Robin型邊界阻尼波動(dòng)方程的有限差分格式

劉建康，秦煜哲，張曉晶

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原　030006)

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Robin型邊界阻尼波動(dòng)方程的有限差分格式

劉建康，秦煜哲，張曉晶

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原030006)

摘要：對(duì)一類(lèi)具有Robin型阻尼邊界條件的一維波動(dòng)方程構(gòu)造了一個(gè)三層隱式有限差分格式，所構(gòu)造格式在每個(gè)時(shí)間層需要求解一個(gè)三對(duì)角線(xiàn)性方程組。通過(guò)離散能量方法證明所構(gòu)造的差分格式在無(wú)窮范數(shù)意義下關(guān)于時(shí)間和空間方向都是二階收斂的，并且關(guān)于初始條件和右端源項(xiàng)都是無(wú)條件穩(wěn)定的。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果。

關(guān)鍵詞：波動(dòng)方程；Robin邊界；阻尼；收斂性；穩(wěn)定性

0引言

波動(dòng)方程在彈性力學(xué)等學(xué)科中有十分重要的作用，并且作為偏微分方程中雙曲型方程的代表，對(duì)它的數(shù)值算法的研究具有極其重要的意義[1-3]。孫志忠在文獻(xiàn)[3]中對(duì)波動(dòng)方程Dirichlet型初邊值問(wèn)題構(gòu)造了顯式和隱式有限差分格式，并證明了格式的收斂性和穩(wěn)定性。萬(wàn)正蘇在文獻(xiàn)[4]中對(duì)波動(dòng)方程的Robin型初邊值問(wèn)題通過(guò)降階法構(gòu)造了一個(gè)二階收斂的無(wú)條件穩(wěn)定的有限差分格式。文獻(xiàn)[5，6]研究了熱方程的Neumann型初邊值問(wèn)題的幾種緊致差分格式的收斂性與穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[7]對(duì)一類(lèi)波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題建立了高階差分格式。文獻(xiàn)[8]對(duì)帶有時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散方程建立了隱式差分格式。帶有導(dǎo)數(shù)邊界的波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的有限差分格式，其理論證明要比Dirichlet邊界條件的理論證明復(fù)雜得多。伴隨著分布參數(shù)控制理論的發(fā)展，波動(dòng)方程的穩(wěn)定化控制理論得到了廣泛的研究[9-13]，其中一類(lèi)常見(jiàn)的系統(tǒng)就是帶阻尼的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題，關(guān)于其數(shù)值算法的研究文獻(xiàn)不多。最近，作者在文獻(xiàn)[14]中對(duì)Neumann型的邊界阻尼波動(dòng)方程構(gòu)造了一個(gè)二階收斂的，無(wú)條件穩(wěn)定的有限差分格式。

本文考慮如下帶Robin型邊界阻尼的一維波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的有限差分格式：

其中w(x,t)表示弦的垂直位移，φ(x)∈C2(0,1)，ψ(x)∈C1(0,1)，f(x,t)為已知充分光滑的函數(shù)，且φ(0)=0，ψ(0)=0，φ′(1)+ψ(1)+φ(1)=0，即初始條件和邊界條件相容。邊界條件(2)第一式表明繩在x=0端是固定的，第二式左端為Robin型邊界，右端為一阻尼項(xiàng)，因而稱(chēng)為Robin型阻尼邊界條件。特別地，若f(x,t)=0，從控制論的角度講，系統(tǒng)(1)-(3)在連續(xù)意義下是指數(shù)穩(wěn)定的，然而在離散意義下的數(shù)值解未曾有人做過(guò)相關(guān)研究。本文將對(duì)系統(tǒng)(1)-(3)建立一個(gè)三層的隱式有限差分格式，并證明格式的收斂性及穩(wěn)定性。

1記號(hào)和引理

其中‖uk‖為u在tk時(shí)刻的L2范數(shù)，|uk|1為u在tk時(shí)刻的半范數(shù)，或?yàn)椴钌痰腖2范數(shù)。

引理1[3]設(shè)h>0和c為兩個(gè)常數(shù)，

(a)如果g(x)∈C2[c-h,c+h]，則有

(b)如果g(x)∈C2[c,c+h]，則有

(c)如果g(x)∈C2[c-h,c]，則有

(d) 如果g(x)∈C3[c-h,c+h]，則有

(e) 如果g(x)∈C4[c-h,c]，則有

(f) 如果g(x)∈C3[c,c+h]，則有

‖uk‖∞≤|uk|1。

引理3[3]Gronwall不等式

設(shè){Fk,Gk|k≥0}為非負(fù)序列，滿(mǎn)足Fk-1≤(1+cτ)Fk+τGk，k=0,1,2,…，其中c為非負(fù)常數(shù)，則有

2差分格式的建立

1≤i≤M-1，1≤k≤N-1

(4)

由引理 1(a)式知

(5)

由引理 1(e)式知

tk-1≤ηik≤tk+1

(6)

xi-1≤ξik≤xi+1

(7)

將(5)、(6)、(7)代入(4)式，得

(8)

其中

(9)

在節(jié)點(diǎn)(xM,tk)處考慮微分方程(2)的第二式，有

1≤k≤N-1

(10)

由引理1(d)和(a)，有

tk-1≤ηMk≤tk+1

(11)

tk-1≤ζMk≤tk+1

(12)

將(11)、(12)代入(10)得到

(13)

其中

(14)

將w(xi,t1)在點(diǎn)(xi,0)處應(yīng)用Taylor公式展開(kāi)，有

(15)

由φ(x)∈C2(0,1)可得

(16)

將(16)代入(15)得到

(17)

其中p(x)=φ″(x)+f(x,0)，ri=O(τ2)。觀(guān)察(9)、(14)、(17)可知存在正常數(shù)c，使得

(18)

(19)

|ri|≤cτ21≤i≤M

(20)

由初值條件(3)，有

(21)

由邊界條件(2)的第一式，有

(22)

其中p(x)=φ″(x)+f(x,0)。

3差分格式解的先驗(yàn)估計(jì)式

下面的定理給出了差分格式(23)-(27)的先驗(yàn)估計(jì)式。

的解，則有

(33)

證明記

(34)

(35)

現(xiàn)在估計(jì) (35)中的每一項(xiàng)，其中左端第一項(xiàng)

(36)

(35)左端第二項(xiàng)為

首先有

(37)

同理可知

(38)

注意到

(39)

將(36)-(39)代入(35)，得到

考慮到(34)式，有

或

由 Gronwall 不等式可得

(40)

將E0的估計(jì)式代入(40)式得不等式 (33)，即得所證。

4差分格式的可解性、收斂性和穩(wěn)定性

下面3個(gè)定理分別給出了差分格式(23)-(27)的唯一可解性、收斂性和穩(wěn)定性。

定理2定解問(wèn)題 (1)-(3)的差分格式是唯一可解的。

證明由(26)知w0已給定。改寫(xiě)(25)為

因?yàn)楹瘮?shù)φ(x)和ψ(x)是已經(jīng)給定的初始條件，右端源項(xiàng)函數(shù)f(x,t)也給定，因而有唯一解w1。

現(xiàn)假設(shè)已得到 wk-1，wk(k≥1)，改寫(xiě)(23)式為

改寫(xiě) (24)式為

1≤i≤M-1，1≤k≤N-1

因而 (23)、(24)可寫(xiě)成矩陣形式

由于其系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，因而有唯一解 wk+1。由數(shù)學(xué)歸納法，差分格式 (23)-(27)是唯一可解的，定理證畢。

將(8)、(13)、(17)、(21)、(22)分別與(23)-(27)相減得到誤差方程組

由定理1得

由(18)、(19)、(20)，并注意到(44)，得到

定理證畢。

由引理2易知

‖ek‖∞=O(τ2+h2) 1≤k≤N

的解，其中p(x)=φ″(x)+f(x,0)則對(duì)任意的網(wǎng)格比λ，有

證明直接利用定理1可證。

5數(shù)值實(shí)驗(yàn)

算例1

為了通過(guò)構(gòu)造精確解驗(yàn)證差分格式(23)-(27)的收斂性，考慮如下初邊值問(wèn)題

log‖e‖∞≈logc+plogh

采用表2中的數(shù)據(jù)，得到誤差e的線(xiàn)性擬合函數(shù)

log‖e‖∞≈1.982 3logh-0.746 7

故p=1.982 3，即差分格式在時(shí)間和空間方向都是二階收斂的。

算例2

當(dāng)右端源項(xiàng)f(x,t)=0時(shí)，從控制論的角度講，系統(tǒng)(1)-(3)對(duì)任意的初始條件都是指數(shù)穩(wěn)定的。為了說(shuō)明所構(gòu)造的差分格式的有效性，考慮如下齊次方程的初邊值問(wèn)題

表1　算例1在t=1處的數(shù)值解與精確解

表2　算例1在t=1處數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差

通過(guò)差分格式(23)-(27)對(duì)該初邊值問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬，圖1給出了系統(tǒng)的位移隨t從0到10的變化狀態(tài)。從圖1可以看出，系統(tǒng)的位移隨著時(shí)間的增長(zhǎng)逐漸趨于0，系統(tǒng)的能量也逐漸衰減至0。這與連續(xù)意義下的解的性質(zhì)相吻合。

圖1　算例2的系統(tǒng)位移隨時(shí)間變化的狀態(tài)圖Fig.1　The displacement change over time in the system of example 2

6結(jié)論

本文研究了帶有Robin型阻尼邊界條件的一維波動(dòng)方程的一個(gè)有限差分格式，通過(guò)離散能量方法構(gòu)造了差分解的一個(gè)先驗(yàn)估計(jì)式，根據(jù)先驗(yàn)估計(jì)式證明了差分?jǐn)?shù)值解關(guān)于時(shí)間和空間都是二階收斂，并且差分格式關(guān)于初始條件和右端源項(xiàng)均是無(wú)條件穩(wěn)定的。對(duì)于非齊次源項(xiàng)f(x,t)≠0，算例1通過(guò)構(gòu)造精確解驗(yàn)證了所構(gòu)造的有限差分格式關(guān)于時(shí)間和空間均是二階收斂的。根據(jù)理論分析可知，所構(gòu)造的差分格式對(duì)于齊次右端源項(xiàng)f(x,t)=0的情形仍然成立，算例2模擬了當(dāng)f(x,t)=0時(shí)系統(tǒng)的數(shù)值解，該數(shù)值解二階收斂于系統(tǒng)的真實(shí)解，而根據(jù)分布參數(shù)控制理論可知，當(dāng)f(x,t)=0時(shí)，系統(tǒng)的真實(shí)解是指數(shù)穩(wěn)定的，這就可以斷定我們所構(gòu)造的差分格式的數(shù)值解也是指數(shù)穩(wěn)定的，其理論證明有待進(jìn)一步的研究工作。

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文章編號(hào)：1004—5570(2016)03-0048-08

收稿日期：2016-04-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金 (No.11471197,61374059,91430109)

作者簡(jiǎn)介：劉建康(1984-)，男，博士，講師，研究方向：偏微分方程數(shù)值解法，E-mail:liujk@sxu.edu.cn.

中圖分類(lèi)號(hào)：O241.82

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The finite difference scheme for wave equation with Robin damped boundary

LIU Jiankang, QIN Yuzhe, ZHANG Xiaojing

(School of Mathematical Science, Shanxi University, Taiyuan， Shanxi 030006, China)

Abstract:A class of three-level full discretized implicit finite difference scheme is constructed for one-dimensional wave equation with Robin damped boundary. The scheme is a tridiagonal system of linear algebraic equations. It is shown that the difference scheme is convergent in maximum norm by discretized energy method and the rate of convergence is of order 2. In addition, the scheme is unconditional stable with respect to initial conditions and right-hand side source term. The numerical experiments verify the theoretical results.

Key words:wave equation; Robin boundary; damped; convergence; stability