“討價(jià)還價(jià)”的“納什解”的形成路徑與結(jié)論拓展

摘要建立了一個(gè)“討價(jià)還價(jià)”的雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型，并利用這個(gè)模型的二元常系數(shù)線性差分方程組，揭示“納什討價(jià)還價(jià)解”的形成路徑.對(duì)于不是“納什討價(jià)還價(jià)解”的一般討價(jià)還價(jià)的成交結(jié)果，同樣可以運(yùn)用這樣一個(gè)模型來揭示.基于這個(gè)模型，當(dāng)買、賣雙方希望成交，各方的出價(jià)通過逐次調(diào)整會(huì)最終收斂到同一個(gè)常數(shù)，因此能夠從理論上保證討價(jià)還價(jià)最終成交.雙方當(dāng)中有一方不肯讓價(jià)而成交的情形，可以作為這個(gè)模型退化成為單邊適應(yīng)性預(yù)期模型的情形.舉例計(jì)算說明了一個(gè)討價(jià)還價(jià)問題的收斂過程與結(jié)果.

關(guān)鍵詞理論經(jīng)濟(jì)學(xué)；討價(jià)還價(jià)；合作博弈；適應(yīng)性預(yù)期；收斂

中圖分類號(hào) 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

AbstractA bilateral adaptive expectation model of “bargain” was set up， a binary constant coefficients liner difference equation system of the model was used， and a formation path of “Nash Bargaining Solution” was explicated. This model can also be used to explicate a common conclusion of bargain that is not “Nash Bargaining Solution.” Based on this model， bids of both buyer and seller all converge to same constant if they wish to clinch a deal， so that the “bargain” can clinch a deal ensured in theoretical meaning. A situation can be as the degeneration of the model that both clinch a deal although one of them keeps own bid from beginning to end， because it becomes a single adaptive expectation model. An example was drawn upon to verify the process and result of a common bargain problem.

Key words theoretic economics； bargain； cooperation game； adaptive expectation； convergence

1引言

“討價(jià)還價(jià)”是現(xiàn)實(shí)生活中非常普遍的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中，用合作博弈理論來解釋“兩人討價(jià)還價(jià)”及成交問題， 在由個(gè)體理性、帕累托強(qiáng)有效性、對(duì)稱性、等價(jià)盈利描述的不變性、無關(guān)選擇的獨(dú)立性五個(gè)公理組成的“納什公理”下，能夠證明“兩人討價(jià)還價(jià)”問題存在滿足“納什公理”的唯一解（施錫銓，2012）[1].“兩人討價(jià)還價(jià)”問題的“納什解”被廣泛應(yīng)用于一類微觀經(jīng)濟(jì)活動(dòng).并且，已經(jīng)有人嘗試將其運(yùn)用于馬克思的社會(huì)再生產(chǎn)宏觀經(jīng)濟(jì)模型，獲得了社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)的“納什討價(jià)還價(jià)解” （陶為群，2015）[2].然而，“納什討價(jià)還價(jià)解”僅僅是一個(gè)結(jié)果，只有當(dāng)這個(gè)結(jié)果與 “兩人討價(jià)還價(jià)”合作博弈抽象過程直接聯(lián)系到一起，才能夠從理論意義上把“納什解”當(dāng)作 “兩人討價(jià)還價(jià)”的一種典型結(jié)果.因而，需要具體給出“納什解”的形成路徑.這就首先需要對(duì)于買、賣雙方逐次討價(jià)還價(jià)、最終成交的典型過程加以歸納和提煉，建立“納什解”形成路徑的具體模型，從而完整地確立“討價(jià)還價(jià)”問題的“納什解”.另外，從本質(zhì)上講“討價(jià)還價(jià)”合作博弈的結(jié)果是雙方地位對(duì)比的反映，而“納什公理”中的對(duì)稱性公理過于側(cè)重公平性，所以理論上的成交價(jià)格也過于體現(xiàn)買、賣雙方出價(jià)的平均化.這與現(xiàn)實(shí)的“討價(jià)還價(jià)”中“店大壓客”或者“客大壓店”的情形不吻合，因此理論上的“納什解”成交價(jià)格也只是一種理想化的結(jié)果，并不能一般性地解釋 “討價(jià)還價(jià)”的成交價(jià)格.已經(jīng)有研究從合作博弈的角度建立各個(gè)局中人地位對(duì)稱的三方相互威懾討價(jià)還價(jià)模型（龔智強(qiáng)，謝政，戴麗，2015）[3]，為探索“討價(jià)還價(jià)”的 “納什解”的結(jié)論拓展提供了有益的啟示.所以，不僅需要明確 “討價(jià)還價(jià)”的 “納什解”的形成路徑，而且需要對(duì)由這個(gè)路徑形成的結(jié)論加以拓展，使其能夠一般性地解釋 “討價(jià)還價(jià)”的成交過程與結(jié)果.通過建立一個(gè)“討價(jià)還價(jià)”的雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型，可以闡明“納什解”的形成路徑并對(duì)由這個(gè)路徑形成的結(jié)論加以拓展.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 33卷第2期

陶為群：“討價(jià)還價(jià)”的“納什解”的形成路徑與結(jié)論拓展

2一般討價(jià)還價(jià)問題的“納什解”

假設(shè)對(duì)于一件商品買、賣雙方都有成交的意愿，但對(duì)于價(jià)格有不同的訴求，于是進(jìn)行討價(jià)還價(jià).分別以ps0，pd0表示賣方、買方初始出價(jià).買方初始出價(jià)會(huì)低于賣方初始出價(jià)，因而有：

pd0

合作博弈中有一個(gè)基本概念是利益分配， 那么對(duì)于這一件商品來說， 賣方與買方初始出價(jià)之間的差額（ps0-pd0）就成為買、賣雙方利益分配的具體對(duì)象.以x表示經(jīng)過討價(jià)還價(jià)成交時(shí)買方獲得的利益，那么賣方獲得的利益就是（ps0-pd0）-x.最終成交時(shí)買方出價(jià)是賣方初始出價(jià)減去買方獲得的利益.以pd表示：

pd=ps0-x. （2）

而最終成交時(shí)賣方出價(jià)是買方初始出價(jià)加上賣方獲得的利益.以ps表示：

ps=pd0+（ps0-pd0）-x=pd. （3）

因而，用買、賣雙方初始出價(jià)之間的差額作為利益分配的具體對(duì)象是自然、適宜的.合作博弈的買、賣雙方有各自的效用，是利益分配的函數(shù)，會(huì)影響其對(duì)于利益分配的衡量.分別以u(píng)d，us表示買方和賣方關(guān)于利益分配的效用，并假設(shè)買、賣雙方的效用是所獲得的利益的某個(gè)倍數(shù).即，

ud=adx，

us=as（ps0-pd0-x）. （4）

式（4）中ad，as都是常數(shù).對(duì)于“兩人討價(jià)還價(jià)”問題，在 “納什公理”下，存在滿足“納什公理”的唯一討價(jià)還價(jià)解，它是使“納什積”ud×us達(dá)到最大的解.因此將式（4）代入“納什積”，就形成一般的“討價(jià)還價(jià)”問題的目標(biāo)函數(shù)：

max {[adx]×[as（ps0-pd0-x）]}.（5）

目標(biāo)函數(shù)中的“納什積”是待定變量x的二次函數(shù)，使用求函數(shù)最大值的方法，很容易求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，就是“納什討價(jià)還價(jià)解”.

=12（ps0-pd0）. （6）

將代入最終成交時(shí)買、賣雙方出價(jià)pd和ps的表達(dá)式，得到：

pd=ps=12（pd0+ps0）. （7）

式（7）表明，當(dāng)買、賣雙方的效用都是利益分配的某個(gè)倍數(shù)，則按照“納什討價(jià)還價(jià)解”最終成交價(jià)格是買賣雙方初始出價(jià)的中間價(jià).雖然這是“兩人討價(jià)還價(jià)”的一種典型結(jié)果，但是從邏輯上講，需要明確提出“納什解”的一條形成路徑，作為這種結(jié)果與“兩人討價(jià)還價(jià)”合作博弈抽象過程之間的紐帶，才能夠確立“納什解”對(duì)于“討價(jià)還價(jià)”成交價(jià)格的理論意義.

3討價(jià)還價(jià)的雙邊適應(yīng)性預(yù)期

模型及其退化情形

如果一般的討價(jià)還價(jià)問題存在著“納什解”，就意味著買賣雙方的“討價(jià)還價(jià)”合作博弈過程是收斂的，并且收斂到“納什討價(jià)還價(jià)解”.而收斂的前提條件，是每一方都根據(jù)另一方的出價(jià)不斷調(diào)整本方的出價(jià)，從而使雙方的出價(jià)逐步接近，使“討價(jià)還價(jià)”過程收斂.“討價(jià)還價(jià)”的收斂，也就是在合作博弈中每一方都根據(jù)另一方的利益分配訴求，不斷調(diào)整本方的利益分配訴求，最終使雙方的利益分配訴求之和等于可供分配的總的利益，從而得以成交.分別以pdn，psn表示買方、賣方在討價(jià)還價(jià)中的第n次出價(jià)，以xn，yn表示買方、賣方的第n次利益分配訴求（n=0，1，2，3…），直接成為各方的博弈策略.那么各方的每次出價(jià)和利益分配訴求之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

pdn=ps0-xn，

psn=pd0+yn，

n=0，1，2，3，…（8）

以雙方的初始出價(jià)差額（ps0-pd0）作為可供分配的總的利益.在合作博弈中每方的初始策略是：

x0=y0=ps0-pd0.（9）

由于雙方的初始出價(jià)不同，也就是初始策略之和超過可供分配的總的利益，因而需要通過討價(jià)還價(jià)，最終使雙方的出價(jià)相同，才能夠成交.

可以假設(shè)“討價(jià)還價(jià)”的次序是首先由賣方給出初始出價(jià)ps0，然后由買方給出初始出價(jià)pd0，那么由于雙方的初始策略之和超過可供分配的總的利益，無法成交，所以雙方都必須對(duì)本方的初始策略進(jìn)行調(diào)減，重新提出策略；再由賣方提出第1次策略，然后由買方提出第1次策略；…，照此逐次進(jìn)行下去， 買方、賣方分別逐次提出本方的第n次策略xn，yn，形成雙方對(duì)于本方的策略逐次調(diào)整的過程，是一個(gè)“討價(jià)還價(jià)”合作博弈過程.如果反過來，將合作博弈的次序改為每次先由買方、再由賣方提出本方的策略，完全不影響“討價(jià)還價(jià)”合作博弈的結(jié)果.買方、賣方的逐次提出的策略形成兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的無窮數(shù)列xn，yn，最終成交對(duì)應(yīng)著這兩個(gè)數(shù)列收斂.于是，需要建立一個(gè)模型來歸納和提煉由“討價(jià)還價(jià)”合作博弈所形成這兩個(gè)策略數(shù)列，并證明這兩個(gè)數(shù)列收斂，從而具體給出“納什解”的形成路徑.

在討價(jià)還價(jià)中，必須買、賣雙方至少有一方誠心成交才有可能達(dá)成交易；而一般的成交狀況是雙方都希望成交，因而都逐次對(duì)于本方的博弈策略加以調(diào)整，形成下一輪次策略，所以買、賣雙方“討價(jià)還價(jià)”合作博弈是各方對(duì)于本方策略進(jìn)行適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整的過程.經(jīng)典的適應(yīng)性預(yù)期模型當(dāng)中只有一個(gè)主體，這個(gè)主體根據(jù)自身預(yù)期狀況與實(shí)際狀況之間的差距，對(duì)自身預(yù)期狀況不斷加以調(diào)整.因而調(diào)整的內(nèi)容是自身預(yù)期狀況；調(diào)整的參照物是實(shí)際狀況.而在討價(jià)還價(jià)合作博弈中，有買方、賣方兩個(gè)主體，因而是雙邊的適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整.調(diào)整的內(nèi)容是本方預(yù)期的利益訴求也就是策略.由于雙方能夠?qū)嶋H獲得的利益是此長(zhǎng)彼消的，于是一方必須根據(jù)對(duì)方的策略來調(diào)整本方的策略，因而調(diào)整的參照物只能是對(duì)方的策略.而如果要完全適應(yīng)對(duì)方的策略，那么買方采取的第n次策略就應(yīng)當(dāng)是（ps0-pd0）-yn；賣方采取的第n次策略就應(yīng)當(dāng)是（ps0-pd0）-xn.所以，可以歸納和提煉成一個(gè)雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型（王曦、陳淼，2013） [4].

xn+1=xn+βd[（ps0-pd0-yn）-xn]，

yn+1=yn+βs[（ps0-pd0-xn）-yn].

n=0，1，2，3，…（10）

βd，βs稱為適應(yīng)系數(shù)，在此分別表示買、賣雙方對(duì)于本方策略向適應(yīng)對(duì)方策略調(diào)整的幅度，反映了向?qū)Ψ酵讌f(xié)的程度.如果一方的適應(yīng)系數(shù)為0，表示完全堅(jiān)持本方策略而絲毫不向?qū)Ψ酵讌f(xié)；如果一方的適應(yīng)系數(shù)為1，表示完全向?qū)Ψ酵讌f(xié)而接受了對(duì)方策略.假如有某方的適應(yīng)系數(shù)小于0，則由于雙方的初始策略之和超過可供分配的總的利益即x0+y0>ps0-pd0，

就意味著各方下一輪次策略值更高，那么雙方策略之和更超過可供分配的總的利益，不可能成交，因此排除這種情形.討價(jià)還價(jià)持續(xù)進(jìn)行的原因是在各輪次雙方都不能夠完全適應(yīng)對(duì)方策略.根據(jù)式（10），假如一方的適應(yīng)系數(shù)大于1，就意味著本方下一輪次策略值低于如果完全適應(yīng)對(duì)方策略的本方本輪次策略值，也就是xn+1<（ps0-pd0）-yn或者yn+1<（ps0-pd0）-xn，這都已經(jīng)超過了完全適應(yīng)對(duì)方策略的妥協(xié)程度，因此也排除這種情形.所以，確定在模型中適應(yīng)系數(shù)的取值范圍限定在：

0≤βd，βs≤1.（11）

將式（10）代入式（8），可以對(duì)應(yīng)地獲得買、賣雙方對(duì)于本方出價(jià)進(jìn)行雙邊適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整的模型：

pdn+1=（1-βd）pdn+βdpsn，

psn+1=βspdn+（1-βs）psn.

n=0，1，2，3，…（12）

式（12）表明：買、賣雙方的第n+1輪次出價(jià)pdn+1，psn+1都是雙方的前一輪次出價(jià)pdn，psn的固定加權(quán)平均數(shù)，數(shù)值介于二者之間.這比較貼近現(xiàn)實(shí)當(dāng)中最簡(jiǎn)便的討價(jià)還價(jià)方式.

有一種特殊的情形是買、賣雙方的適應(yīng)系數(shù)之和恰好等于1.即

βd+βs=1.（13）

在這種特定條件下，將式（10）中兩式取n=0相加并將式（13）代入，得到：

x1+y1=x0+y0+（βd+βs）×[ps0-pd0-（x0+y0）]=ps0-pd0. （14）

即，只經(jīng)過一次討價(jià)還價(jià)雙方的策略之就恰好等于可供分配的總的利益，對(duì)應(yīng)著雙方的出價(jià)完全相同，因而成交使合作博弈終止.這是因?yàn)榍∏稍谟憙r(jià)還價(jià)中買、賣雙方的適應(yīng)系數(shù)是互補(bǔ)的.

根據(jù)常識(shí)，如果賣方不肯讓價(jià)而成交，那么只有買方單方面妥協(xié)，以賣方初始出價(jià)成交.這是討價(jià)還價(jià)的雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10）退化成為買方單邊適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整的一種特殊情形，可以用在模型式（10）中賣方的適應(yīng)系數(shù)取特定值βs=0來說明.由于賣方不肯讓價(jià)，堅(jiān)持獲得全部可供分配的利益即yn=（ps0-pd0）（ n=0，1，2，3，…）而絲毫不向買方妥協(xié)，因此這種情形下只有買方完全（一次到底）或者不完全（逐步）向賣方妥協(xié)才能成交.如果買方完全向賣方妥協(xié)，則買方的適應(yīng)系數(shù)βd=1，根據(jù)式（13）和式（14）經(jīng)過一次討價(jià)還價(jià)雙方就以賣方獲得全部利益（ps0-pd0）也就是以初始出價(jià)ps0成交.如果買方不完全向賣方妥協(xié)，并沒有改變問題的實(shí)質(zhì)，這時(shí)買方的適應(yīng)系數(shù)0<βd<1.式（10）中的買方策略方程就簡(jiǎn)化成為xn+1=（1-βd）xn，當(dāng)“討價(jià)還價(jià)”無限進(jìn)行下去，通過迭代買方逐輪次策略就向零收斂.

雙方最終以賣方初始出價(jià)ps0成交.

同樣根據(jù)常識(shí)，如果買方不肯讓價(jià)而成交，那么只有賣方單方面妥協(xié)，以買方初始出價(jià)成交.這是討價(jià)還價(jià)的雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10）退化成為賣方單邊適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整的一種特殊情形，可以用在模型式（10）中買方的適應(yīng)系數(shù)取特定值βd=0來說明.由于雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10）對(duì)于買、賣雙方具有完全對(duì)稱性，所以與賣方“不可還價(jià)”成交的道理類似，不管賣方完全（一次到底）或者不完全（逐步）向買方妥協(xié)，都是以買方獲得全部利益（ps0-pd0）也就是以初始出價(jià)ps0成交.

討價(jià)還價(jià)成交的一般情形是買、賣雙方都不完全向?qū)Ψ酵讌f(xié)，因而都對(duì)于本方初始策略進(jìn)行適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整，因此最終以買、賣雙方各獲得全部利益（ps0-pd0）中的一部分，也就是也雙方初始出價(jià)之間的某個(gè)價(jià)格成交.這種情形下買、賣雙方的適應(yīng)系數(shù)都介于0到1之間并且不是互補(bǔ)的.并且在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中，一般買、賣雙方對(duì)于本方策略比對(duì)方策略更為看重，因而向適應(yīng)對(duì)方策略調(diào)整的幅度會(huì)小于0.5，也就是適應(yīng)系數(shù)會(huì)小于0.5.因此可以進(jìn)一步縮小適應(yīng)系數(shù)取值范圍是：

0<βd，βs<0.5.（16）

這意味著在式（12）表示的買、賣雙方的前一輪次出價(jià)加權(quán)平均形成各方本輪次出價(jià)當(dāng)中，前一輪次本方出價(jià)所占權(quán)重高于對(duì)方出價(jià)所占權(quán)重.

順便指出：適應(yīng)系數(shù)βd，βs分別是買、賣雙方自身的秘密，只是由本方使用的參數(shù)，對(duì)方并不知曉數(shù)值.以下以式（16）作為約束條件，運(yùn)用雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10）研究一般的討價(jià)還價(jià)中雙方調(diào)整博弈策略和成交情形.

4 一般討價(jià)還價(jià)的雙邊適應(yīng)性預(yù)期

模型的解的唯一存在性

將式（10）稍加變形，成為：

式（26）表明，由于在“討價(jià)還價(jià)”過程中買賣雙方的利益訴求分別向x*和y*收斂，因而雙方出價(jià)趨向于完全相同，于是，能夠從理論上保證“討價(jià)還價(jià)”趨向于成交.

差分方程組式（17）的平衡解x*和y*是一個(gè)特解.根據(jù)差分方程組的一般理論，可以由特解x*和y*以及將式（17）去掉常數(shù)項(xiàng)后的常系數(shù)齊次線性差分方程組的通解，獲得常系數(shù)非齊次線性差分方程組式（17）的通解.為此先求式（17）去掉常數(shù)項(xiàng)后的齊次差分方程組的系數(shù)矩陣的特征值.很容易解出兩個(gè)特征值λ1=1和λ2=1-（βd+βs）.將兩個(gè)特征值代入常系數(shù)線性差分方程組的通解的一般公式，可得到非齊次線性差分方程組式（17）的通解.再根據(jù)這個(gè)差分方程組有初始值x0，y0，利用得到的通解和特解x*，y*，得到常系數(shù)非齊次線性差分方程組式（17）有初始值x0，y0的解：

xn=βdβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+x*，

yn=βsβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+y*，

n=1，2，3，…. （27）

根據(jù)線性差分方程組的一般理論，差分方程組式（17）有唯一的滿足初始值x0，y0的解 （周義倉、曹慧、肖燕妮，2014） [6].所以式（27）就是差分方程組式（17）有初始值x0，y0的唯一解.

將式（27）代入式（8），得到討價(jià)還價(jià)過程中雙方逐次出價(jià)數(shù)列的通項(xiàng)：

pdn=ps0-βdβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n-x*，

psn=pd0+βsβd+βs（ps0-pd0）[1-（βd+βs）]n+y*，

n=1，2，3，…. （28）

根據(jù)式（27）和式（16），買、賣雙方預(yù)期調(diào)整的適應(yīng)系數(shù)和可以接受的利益訴求差額，決定著“討價(jià)還價(jià)”的成交（收斂）過程與結(jié)果.買、賣雙方“討價(jià)還價(jià)”的實(shí)際成交價(jià)格對(duì)應(yīng)著通過逐次迭代獲得的唯一收斂點(diǎn)的近似值.各方的適應(yīng)系數(shù)越大，可以越快成交；可以接受的訴求差額起著計(jì)算精度的作用，精度越高成交過程越慢.雙方成交的步驟是：當(dāng)一方的某輪次策略與上一輪次策略不超過其可以接受的利益訴求差額，就可以忽略不計(jì)本方繼續(xù)調(diào)整的結(jié)果；當(dāng)各方都忽略不計(jì)本方繼續(xù)調(diào)整的結(jié)果的時(shí)候，買、賣雙方討價(jià)還價(jià)就中止，該輪次的買、賣雙方的策略就成為本方策略極限值的近似值，從而討價(jià)還價(jià)近似達(dá)成均衡.所以，建立雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10）作為買、賣雙方討價(jià)還價(jià)收斂從而成交的形成路徑，從理論上講是適宜的.這里指出：根據(jù)式（23）和式（27），買、賣各方策略的極限值都是雙方的適應(yīng)系數(shù)和初始出價(jià)的隱函數(shù)，所以并不能獲得一般討價(jià)還價(jià)的解析解.買、賣雙方可以并不知曉利益訴求的雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10），也并不知道討價(jià)還價(jià)的收斂值，只要是在討價(jià)還價(jià)中簡(jiǎn)單地按照式（12）逐次調(diào)整本方的出價(jià)，就必然趨于向雙方出價(jià)的唯一收斂?jī)r(jià)格收斂并成交.

回過頭來看，如果買、賣雙方討價(jià)還價(jià)是以“納什討價(jià)還價(jià)解”收斂，那么買方、賣方的逐次提出的策略數(shù)列xn，yn的極限x*和y*就是分別取特定值和.根據(jù)式（6）和式（24），這種情形下買、賣雙方的策略極限值是相等的.即：

==12（ps0-pd0）.（29）

根據(jù)“納什公理”當(dāng)中的對(duì)稱性公理，買、賣雙方的地位完全平等，所以應(yīng)當(dāng)是雙方將本方策略向適應(yīng)另一方策略調(diào)整的幅度相等，也就是雙方的適應(yīng)系數(shù)相同.即：

βd=βs. （30）

將式（29）和式（30）代入差分方程組式（17）的通解式（27），得到討價(jià)還價(jià)以“納什討價(jià)還價(jià)解”收斂的唯一解：

xn=yn=12[1+（1-2βd）n]（ps0-pd0），

n=1，2，3，…. （31）

根據(jù)約束條件式（16）并將式（31）與式（27）比較可以看出，買、賣雙方討價(jià)還價(jià)近似以“納什討價(jià)還價(jià)解”成交，只是一般的成交結(jié)果當(dāng)中雙方的適應(yīng)系數(shù)相同的特定情形.所以，“討價(jià)還價(jià)”的雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型式（10）不僅可以說明“納什討價(jià)還價(jià)解”的形成路徑，而且可以拓展這個(gè)結(jié)論.討價(jià)還價(jià)合作博弈的結(jié)果是買、賣雙方地位對(duì)比的反映，一般情形下雙方并不是地位完全平等的.所以，一方將本方策略向適應(yīng)另一方策略調(diào)整的幅度并不相同，這就是現(xiàn)實(shí)的討價(jià)還價(jià)當(dāng)中“店大壓客”或者“客大壓店”的情形的集中體現(xiàn).當(dāng)買、賣雙方都希望成交，處于相對(duì)強(qiáng)勢(shì)地位的那一方向?qū)Ψ酵讌f(xié)的程度會(huì)低一些，具體表現(xiàn)在將本方策略向適應(yīng)對(duì)方策略調(diào)整的幅度比對(duì)方小.所以，最終的成交價(jià)格會(huì)偏離“納什討價(jià)還價(jià)解”所代表的雙方初始出價(jià)的中間價(jià)，而偏向處于相對(duì)強(qiáng)勢(shì)地位的那一方的初始出價(jià).

5一般討價(jià)還價(jià)的雙邊適應(yīng)性

預(yù)期調(diào)整與成交舉例

下面，舉一個(gè)例子具體說明討價(jià)還價(jià)的雙方怎樣逐次調(diào)整出價(jià)及成交.假設(shè)有某件商品，賣方初始出價(jià)是ps0=95元，買方初始出價(jià)是pd0=60元.買、賣雙方在給出自己出價(jià)的同時(shí)，也適當(dāng)考慮對(duì)方的出價(jià)，并對(duì)本方出價(jià)進(jìn)行逐次調(diào)整，形成下一次出價(jià).假設(shè)買方、賣方對(duì)于對(duì)方出價(jià)的適應(yīng)系數(shù)分別是βd=0.3和βs=0.2，意味著賣方處于相對(duì)強(qiáng)勢(shì)地位.并假定買方、賣方可以接受的出價(jià)差額分別是0.5元和0.3元.也就是說只要買方、賣方的某輪次出價(jià)與上一輪出價(jià)的差額分別在0.5元和0.3元以內(nèi)，就忽略不計(jì)本方繼續(xù)調(diào)整出價(jià)的結(jié)果了.那么，將假設(shè)的ps0，pd0和βs，βd數(shù)值都代入式（12）迭代計(jì)算，表示買、賣雙方根據(jù)討價(jià)還價(jià)的適應(yīng)性預(yù)期模型對(duì)于本方出價(jià)逐次調(diào)整.整個(gè)討價(jià)還價(jià)的雙邊適應(yīng)性預(yù)期調(diào)整過程列成表1.可以看到，賣方的逐次出價(jià)是遞減的；而買方的逐次出價(jià)是遞增的.經(jīng)過7輪次討價(jià)還價(jià)，買方、賣方的出價(jià)與上一輪出價(jià)的差額已經(jīng)分別低于0.5元和0.3元，達(dá)到了雙方各自可以接受差額，因而雙方都可以不再繼續(xù)調(diào)整出價(jià)而中止討價(jià)還價(jià).譬如，買方、賣方可以分別根據(jù)各自的第7輪次出價(jià)pd6=80.68和ps6=81.22取整數(shù)81元作為成交價(jià)格，于是雙方經(jīng)過8輪次討價(jià)還價(jià)成交.那么，81元就是此例討價(jià)還價(jià)的收斂?jī)r(jià)格的近似值.

6結(jié)論

建立雙邊適應(yīng)性預(yù)期模型并利用這個(gè)模型的二元常系數(shù)線性差分方程組，揭示“納什討價(jià)還價(jià)解”的形成路徑，可以增強(qiáng)買、賣雙方的合作博弈存在這個(gè)解的理論意義.討價(jià)還價(jià)以“納什討價(jià)還價(jià)解”成交，可以作為一般的成交結(jié)果當(dāng)中的一種特定情形.對(duì)于多個(gè)局中人針對(duì)有利益分配具體對(duì)象的合作博弈問題，如果每個(gè)局中人的效用都是其獲得的利益分配的某個(gè)倍數(shù)，那么這樣的多方合作博弈問題也類似地存在“納什解”，因而同樣可以探索建立多邊適應(yīng)性預(yù)期模型來揭示“納什解”的形成路徑.并且，對(duì)于一般的多邊適應(yīng)性預(yù)期模型，也可以嘗試運(yùn)用常系數(shù)線性差分方程組作為求解的工具.

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