有限高量子圍欄中電子的能級(jí)和波函數(shù)

江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

?

有限高量子圍欄中電子的能級(jí)和波函數(shù)

江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系， 廣東 廣州 510303)

摘要:用數(shù)值分析的方法對(duì)有限高量子圍欄內(nèi)電子的能級(jí)和波函數(shù)進(jìn)行全面的研究，糾正了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一些紕漏. 借助Mathematica強(qiáng)大的計(jì)算能力和杰出的數(shù)字繪圖功能，給出了能級(jí)圖和三維概率分布圖.

關(guān)鍵詞:有限高量子圍欄; 修正的貝塞爾函數(shù)；能級(jí); 概率分布

1993年，克羅米(M. F. Crommie)等人使用掃描隧道顯微鏡(STM)將48個(gè)鐵原子吸附在銅表面上并排列成一個(gè)半徑為71.3 ?的圓環(huán)，鐵原子的平均間距為9.5 ?，這個(gè)原子圓圈能將銅表面上的電子圍住，所以這樣的原子圈被稱為“量子圍欄”或“原子圍欄”，該實(shí)驗(yàn)通過STM觀測(cè)到了圍欄內(nèi)電子概率的駐波圖.

這是人類第一次直接觀測(cè)到的電子駐波圖，對(duì)于物理學(xué)的理論和應(yīng)用都具有極其重要的意義，因此已有多位作者通過求解定態(tài)Schr?dinger方程來解釋圍欄內(nèi)電子的駐波現(xiàn)象，文獻(xiàn)[1]把問題簡(jiǎn)化為無限高圍欄并計(jì)算了電子的能級(jí)和波函數(shù), 但是無限高圍欄顯然與實(shí)際量子圍欄存在差距；文獻(xiàn)[2]和[3]考慮了有限高圍欄，但由于圍欄的外面是無限的自由平面，電子不被圍欄束縛、其能量不能具體確定；文獻(xiàn)[4]討論了高度有限而厚度無限的圍欄模型，這樣的量子圍欄能把能量低于圍欄高度的電子束縛在其內(nèi)部，電子具有確定的能級(jí)和本征波函數(shù)，可惜的是文獻(xiàn)[4]沒有對(duì)電子的能級(jí)和狀態(tài)進(jìn)行全面的研究，而且計(jì)算過程存在多處紕漏.

本文借助Mathematica強(qiáng)大的計(jì)算能力和杰出的數(shù)字繪圖功能，對(duì)高度有限而厚度無限的圍欄內(nèi)的電子態(tài)進(jìn)行全面深入的研究：糾正了文獻(xiàn)[4]的一些紕漏、 討論能級(jí)數(shù)目與圍欄尺寸的關(guān)系、繪制出能級(jí)圖和三維概率分布圖.

1 定態(tài)Schr?dinger及其貝塞爾函數(shù)解

(1)

用分離變量法求解，令Ψ=ψ(r)Φ(φ)，代入(1)式，得

(2)

和

(3)

(2)式的解為

(4)

式中,m為角量子數(shù)(決定軌道角動(dòng)量的大小)，由波函數(shù)單值性的要求Φm(φ+2π)=Φm(φ), 可得m=0,±1,±2,…； |m|的最大值由R和U0的大小決定，具體取多少，將在后面進(jìn)一步討論.

圓內(nèi)外的勢(shì)能不同，(3)式必須分兩個(gè)區(qū)域求解.

當(dāng)0≤r

(5)

式(5)是標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾方程，有兩個(gè)獨(dú)立的解Jm(ρ)和Ym(ρ)，分別為第一類貝塞爾函數(shù)和第二類貝塞爾函數(shù).

但是Ym(0)→-，不符合波函數(shù)有限性要求(ψ(0)=有限值)，所以符合波函數(shù)有限性要求的解為

ψ(ρ)=c1Jm(ρ)(0≤r

當(dāng)r≥R時(shí), 若令β2=k2(U0-E)，ρ=βr，則

(6)

式(6)也有兩個(gè)獨(dú)立的解Im(ρ)和Km(ρ)，分別稱為第一類修正的貝塞爾函數(shù)和第二類修正的貝塞爾函數(shù).Im(+)→, 不符合波函數(shù)要求，所以符合波函數(shù)要求的解為ψ(ρ)=c2Km(ρ)(r≥R).

這是關(guān)于c1和c2的齊次線性方程組，有非零解的條件是系數(shù)行列式值等于0，

這是決定能量本征值的條件，求其數(shù)值解就可求得體系的能級(jí). 第一個(gè)方程左邊接近于0，會(huì)影響計(jì)算精確度；第二個(gè)方程分母多處為零，會(huì)干擾正常計(jì)算；第三個(gè)方程最優(yōu)越，令

(7)

則體系的能級(jí)為f(E)=0的根. 體系的徑向波函數(shù)可寫成

(8)

幾點(diǎn)說明：

(iii) 由于J-m(ρ)=(-1)mJm(ρ),K-m(ρ)=Km(ρ)，從式(7)和式(8)可知-m和m所對(duì)應(yīng)的能級(jí)和徑向波函數(shù)是相同的，但是每一個(gè)能級(jí)有兩個(gè)角向波函數(shù)e±i|m|φ，所以能級(jí)是二度簡(jiǎn)并的(m=0除外)；由于m的正負(fù)不影響能級(jí)和概率分布，所以在具體計(jì)算時(shí)可以只考慮m=0,1,2,….

2能級(jí)的數(shù)值結(jié)果

下面以Mathematica為工具，取圍欄的半徑為R=71.3 ?、圍欄的高度為U0=0.5 eV，對(duì)圍欄中電子的能級(jí)和波函數(shù)進(jìn)行具體計(jì)算，并繪制概率分布圖.

圖1　當(dāng)R=71.3 ?，U0=0.5 eV,m=0時(shí)f(E)的曲線圖

對(duì)應(yīng)于m=0，f(E)的曲線如圖1所示. 在[0, 0.05]內(nèi)E0初值太接近，可放大該區(qū)間再畫另一幅f(E)曲線圖(略)，從而確定E0的8個(gè)初值分別為0.004，0.022，0.052，0.09，0.16, 0.23, 0.32和0. 41(曲線在0.5處并未與橫軸相交).

圖2　當(dāng)R=71.3 ?，U0=0.5 eV時(shí)f(E)的曲線實(shí)線:m=10；長(zhǎng)劃線:m=21；短劃線:m=22

對(duì)于m=1,2,…的情況，用同樣的步驟逐一繪制f(E)的曲線圖，結(jié)果發(fā)現(xiàn): 對(duì)于固定圍欄半徑R和高度U0，隨著m的增大f(E)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)逐漸減少；對(duì)于R=71.3 ?和U0=0.5 eV，當(dāng)m=10時(shí)只有四個(gè)實(shí)根(E=0不是本問題的解，不計(jì)算在內(nèi))，當(dāng)m=18～21時(shí)都只有一個(gè)正實(shí)根(與橫軸正向只有一個(gè)交點(diǎn))，從m=22開始沒有實(shí)根，圖2給出了m=10，21和22時(shí)f(E)的曲線. 所以對(duì)應(yīng)于這樣的圍欄參數(shù)，角量子數(shù)的取值范圍為m=0,±1,±2,…,±21(對(duì)應(yīng)的初值不在這里一一列出).

表1 給出了m=0,1,2,…,21所對(duì)應(yīng)的能級(jí)個(gè)數(shù)(-m與m的能級(jí)數(shù)相同).

表1　有限高量子圍欄(R=71.3 ?和U0=0.5 eV)的角量子數(shù)及其能級(jí)個(gè)數(shù)N

所以當(dāng)R=71.3 ?和U0=0.5eV時(shí)，能級(jí)個(gè)數(shù)為90；圍欄半徑R或者高度U0越大，m的取值范圍就越大. 如果把圍欄高度近似簡(jiǎn)化為無限高，則m的取值范圍就是無窮(一切整數(shù))，這就是文[1]的情形.

有了能級(jí)的大概值(找根的初值)，就可以尋找當(dāng)R=71.3 ?和U0=0.5eV時(shí)m=0,1,2的能級(jí)了.對(duì)應(yīng)于m=0的能級(jí)(以eV為單位，下同)分別為: 0.004 016 71, 0.021 154 6, 0.051 947 5, 0.096 326 5, 0.154 16, 0.225 217, 0.309 051和0.404 554；

圖3　前三個(gè)角量子數(shù)的能級(jí)總圖實(shí)線,長(zhǎng)劃線，短劃線分別對(duì)應(yīng)于m=0,1,2

對(duì)應(yīng)于m=1的能級(jí)分別為: 0.010 196, 0.034 158 8, 0.071 757, 0.122 887, 0.187 376, 0.264 909, 0.354 822和0.454 964；

對(duì)應(yīng)于m=2的能級(jí)分別為:0.018 3131, 0.049 154 6, 0.093 557 3, 0.151 414, 0.222 503, 0.306 39和0.402 018.把m=0,1,2三種不同角動(dòng)量的能級(jí)畫在一起，得如圖3所示的能級(jí)總圖.

對(duì)于m=0,1,2三種不同角量子數(shù)，能級(jí)是很有規(guī)律的：從低到高分別是m=0,1,2的三個(gè)最低能級(jí)(m=0的第一個(gè)能級(jí)為基態(tài)能)，接著是m=0,1,2的三個(gè)次低能級(jí)(m=0的次低能級(jí)略高于m=2的最低能級(jí))，…，最后是m=0的第八個(gè)能級(jí)及m=1的第八個(gè)能級(jí)．

如果把m=3,4,…,21的能級(jí)也一起排列，情況就復(fù)雜了，具體情況有待進(jìn)一步計(jì)算.

3波函數(shù)與概率分布的數(shù)值結(jié)果

把已經(jīng)得到的能級(jí)逐個(gè)代入式(8)即可確定每個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)，借助Mathematica可以自動(dòng)快速得到波函數(shù)，并繪制電子的概率分布圖(立體圖)，對(duì)于m=0，R=71.3 ?和U0=0.5eV，如圖4～圖11所示. 對(duì)于m=1，只給出第四個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的電子概率分布圖，如圖12所示；對(duì)于m=2，只給出第三個(gè)能級(jí)所對(duì)應(yīng)的電子概率分布圖，如圖13所示.

以上結(jié)果表明：角動(dòng)量為零 (m=0) 的量子態(tài)在圍欄中心(r=0)是概率主峰，角動(dòng)量不為零 (m≠0) 的量子態(tài)在圍欄中心(r=0)是概率低谷(波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)). 此外，不論角量子數(shù)m是多少，概率分布圖的波峰個(gè)數(shù)都與能級(jí)E(m,n)的序號(hào)n相一致.

最后，研究束縛態(tài)的最高能級(jí)(m=21, 即能量最接近0.5eV)的量子狀態(tài)，數(shù)值結(jié)果如圖14所示. 電子概率分布主要集中在圍欄邊緣.

圖14m=21的能級(jí)(唯一且最高的能級(jí))所對(duì)應(yīng)的概率密度

參考文獻(xiàn)：

[1] 周佩瑤，王萊，陳宜生. 原子圍欄中金屬表面電子的態(tài)函數(shù)及能級(jí)[J]．工科物理，2000，10(4)：9-11.

[2] 戴淇, 蔣平. 量子圍欄的電子結(jié)構(gòu)(英文)[J].復(fù)旦學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2000, 39(2):132-134.

[3] 塔立, 單崳瓊, 周向仁, 等. 量子圍欄中的表面電子局域態(tài)密度及其模擬[J]．云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，31(S2)：411-416.

[4] 董建．Mathematica與大學(xué)物理計(jì)算 [M]．2版. 北京：清華大學(xué)出版社，2013：289-296.

收稿日期：2016-01-21

基金項(xiàng)目：廣東省高等學(xué)校專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(2014)

作者簡(jiǎn)介：江俊勤，男，廣東揭陽人，廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系教授.

中圖分類號(hào)：O562.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-3798(2016)03-0057-06

Energy Level and Wave Function of Electron inside Finite High Quantum Corral

JIANG Jun-qin

(Department of Physics and Information Engineering, Guangdong University of Education,Guangzhou，Guangdong, 510303, P.R.China)

Abstract:The energy levels and wave functions of the electron in the finite high quantum corral are numerically studied. Some errors in the existing literature are corrected. The energy level diagrams and the three dimensional probability distribution diagrams are given by using MATHEMATICA.

Key words:finite high quantum corral; modified Bessel function; energy level; probability distribution