幾何直觀及其在數(shù)學教學中的合理應用

吳增生（浙江省仙居縣教研室）劉　燕（黑龍江省伊春市特殊教育中心）劉智昊（北京第二外國語學院附屬中學）

幾何直觀及其在數(shù)學教學中的合理應用

吳增生（浙江省仙居縣教研室）
劉燕（黑龍江省伊春市特殊教育中心）
劉智昊（北京第二外國語學院附屬中學）

幾何直觀是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的十個核心

之一.幾何直觀既是一種簡明有效的數(shù)學表征，是抽象活動的中介，還是重要的數(shù)學思考方式.幾何直觀主要反映在用圖形描述和理解問題，用圖形分析和思考問題.在應用幾何直觀時應注意的要點有：要堅持數(shù)形結合；要注意配合想象和推理；要引導學生有序思考；要在合適的時機使用和使用合適的幾何直觀方式.

幾何直觀；數(shù)學教學；合理應用

一、對幾何直觀的認識

1.幾何直觀是一種簡明有效的數(shù)學表征

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，幾何圖形反映了數(shù)學對象空間結構及其關系，是聯(lián)系具體對象與其抽象的數(shù)量和空間結構關系的橋梁，具有一般性、直觀性和簡約性.用幾何圖形表征數(shù)學對象、結構和關系，可以直觀、簡約又不失一般地在大腦枕頂聯(lián)合區(qū)和枕顳聯(lián)合區(qū)的視覺功加工區(qū)域中形成所研究對象及其關系的信息，再逐級別傳遞到其他腦區(qū)便于進行進一步的加工.視覺加工是同時性高效率的大腦信息加工方式.人類獲取的外界信息中，絕大部分是靠視覺通道獲得的，視覺加工具有優(yōu)勢地位，用圖形表示對象的特征、結構和關系，符合人腦信息加工的視覺加工優(yōu)勢規(guī)律.

2.幾何直觀是數(shù)學抽象活動的中介

抽象是數(shù)學的本質屬性，無論是數(shù)學內(nèi)容還是數(shù)學方法都是抽象的，但是，抽象過程是以數(shù)學直觀為基礎的，抽象過程必須以數(shù)學直觀為中介.數(shù)學直觀具有多樣性，包括實物的表面直觀、幾何直觀、數(shù)量直觀、模型直觀、概念符號直觀、程序和方法直觀等.其中幾何直觀是最基本、最簡明形象的數(shù)學直觀.數(shù)學直觀具有層次性，有實物表面直觀（如實物與照片），幾何與數(shù)量直觀，概念和符號直觀，系統(tǒng)和模型直觀，程序和方法直觀等.例如，含絕對值的不等式在數(shù)軸上的幾何表示是理解、分析鄰域概念的幾何直觀模型，鄰域概念可以作為理解拓撲學中開集概念的直觀模型.

3.幾何直觀是重要的數(shù)學思考方式

用幾何圖形表示數(shù)學對象后，圖形就成為表達數(shù)學對象、結構和關系的語言之一，把這種圖形語言與普通文字語言、數(shù)學符號語言結合在一起，形成數(shù)學思維的特有語言符號系統(tǒng)，這種語言符號系統(tǒng)是進行數(shù)學表達和思考的基本工具.

利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結構和關系，用點、線、面、體的關系探索事物之間的聯(lián)系，用圖形及其關系認知、表達事物的本質和關系，這是邏輯思維的基礎.數(shù)形結合是建立在幾何直觀基礎上的重要數(shù)學思考方法，通過用圖形直觀地表示數(shù)量和數(shù)量關系，用數(shù)量關系精細地刻畫空間圖形的特征，實現(xiàn)數(shù)與形之間的溝通，這是數(shù)學思維的靈活性的表現(xiàn)，也是數(shù)學思維的有力手段.

二、教學中應用幾何直觀的方法

1.引導學生借助圖形描述和理解問題

在數(shù)學課堂教學中，引導學生畫出適當?shù)膱D形表示事物的空間結構、關系，觀察與想象其變化過程，會免去很多復雜的語言表達，能讓學生快速、深刻地理解相關的知識或問題.例如，在有理數(shù)大小比較法則的教學中，首先要提出引入負數(shù)后數(shù)的大小怎樣比較的問題.然后呈現(xiàn)氣溫（單位：°C）正、負的不同數(shù)值，結合生活經(jīng)驗體會數(shù)量大小，把正、負數(shù)標記到數(shù)軸上，讓學生結合小學中數(shù)的大小比較的經(jīng)驗和生活經(jīng)驗合理規(guī)定數(shù)軸上有理數(shù)大小比較的法則，即右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大.在此基礎上，著重研究兩個負數(shù)比較大小的情況，發(fā)現(xiàn)在負半軸，右邊的負數(shù)代表的點到原點的距離比左邊的負數(shù)代表的點到原點的距離小，結合絕對值的幾何意義就知道右邊的負數(shù)的絕對值比左邊的負數(shù)的絕對值小，于是，自然得到了兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而小這一結論.這樣，學生對兩個負數(shù)比較大小的法則的理解直觀、簡約而深刻，而不是把有理數(shù)大小比較的數(shù)軸法則和具體法則看成兩條不同法則加以記憶.

再如，在問題“某條鐵路上有20個不同的站點，每個站點都可能有人上車或下車，一列火車在這一鐵路上往返運行.問：應該為這一列車提供多少種不同的火車票？”中，如果用如圖1所示的線段圖表示鐵路，這一實際問題就轉化為，線段上有A1，A2，A3，…，A20共20個點（包括端點），求圖中所有線段條數(shù)的2倍.這樣，把計算車票種類的問題轉化為直觀、簡單的數(shù)線段條數(shù)的問題.

圖1

運用圖象描述函數(shù)關系，能使學生形象、簡明地理解變量之間的對應關系和變化規(guī)律，以及函數(shù)、方程和不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.引導學生借助圖形分析和思考問題

（1）借助圖形建構直觀模型，依托直觀模型分析和思考問題.

例如，平行線的定義是采用否定式定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.這一定義中只涉及兩條直線之間的關系（如圖2），而要想到公理“同位角相等，兩直線平行”的前提是發(fā)現(xiàn)用定義做出判斷的困難，從而想到引入第三條直線，建立兩直線之間平行與角之間的關系的空間結構模型——三線八角模型（如圖3）.而怎樣引導學生想到引入第三條直線，構建反映平行線空間結構本質的三線八角模型，則成為難點.

如果從運動變化的角度看，同一平面中的相交線和平行線反映了直線繞著一點旋轉過程中與另一直線的關系.借助信息技術構造動畫（如圖4）或視頻，可以導向第三條直線（截線）的產(chǎn)生（其實就是動直線AB的初始位置EF），并進一步幫助學生形成“同位角相等，兩直線平行”的直覺.在學生借助幾何直觀和想象得到“同位角相等，兩直線平行”這一猜想的基礎上，再讓學生回顧小學中學習過的平推法畫平行線，通過操作發(fā)現(xiàn)其本質是通過保持同位角相等來得到平行線的.這樣，使學生真正經(jīng)歷以下應用幾何直觀的思考過程，即從定義出發(fā)思考問題.構建幾何圖形進行直觀想象，在想象的基礎上猜想，在猜想的基礎上驗證.這種基于幾何直觀的探究式教學，在發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力和數(shù)學思維能力上，都比直接告知學生命題，再用平推法檢驗這種灌輸式學習更有效.

圖4

根據(jù)命題畫出圖形，借助圖形直觀，寫出已知、求證、證明，借助圖形把命題具體化，在此基礎上尋找和構造直觀模型，分析證明思路，書寫證明過程，這是在幾何教學中借助直觀圖形進行分析和思考的最經(jīng)典的內(nèi)容.

（2）建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，用數(shù)形結合思想分析和思考問題.

建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，可以促進數(shù)形結合地解決問題思路的形成.例如，對于問題“關于x的方程-x2+2x=a-3的兩根分別為m，n，其中a是常數(shù)，當-1＜m＜n＜3時，求a的取值范圍”，如果用求根公式求出兩根，得m=1-，n=1+，再根據(jù)m，n的取值范圍求a的取值范圍，則需要解根式不等式，這顯然超出了初中數(shù)學所學的知識.但是，如果能把問題轉化為“關于x的方程-x2+2x+3=a的兩根分別為m，n，其中a是常數(shù)，當-1＜m＜n＜3時，求a的取值范圍”，并用圖象加以描述，進一步轉化為“函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與直線y=a有兩個交點，且交點的橫坐標分別為m，n，-1＜m＜n＜3，求a的取值范圍”，則可以構造出如圖5所示的圖象，簡單明了地得到答案0＜a＜4.

圖5

用數(shù)形結合思想分析和思考問題中最經(jīng)典的內(nèi)容是函數(shù)性質的研究.在初中函數(shù)的直觀研究過程中，畫出圖象是獲得性質的核心途徑.根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，觀察圖象特征，如曲線從左到右是上升還是下降，是直線還是曲線，是否具有對稱性——這是以形表數(shù)的過程.接著，還需要把這種曲線的直觀特征解釋為函數(shù)的變化趨勢，這需要借助坐標這一中介，解析成自變量增大時，函數(shù)值是增大還是減小，這種變化過程是否是線性的，是否具有對稱性，等等.這一過程是以數(shù)表形的過程.

三、應用幾何直觀時應該注意的幾個問題

幾何直觀雖然是形象地表征數(shù)學對象、結構和關系的重要工具，但也有其局限性.首先，圖形直觀是粗略地而非精細地反映數(shù)學對象的結構、特征和關系；其次，畫出的圖形往往是有限的（如直線是畫不出來的，只能畫出其示意圖）；再次，直觀的圖形結構既包含與問題本質結構相關的要素，又包括與問題結構無關的要素，也就是說，會出現(xiàn)視覺干擾現(xiàn)象；最后，數(shù)學直觀不僅僅指幾何直觀，任何已有的知識經(jīng)驗都可以成為理解和探索新知識的直觀工具，并不是所有數(shù)學認知加工都要運用幾何直觀.而且，人類在進行視覺加工的基礎上還需要進行進一步的概念語義加工，才能建立起完整的認知某一對象的神經(jīng)網(wǎng)絡.

1.要堅持數(shù)形結合

我國著名數(shù)學家華羅庚對此有精辟的論述，數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微.數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離.在運用圖形直觀進行描述、分析和思考問題時，既需要借助圖形描述數(shù)量關系，又需要用數(shù)量關系描述圖形的特征；既發(fā)揮圖形的直觀力量，又發(fā)揮數(shù)量的定量精細分析功能，使數(shù)形結合成為數(shù)學思維的有力工具.

2.要注重配合想象與推理

幾何直觀中，圖形是描述和分析問題的直觀工具，使用這一直觀工具時，往往需要結合想象.例如，在“同位角相等，兩直線平行”基本事實的教學中，在學生觀察圖4（1）的直線旋轉過程中，需要通過想象才能得到“當同位角相等時，兩直線恰好沒有公共點”的猜想；在用描點法畫函數(shù)圖象時，在畫出若干個點后，要讓學生想象還有無數(shù)個點，因此需要用平滑的曲線連接所畫出的點.特別是在畫二次函數(shù)y=ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象中，學生往往會出現(xiàn)兩種典型錯誤：一是用線段連接相鄰的點（如圖6中的折線圖）；二是圖象畫得不對稱.這時，教師最好不要直接告知學生，而應該讓學生通過增加點，再通過想象來進行自我糾正，或者運用幾何畫板軟件的制表和按照表格畫點功能展示點不斷加密，讓學生通過觀察和想象來進行自我糾正（如圖6中的散點）.數(shù)學需要借助直觀思考，但直觀是工具，思考是核心，讓學生通過幾何直觀發(fā)展空間想象能力，從直觀向抽象飛躍，這是具有高思維價值的數(shù)學教育目標.

圖6

在借助幾何直觀來描述和分析問題的過程中，還需要推理的支持.例如，構造圖象解決問題“關于x的方程-x2+2x=a-3的兩根分別為m，n，其中a是常數(shù)，當-1＜m＜n＜3時，求a的取值范圍”的過程中，圖象的構造是在一系列的推理的基礎上進行的：先把方程轉化為-x2+2x+3=a，再根據(jù)函數(shù)方程的關系把方程的根轉化為求函數(shù)y=-x2+2x+3和函數(shù)y= a交點的橫坐標，函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交點的橫坐標為-1，3，在這些推理和計算的基礎上才能順利構造出適當?shù)暮瘮?shù)圖象，并通過想象直線y=a平移的范圍才得到結論的.

3.要引導學生有序思考

要引導學生有序思考，首先，要引導學生進行合理的注意選擇；其次，要引導學生對直觀圖形進行從整體到部分再到整體，從定性到定量，動靜結合地觀察和思考.例如，在直線與圓的位置關系的教學中，第一步，教師應該引導學生在想象的基礎上以直線是否穿過圓為標準來分類，畫出三種代表性圖形；第二步，讓學生觀察不同位置關系下的直線與圓的公共點的個數(shù)；第三步，細節(jié)感知，把直線看成點集，選擇到圓心距離最短的直線上的點（過圓心作直線l垂線的垂足）為代表，看這個點是在圓內(nèi)、圓上還是在圓外；第四步，用點與圓的位置關系的判定方法判定代表點與圓的位置關系，并轉化成用圓心與直線的距離與半徑比較方法判定直線與圓的位置關系（如圖7），這一過程就是引導學生進行合理的注意選擇，從整體到部分再到整體，從定性到定量地研究直線與圓位置關系的過程.

圖7

4.要適當運用

適當運用幾何直觀包含兩層意思：一是在合適的時候積極運用但不濫用；二是恰當?shù)剡\用幾何直觀的方式.

（1）什么時候需要運用幾何直觀？

判斷的標準有三條：是否有利于教學目標的達成；是否反映了數(shù)學本質；是否符合學生學習的心理規(guī)律.

例如，合并同類項的本質是研究兩個單項式在什么情況下可以合并化簡.因為用字母表示數(shù)后得到的單項式都表示一個數(shù)，如2x2y，-3x2y，xy2，理論上可以進行加減，其和2x2y-3x2y+xy2仍然是一個數(shù)，但是，其表現(xiàn)的形式是否可以進一步化簡？這本質上是數(shù)學的求簡思維，也是大腦追求用最簡約的方式應對外界刺激的節(jié)能原理的體現(xiàn).因此，合并同類項本質上是整式加減運算的簡化表示的需要，而核心的目標是明確在什么情況下的兩個單項式可以合并化簡和怎樣合并及合并的依據(jù).合并同類項并不是為了面積合并而存在的，采用面積合并的方法進行幾何直觀表達無助于學生辨別什么是同類項以及同類項應該怎樣合并.因此，采用如圖8所示的面積和圖9所示的體積表征來學習合并同類項并不合適.

圖8

圖9

再如，學生乘法學習的大腦機制與加法學習不同，即加法更多激活視覺空間加工的枕頂葉，乘法加工更多地激活語言加工的顳葉和左前額葉腦區(qū)（如圖10），加法學習更多地進行視覺加工，是可以看數(shù)軸上一個點的運動的合成，借助圖形直觀來學習的，且效果較好，乘法學習則更多地表現(xiàn)出語義加工，因此，用幾何直觀來組織學習效果就不好.

圖10

因此，初中有理數(shù)乘法學習不宜采用數(shù)軸上點的運動的視覺學習方式，而是要基于數(shù)系擴充的思想，抓住保持運算律（特別是分配律）這一數(shù)系擴充的核心要求，讓學生找規(guī)律來進行學習，體會負負得正符號法則的合理性.

（2）怎樣恰當運用幾何直觀的方式？

這要考慮采用怎樣的圖形來描述和研究問題.研究表明，基于空間結構和關系的圖式表征能促進數(shù)學思考和數(shù)學問題的解決，而基于物體表面生動具體的圖象表征則往往使人局限于細節(jié)和表象，阻礙數(shù)學思考和數(shù)學問題的解決.

因此，幾何直觀不是要構建對象的表面具體圖象，而是要構建反應研究對象數(shù)量關系和空間結構本質的圖式.例如，在直線與圓的位置關系的教學中，教師喜歡創(chuàng)建日出情境的動畫或視頻，這是一個反映這一情境的具體圖象，教學中要讓學生構建的不是這一圖象，而是直線與圓位置關系的空間結構，因此，教師需要特別地把學生的注意引導到反映空間結構的圖式建構和分析上，而不能被具體情境圖象的細節(jié)所局限.拼圖算面積，對于分配律的理解來說，是基于一個數(shù)與若干個數(shù)和的乘積運算的兩種計算方法結果的等價性，反映了非負數(shù)運算的分配律這一本質數(shù)量關系.因此，是一個空間結構圖式，可以促進學生對分配律的理解.但是，合并同類項是以分配律為依據(jù)的更抽象和更復雜層次的符號操作，這種操作的核心關系是可以合并的同類項之間的式子結構關系.拼圖算面積不能反映同類項式子的結構特征，也不能反映合并同類項中的數(shù)式通性，只能表征分配律（這些學生已經(jīng)掌握，無需簡單重復）.因此，對于合并同類項來說，這種圖示是個別單項式的度量意義的表面具體的圖象表示而非同類項的結構關系圖式表示，因此不但不能促進學生對合并同類項數(shù)學本質的理解，還會阻礙基于代數(shù)大視野的數(shù)學思考.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］史寧中.數(shù)學的抽象［J］.東北師范大學學報（哲學社會科學版），2008（5）：169-181.

［3］吳增生.有理數(shù)乘法法則形成過程教學的再思考：基于“3B”教育理念下的數(shù)學課堂教學實踐研究［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2012（1/2）：26-29.

［4］徐速.數(shù)學問題解決中視覺空間表征研究的綜述［J］.數(shù)學教育學報，2006（2）：35-38.

吳增生（1962—），男，中學高級教師，浙江省特級教師，教育部國培專家，浙江省基礎教育課程改革專家組成員，人民教育出版社教材社外作者，教材培訓專家，主要從事中學數(shù)學教育研究.

2015—12—13