍，不用條件“點D是AC的中點”能求出AE=.這樣的條件能不能隨意添加？添加這樣條件的后果是什么？筆者在陳老師研究的基礎(chǔ)上進行了思考，發(fā)現(xiàn)這道題目的條件“點D是AC的中點”和條件“AD∶AE=4∶5”是相互矛盾的，這兩個條件中有一個是多余的，只要留其中一個條件，即可求出⊙O的直徑.

筆者對這道題的思考如下：

假設(shè)點D是AC的中點，設(shè)AD=a，則DC=a，AC=2a.

易知，△ADE∽△ACB；

所以BC=AC·DC=a·2a=2a，

所以BC=a

AB===a

AE=AB=a

AD∶AE=a∶a=2∶=∶3≠4∶5

由此得出矛盾，說明這兩個條件是矛盾的，是一道錯題，這就是題目2的（2）做出三種矛盾答案的原因.這道題怎樣修改比較合理呢？筆者對這道題提出了兩種修改方法.

修改方法1：去掉條件“點D是AC的中點”.

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直徑.

這樣修改后，已知條件和題目1相似，解題思路和題目1的解法相似.計算結(jié)果也就是陳老師所說的“如果不添加條件‘點D是AC的中點，那么通過計算可以得出⊙O的直徑AE=”.

修改方法2：去掉條件AD∶AE=4∶5.

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若BC=6，求⊙O的直徑.

這樣修改后條件也是充分的，由前面推理和已知可得：

BC=a=6，所以a=3，

所以AE=AB=a=×3=3.

中考命題可以改編一些舊題，但是不能隨意改編，不能主觀臆斷，給出的條件不能矛盾，不然就是一道錯題.