2015年浙江省寧波卷第26題解法探究及反思

蔡衛(wèi)兵（浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

2015年浙江省寧波卷第26題解法探究及反思

蔡衛(wèi)兵（浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

2015年浙江省寧波市中考試題第26題由多個(gè)層次清晰、梯度分明的小題構(gòu)成，側(cè)重考查學(xué)生異中求同、由形悟質(zhì)的能力，充分體現(xiàn)了知識(shí)與能力并重，思想與方法交融的命題特點(diǎn).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)開(kāi)展一題多解、多解歸一的訓(xùn)練，讓學(xué)生在尋求不同途徑和思維方式的過(guò)程中積淀出質(zhì)的方法和思想，真正獲得有價(jià)值的經(jīng)歷.

中考試題；相似模型；同而不同；積淀思想

讓學(xué)生在實(shí)踐中反思，在反思中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中感悟，在感悟中提升，這應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的本真所在.細(xì)品2015年浙江省寧波市中考試題第26題，筆者深有感觸.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，且M是AB的中點(diǎn)．以O(shè)M為直徑的⊙P分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E（位于點(diǎn)M右下方），連接DE交OM于點(diǎn)K．

圖1

（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（3，4）.

①求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

二、解法探究

1．基本套路是保證

從思維的角度分析，解題過(guò)程實(shí)際上是對(duì)思維活動(dòng)的組織，最重要的是由題目的核心條件推斷出哪些相關(guān)知識(shí)與結(jié)論，聯(lián)想到哪些基本圖形與途徑，清楚地聯(lián)系要求的最終結(jié)論.因此，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，除了必須掌握有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)以外，還應(yīng)多聯(lián)想有用的解題思路和常用的解題方法.此題第（1）小題主要考查學(xué)生對(duì)已知條件的整合能力和觀察識(shí)圖能力.第①問(wèn)由見(jiàn)直徑找直角的基本思路連接DM，MC，由三角形中位線(xiàn)定理求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).第②問(wèn)要求ME的長(zhǎng)，由ME=BE-BM可知，只要求出BE和BM的長(zhǎng)即可，BM的長(zhǎng)可由AB長(zhǎng)的一半求得，而AB長(zhǎng)可由勾股定理求得，求BE的長(zhǎng)是解決此問(wèn)的關(guān)鍵.從圖形的直觀角度，依靠尋找識(shí)別相似三角形基本圖形的基本思路便可獲得思維突破.

分解圖形顯相似解第（1）小題.

解：（1）①A（6，0），B（0，8）.

②（方法1）借助基本圖形1（如圖2）.

如圖3，因?yàn)椤螧OM=∠BED，且∠OBM=∠EBD，

所以△OBM∽△EBD.

由已知，得OB=8，BD=4，BM=5.

從而，得BE=6.4.

所以ME=1.4.

圖2

圖3

（方法2）借助基本圖形2（如圖4）.

如圖5，連接DM，OE.

因?yàn)镺M為⊙P的直徑，

所以∠ODM=∠OEM=90°.

所以∠BDM=∠OEB.

又因?yàn)椤螪BM=∠EBO，

所以△DBM∽△EBO.

計(jì)算部分略.

圖4

圖5

（方法3）借助基本圖形3（如圖6）.

如圖7，連接OE.

可得∠AOB=∠OEB=90°.

因?yàn)椤螼BA=∠EBO，所以△OBA∽△EBO.計(jì)算部分略.

圖6

圖7

2．倍分關(guān)系尋相似

平行巧轉(zhuǎn)化解第（2）小題.

（2）（方法1）如圖8，連接DP.

由DP為△BOM的中位線(xiàn)，可知DP∥BM.

所以O(shè)M=4MK，PM=2MK，PK=MK.

因此可證得△DPK≌△EMK.

圖8

所以DK=KE.

因?yàn)镺M為直徑，

所以O(shè)M⊥DE，

即∠DPK=60°.

（方法2）如圖9，連接DM，OE，延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)F.

圖9

由于DM為△AOB的中位線(xiàn)，可知DM∥OA，且OA=2DM.

所以AF=DM.

因此可證△DME≌△FAE.

所以ME=AE.

因?yàn)镺M為直徑，所以∠OEM=90°.

所以O(shè)E垂直平分AM.所以O(shè)M=OA.

因?yàn)镺M為Rt△AOB斜邊上的中線(xiàn)，

所以O(shè)M=AM.

所以△AOM為等邊三角形.

所以∠OAM=60°.

所以∠OBA=30°.

（方法3）如圖10，過(guò)點(diǎn)O作OF∥AB，交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接OE.

由已知，得△BDE≌△O

圖10

所以O(shè)F=BE.

由△OFK∽△MEK，

所以BE=3ME.

所以BM=2ME.

所以O(shè)M=2ME.

所以∠EMO=60°.

因?yàn)椤螼BA+∠BOM=∠EMO，且∠OBA=∠BOM，

所以∠OBA=30°.

3．同而不同再類(lèi)比

對(duì)比第（3）小題與第（2）小題，形式上互逆的關(guān)系和特殊到一般的關(guān)系，承接第（2）小題的思維過(guò)程的逆向方式，類(lèi)比運(yùn)用添平行尋相似實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段倍分關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想方法.第（3）小題開(kāi)放的是∠OBA的大小和點(diǎn)K的位置，用字母表示圖中有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度或關(guān)系，體現(xiàn)出符號(hào)意識(shí)，通過(guò)代數(shù)式的運(yùn)算進(jìn)行數(shù)與式的變形是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)的重要形式，類(lèi)比遷移第（2）小題的解法可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

異中求同明思路解第（3）小題.

（3）（方法1）如圖11，連接PD，DM，OE.

因?yàn)閠an∠OBA=x，設(shè)BE=1，

則OE=BE·tan∠OBA=x.

設(shè)BM=OM=m，

所以ME=BE-BM=1-m.

所以在Rt△OEM中，

由ME2+OE2=OM2，得（1-m）2+x2=m2.

圖11

因?yàn)椤鱀PK∽△EMK，

（方法2）如圖11，連接PD，DM，OE.

因?yàn)閠an∠OBA=x，設(shè)BE=1，

由△BDM∽△BEO，

（方法4）如圖12，連接DM，OE，延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)F.

圖12

因?yàn)閠an∠OBA=x，設(shè)BD=1，

由△OAE∽△BAO，

由△DME∽△FAE，

由△FOK∽△DMK，

（方法5）如圖13，過(guò)點(diǎn)O作OF∥AB，交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接OE.

圖13

三、解后反思

此題難度較大，巧妙地把圓放置于平面直角坐標(biāo)系中，著重考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形的性質(zhì)，以及由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式和方程思想的應(yīng)用，將重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)得淋漓盡致.第（1）小題第①問(wèn)門(mén)檻低，有利于學(xué)生解決，第②問(wèn)有效地設(shè)置臺(tái)階，為后續(xù)的探究做好鋪墊.第（2）小題需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用.第（3）小題類(lèi)比運(yùn)用前面所獲得的思想方法，同時(shí)滲透了用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思維方式，更重視代數(shù)分析能力和計(jì)算能力，有一點(diǎn)初、高中銜接的味道.三道小題層次感強(qiáng)，既有直接要求計(jì)算、求解的問(wèn)題，又有以嘗試、猜測(cè)、探究形成設(shè)問(wèn)的問(wèn)題，體現(xiàn)了壓軸題的選拔功能，這也將成為教師日常教學(xué)的導(dǎo)航，也是中考復(fù)習(xí)的一個(gè)風(fēng)向標(biāo).

1.直擊關(guān)鍵，建構(gòu)方法體系

在解中考數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)，既要對(duì)已知的條件進(jìn)行全面分析，還要善于將題目中的隱性條件挖掘出來(lái)，將數(shù)學(xué)中各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系巧妙地運(yùn)用起來(lái)，用全面、全新的視角來(lái)解決問(wèn)題.熟悉和掌握一系列基本圖形及其相關(guān)結(jié)論，將一些重要的基本方法了然于胸，自然會(huì)在具體問(wèn)題中通過(guò)對(duì)題目核心條件與結(jié)論的分析捕捉題目的特點(diǎn)，并能將其特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有效的解題方法，這是探索方向的保證.上述各道小題的多種解法殊途同歸，精彩紛呈，其關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)并提取基本模型，陌生問(wèn)題熟悉化；善于聯(lián)想并運(yùn)用基本方法，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)潔化；善于比較并聯(lián)系前后異同，異中求同類(lèi)比化.在解決問(wèn)題時(shí)，要注意從數(shù)量和圖形兩方面尋求突破，多歸納總結(jié)解題方法，多積累諸如此題中“倍分關(guān)系尋相似，添線(xiàn)平行成習(xí)慣，構(gòu)造A型圖或X型圖實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段代換少麻煩”的解題經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)解決問(wèn)題的方法體系.

2.關(guān)注本質(zhì)，積淀思想方法

試題先由點(diǎn)M（3，4）為定點(diǎn)起步，感知并辨認(rèn)出基本圖形，尋找與此題的關(guān)聯(lián)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，然后變?yōu)榫€(xiàn)段OM上的定比分點(diǎn)k，需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出相似三角形，以及實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段倍分關(guān)系的轉(zhuǎn)化，最后開(kāi)放的是∠OBA的大小隨著動(dòng)直線(xiàn)AB的變化而變化，在此過(guò)程中探究點(diǎn)K的位置的變化規(guī)律而尋找線(xiàn)段比值之間的函數(shù)關(guān)系，有數(shù)與式的轉(zhuǎn)化，較好地體現(xiàn)了符號(hào)意識(shí).問(wèn)題逐步深入，遵循了由特殊到一般的思想，追求邏輯連貫，其解法始終有一條主線(xiàn)（相似基本模型助突破）貫穿其中，這就是問(wèn)題積淀的質(zhì)，在解法中融入典型的數(shù)學(xué)思想，即模型思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、類(lèi)比思想.解題探究重在培養(yǎng)思維能力，讀懂條件的每一個(gè)信息，聯(lián)想基本圖形，尋找到解題的多種策略以及方法的核心本質(zhì)，在做的過(guò)程和思考的過(guò)程中積淀思想，久而久之，便形成可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)解題技巧和數(shù)學(xué)解題能力.

［1］徐秀峰.數(shù)形巧突破轉(zhuǎn)化妙解題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（5）：31-32.

［2］劉家良.由形到質(zhì)異中求同積淀思想：2014年天津市中考第25題評(píng)析及教學(xué)導(dǎo)向［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（4）：58-60.

蔡衛(wèi)兵（1976—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育與解題教學(xué)研究．

2016—02—13