數(shù)學(xué)課程中的創(chuàng)新型人才培養(yǎng)方法研究

臧鴻雁

(北京科技大學(xué)　數(shù)理學(xué)院，北京　100083)

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數(shù)學(xué)課程中的創(chuàng)新型人才培養(yǎng)方法研究

臧鴻雁

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083)

摘要文章針對(duì)數(shù)學(xué)類課程，從教學(xué)理念、教學(xué)措施、教學(xué)效果三個(gè)方面探討了提高學(xué)生創(chuàng)新能力的教學(xué)方法，并以信息理論基礎(chǔ)課程中事件信息量和信息熵為例，闡述在課堂教學(xué)中如何用數(shù)學(xué)建模的思想構(gòu)建知識(shí)，用科學(xué)研究的方式引導(dǎo)知識(shí)在應(yīng)用領(lǐng)域的提升。并以開放性作業(yè)為輔助和延伸，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。從教學(xué)效果看，本方法適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，適合小班教學(xué)。

關(guān)鍵詞創(chuàng)新型人才培養(yǎng)；事件信息量；知識(shí)構(gòu)建；開放性作業(yè)

一、研究背景

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》強(qiáng)調(diào)：“高等教育承擔(dān)著培養(yǎng)高級(jí)專門人才、發(fā)展科學(xué)技術(shù)文化、促進(jìn)現(xiàn)代化建設(shè)的重大任務(wù)。提高質(zhì)量是高等教育發(fā)展的核心任務(wù)，是建設(shè)高等教育強(qiáng)國的基本要求。牢固確立人才培養(yǎng)在高校工作中的中心地位，著力培養(yǎng)信念執(zhí)著、品德優(yōu)良、知識(shí)豐富、本領(lǐng)過硬的高素質(zhì)專門人才和拔尖創(chuàng)新人才?！盵1]

2005年錢學(xué)森提出了一個(gè)令人深省的疑問：“為什么我們的學(xué)?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才?”[2]隨著“錢學(xué)森之問”在社會(huì)上引起的廣泛關(guān)注與討論，很多專家、學(xué)者分別在不同場合闡述了如何培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的觀點(diǎn)。各高校，特別是一些研究型高校，在創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式、理念等方面已經(jīng)做出了努力，取得了顯著的成效[3-4]。

普林斯頓大學(xué)給出的創(chuàng)新型人才所具有的能力如下：具有以批評(píng)的方式系統(tǒng)地推理的能力；具有形成概念和解決問題的能力；具有獨(dú)立思考的能力；具有敢于創(chuàng)新及獨(dú)立工作的能力；具有與他人合作的能力；熟悉不同的思維方式；具有某一領(lǐng)域知識(shí)的深度；具有觀察不同學(xué)科、文化、理念相關(guān)之處的能力；具有一生求學(xué)不止的能力；具有獨(dú)立思考的能力。大力推進(jìn)教學(xué)方法改革，建立以發(fā)現(xiàn)和探究為核心的教學(xué)模式是創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的主要內(nèi)容。

馬克思說：“一門學(xué)科只有真正使用數(shù)學(xué)表示，才能稱之為科學(xué)?！睌?shù)學(xué)以其高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、應(yīng)用的廣泛性和描述的精準(zhǔn)性等特征成為越來越多學(xué)科領(lǐng)域必不可少的解決問題的工具。由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)越來越多的數(shù)學(xué)算法，數(shù)學(xué)作為解決實(shí)際問題的工具學(xué)科，正在以空前的廣度和深度向更多領(lǐng)域滲透。

利用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的基本模式(見圖1)在解決實(shí)際問題的過程中又會(huì)提出新的數(shù)學(xué)問題。

圖1　利用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的基本模式

大學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高勢必會(huì)為他們在各自專業(yè)領(lǐng)域的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。所以，數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革對(duì)高校人才培養(yǎng)質(zhì)量產(chǎn)生重要影響。近年來，各大高校的數(shù)學(xué)工作者也在積極探索創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式[5-6]。

本文以“信息理論基礎(chǔ)”課程中事件的自信息量和信息熵為例，提出了數(shù)學(xué)類課程挖掘知識(shí)產(chǎn)生過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，變知識(shí)傳承為思想傳承，在應(yīng)用領(lǐng)域提升知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)理念。筆者在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)了一些具體措施和方法，并給出了一些具體的教學(xué)實(shí)施方案和教學(xué)效果的評(píng)價(jià)。

二、教學(xué)理念

數(shù)學(xué)家克萊因說過，如果割斷歷史，可以說，哪一門學(xué)科都不會(huì)像數(shù)學(xué)這樣受到傷害。挖掘知識(shí)產(chǎn)生的過程，從而構(gòu)建知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)類課程的意義尤為重要。 數(shù)學(xué)類課程歷史厚重，思想深刻，教材中往往匯集了這幾百年來該學(xué)科發(fā)展過程中得到的重要理論和知識(shí)。由于課堂學(xué)時(shí)受限，又有應(yīng)試需求，所以絕大多數(shù)教材及課堂教學(xué)中對(duì)這些知識(shí)的產(chǎn)生過程沒有做深入的挖掘，所以大多數(shù)學(xué)生對(duì)該課程中的一些重要知識(shí)的認(rèn)識(shí)處于“只知其然不知其所以然”的狀態(tài)。這樣會(huì)導(dǎo)致在這門課程結(jié)束考試之后，知識(shí)的遺忘速度很快，在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域又不知道如何學(xué)以致用，更重要的是因?yàn)橹R(shí)產(chǎn)生過程的缺失，使得這樣培養(yǎng)的學(xué)生在該領(lǐng)域很難具有創(chuàng)造有價(jià)值的新知識(shí)的能力。所以，對(duì)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生過程進(jìn)行研究，并且將其精華展現(xiàn)在課堂上，帶領(lǐng)學(xué)生重走前人創(chuàng)新之路，同時(shí)將知識(shí)點(diǎn)向應(yīng)用領(lǐng)域做適當(dāng)?shù)难由欤ぐl(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的興趣，并將深入研究延伸到課外。這樣，有助于將數(shù)學(xué)課程的教學(xué)從知識(shí)傳承向思想傳承轉(zhuǎn)變，有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛應(yīng)用(見圖2)。

圖2　數(shù)學(xué)模式圖

三、教學(xué)措施

(一)用直觀生動(dòng)、貼近生活的例子引入

對(duì)于比較抽象的概念要有直觀的感受，這樣有助于抽象概念的形成和理解。事件信息量的概念是在1948年由信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)給出的，定義如下：

事件xi發(fā)生的概率為p(xi)，則事件xi的信息量定義為：

I(xi)=-logp(xi).

從心理學(xué)認(rèn)知角度來講，信息是有大小之分的，一個(gè)很少發(fā)生的事情突然發(fā)生時(shí)，給人的沖擊是很大的，反之，經(jīng)常發(fā)生的事情則給人的印象是很淡的。這點(diǎn)很容易理解。一個(gè)小概率事件的發(fā)生總是能引起軒然大波，人們總是津津樂道于小概率事件。比如地震、彩票中獎(jiǎng)、在體育比賽中弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)等等。用貼近生活的例子讓學(xué)生感受到信息量的大小應(yīng)該是概率的減函數(shù)，從而進(jìn)一步為定義的構(gòu)建奠定基礎(chǔ)。

(二)用數(shù)學(xué)建模的思想構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)

事件信息量的定義是信息論這門學(xué)科的基礎(chǔ)，至于這個(gè)定義為什么是這樣一種形式，教材中并未提及。而這個(gè)定義的給出是當(dāng)時(shí)的重大創(chuàng)新工作。因此，引導(dǎo)學(xué)生挖掘該定義的產(chǎn)生過程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力有著重要意義。

首先，信息量的大小應(yīng)該是概率的減函數(shù)，滿足單調(diào)性。還有一點(diǎn)也很直觀，如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立，那么它們的積事件所包含的信息量應(yīng)該是各自所包含的信息量之和，這個(gè)性質(zhì)稱作可加性。建立數(shù)學(xué)模型是希望能找到一個(gè)關(guān)于概率的函數(shù)f(p(xi))，滿足單調(diào)性、可加性、顯然還應(yīng)該滿足非負(fù)性，為了數(shù)學(xué)上研究方便函數(shù)要滿足連續(xù)性?；趩握{(diào)性、可加性、非負(fù)性和連續(xù)性就可以建立數(shù)學(xué)模型[7-8]。

可加性描述為f(pij)=f(pi)+f(pj)令u=pij，則有f(u)=f(pi)+f(pj)將pj看成變量，則有：

即f′ (u)pi=f′(pj)

令pj=1則u=pi，帶入上式有

f′(pi)pi=f′(1)=a

由信息量函數(shù)是其概率的遞減函數(shù)

故f(pi)=alnpi+C.

又當(dāng)pi=1時(shí)f(1)=0.故C=0。從而有

f(pi)=alnpi，a<0

f(pi)=-logbpi。其中b決定了信息量的單位。

這樣，香農(nóng)給的信息量的定義也就順理成章地被推出來了。這個(gè)知識(shí)按照數(shù)學(xué)建模的思想被構(gòu)建出來。

以上僅以事件信息量的定義為例闡述如何引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)定義產(chǎn)生過程。另外，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)在應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行提升也很重要。

(三)用科學(xué)研究的方式引導(dǎo)知識(shí)在應(yīng)用領(lǐng)域的提升

科學(xué)研究能夠在很大程度上促進(jìn)教師職業(yè)水平的提升，一個(gè)教師在科學(xué)研究中反復(fù)使用過的知識(shí)再回到課堂上，這知識(shí)會(huì)比教材上鮮活很多。

信息理論基礎(chǔ)課程中，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，其概率分布如下

X的信息熵的定義為xi的自信息量的數(shù)學(xué)期望，即

信息熵是概率分布的函數(shù)，研究信息熵的大小問題是純粹的數(shù)學(xué)問題，可以證明等概率分布的時(shí)候熵值最大，而且越接近等概率分布熵值就越大。所以信息熵這個(gè)概念可以刻畫一個(gè)分布與等概率分布的接近程度。該度量工具可廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域。比如在密碼學(xué)領(lǐng)域在圖像加密過程中對(duì)加密效果的評(píng)價(jià)，可以用信息熵來度量密文圖像像素值的均勻分布程度，從而度量加密效果。在流密碼的研究中，可以用信息熵度量密鑰流的均勻性，從而能夠從某種角度進(jìn)一步判別隨機(jī)性的好壞。

教師只有真正運(yùn)用過課本知識(shí)解決過實(shí)際問題才知道在解決實(shí)際問題時(shí)怎么想到用這個(gè)知識(shí)解決，在運(yùn)用知識(shí)的過程中又會(huì)遇到什么新問題，如何解決，是否需要新知識(shí)等等一系列問題，而這些能力是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究能力的關(guān)鍵。

比如在線性代數(shù)課程中，我們學(xué)習(xí)了線性方程組的解法，借助于數(shù)學(xué)軟件解線性方程組的問題似乎得到了完美的解決，在實(shí)際問題中遇到解線性方程組的問題是不是就可以迎刃而解了呢？如果線性方程組的階數(shù)比較低沒有問題，一旦階數(shù)大到一定程度，新的問題就出現(xiàn)了：系數(shù)矩陣太大，初等變換的方法每一步都要存儲(chǔ)一個(gè)階數(shù)巨大的矩陣，對(duì)計(jì)算機(jī)來講是難以做到的。所以遇到超大階數(shù)的線性方程組需要新的近似算法。

在應(yīng)用領(lǐng)域提升知識(shí)點(diǎn)，這對(duì)教師實(shí)際科學(xué)研究經(jīng)歷要求較高。一個(gè)教師很難做到所講的所有知識(shí)點(diǎn)都在實(shí)際研究工作中真正使用過。直接講解知識(shí)相對(duì)容易，只有站得高才能真正靈活駕馭知識(shí)。

這兩部分課堂上呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生過程和應(yīng)用領(lǐng)域的提升要盡可能簡短，課堂上的主要任務(wù)是提出一些具有啟發(fā)性的問題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的興趣，布置開放性作業(yè)，將進(jìn)一步的研究延伸到課外。

(四)用課外的開放性作業(yè)給予補(bǔ)充和延伸

開放性作業(yè)的內(nèi)容基本上是無法落實(shí)在試卷上的研究性題目，成為提高學(xué)生綜合素質(zhì)、提高解決實(shí)際問題能力的有益補(bǔ)充。選擇題目的時(shí)候要注意難易適中。比如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的開放性作業(yè)可以選擇如下題目：貝特朗悖論的內(nèi)容；1933年概率的公理化定義給出之前有哪些數(shù)學(xué)家做過公理化的嘗試，為什么失敗了；正態(tài)分布的產(chǎn)生過程的研究等等。

開放性作業(yè)成績所占總成績的比例為10%～20%比較合適。太低不能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生投入的積極性，太高又很難做到十分公正地給出成績。與10%的比例相比，20%的比例開放性作業(yè)質(zhì)量有明顯提升。開放性作業(yè)通常工作量比較大，比較適合幾位同學(xué)組成小組，合作完成。同時(shí)，小組成員合作完成開放性作業(yè)的形式也有助于提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力。小組人數(shù)太多，容易出現(xiàn)任務(wù)不清、互相推卸等問題。筆者的經(jīng)驗(yàn)是：小組人數(shù)不要超過3人。通常數(shù)學(xué)類的課程課堂人數(shù)比較多，開放性作業(yè)的反饋和交流是比較困難的一個(gè)環(huán)節(jié)，教師做不到與每組都有充分交流，很難全面了解組內(nèi)的分工和組內(nèi)成員的實(shí)際貢獻(xiàn)。因此要求學(xué)生開放性作業(yè)的報(bào)告中寫清楚組內(nèi)各成員的分工情況，并要求組內(nèi)的同學(xué)互相打分，作為教師給分的主要參考。

四、教學(xué)效果評(píng)價(jià)

(一)關(guān)于開放性作業(yè)的抽樣調(diào)查結(jié)果

對(duì)2013—2014學(xué)年第一學(xué)期會(huì)計(jì)專業(yè)112位學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，共回收有效問卷96份，覺得開放性作業(yè)收獲很大的占34.48%；收獲較大占48.96%；收獲一般的占15.62%；沒什么收獲的占1.04%。

(二)本講臺(tái)學(xué)生滿意度分析

針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程，筆者連續(xù)3年按照前面所述的教學(xué)理念和措施進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，面對(duì)不同專業(yè)、不同的講臺(tái)人數(shù)，選取不同的開放性作業(yè)比例(學(xué)生對(duì)教師打分情況見表1)。

表1　學(xué)生滿意度及學(xué)生卷面成績匯總表

(三)平行班成績對(duì)比分析

由表1的結(jié)果可見，當(dāng)講臺(tái)人數(shù)較少、相應(yīng)的開放性作業(yè)小組人數(shù)也較少時(shí)，這種教學(xué)方式能夠得到的學(xué)生的認(rèn)可程度更高。對(duì)2013—2014第二學(xué)期管理學(xué)院的工管和工商專業(yè)的同學(xué)，本講臺(tái)卷面成績遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于全校平均分。而對(duì)2014—2015第一學(xué)期高等工程師學(xué)院機(jī)械和自動(dòng)化專業(yè)的同學(xué)，本講臺(tái)卷面成績遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于全校平均分。首先不同專業(yè)的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣差距還是很大的。所以，是否進(jìn)行開放性作業(yè)的研究、開放性作業(yè)選題的難度要因材施教。從2014—2015第一學(xué)期機(jī)械和自動(dòng)化專業(yè)的同學(xué)反饋結(jié)果看，本文提出的教學(xué)理念和措施更適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的小班教學(xué)。

五、 結(jié)論

本文針對(duì)數(shù)學(xué)類課程提出在創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的需求下，在課堂教學(xué)中挖掘知識(shí)產(chǎn)生過程構(gòu)建知識(shí)以及知識(shí)點(diǎn)在應(yīng)用領(lǐng)域提升的重要性。從教學(xué)理念、教學(xué)措施、教學(xué)效果評(píng)價(jià)三個(gè)方面進(jìn)行了闡述。經(jīng)過三年教學(xué)實(shí)踐，達(dá)到了比較滿意的教學(xué)效果，尤其是小班授課，學(xué)生的滿意度非常高，卷面成績也遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于全校平均分。本文提出的理念和方法可以在數(shù)學(xué)類課程，尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的小班課堂中推廣使用。

參考文獻(xiàn)：

[1]中共中央，國務(wù)院.國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)[EB/OL].(2010-07-29)[2015-04-20].

http：//news.xinhuanet.com/edu/2010- 07/29/c_12389320.

htm.

[2]錢學(xué)森.中國大學(xué)為何創(chuàng)新力不足[J].新華文摘，2010(2) ：113-114.

[3]徐興沛，涂上飆.直面“錢學(xué)森之問”管見[J].高等理科教育，2010，94(6)：4-9.

[4]朱志偉.構(gòu)建研究型大學(xué)本科創(chuàng)新人才培養(yǎng)體系的探索與實(shí)踐[J].高等理科教育，2011，99(5)：99-102.

[5]韓旭里.問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教育觀及其教學(xué)實(shí)踐[J].高等理科教育，2014，114(4)：84-88.

[6]聶建英，王美清.數(shù)學(xué)創(chuàng)新型人才實(shí)驗(yàn)班培養(yǎng)模式探索與實(shí)踐[J].高等理科教育，2014，116(2)：109-114.

[7]SHANNON C E，WEAVER W.A mathematical theory of communication[J].

Bell System Technical Journal，1949，27(3)：3-55.

[8]袁志發(fā)，宋世德.多元統(tǒng)計(jì)分析[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2009：295.

(責(zé)任編輯李世萍)

收稿日期2015-05-14資助項(xiàng)目北京市人才培養(yǎng)共建項(xiàng)目、教育教學(xué)項(xiàng)目、教育教學(xué)改革項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：GJ201415)；北京科技大學(xué)2013青年教學(xué)骨干人才項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：06200016).

作者簡介臧鴻雁(1973-)女，黑龍江黑河人，副教授，博士，主要從事混沌系統(tǒng)及混沌密碼研究.

中圖分類號(hào)G642.421

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

A Study on the Ways of Innovative Talents Cultivation in Mathematic Curriculum

ZANGHong-yan

(School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing，100083，China)

Abstract：This paper aims at studying the mathematic curriculum，discussing the method of teaching to improve students' innovative ability from three aspects of teaching idea，teaching measures and teaching effects.Taking the event amount of information and the entropy of information in information theory basic course as an example，this paper explains how to construct the knowledge by using mathematical modeling thoughts and to gain improvements of knowledge applications in a scientific way in classroom teaching.In addition，opening tasks can be taken to cultivate students' innovative ability as a way of aid and extension.From the teaching result，this method is suitable for students who have better mathematics foundation，especially for the small class teaching.

Keywords：innovative talents training；amount of event information；knowledge construction；opening tasks