一道高考數(shù)學(xué)新定義題引發(fā)的探究

王佩　趙思林

[摘要]2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科15題給出了“伴隨點”、“伴隨曲線”的定義，這道題目立意深遠、背景深刻、富含探究價值的問題.利用“伴隨點”、“伴隨曲線”的定義，對直線、圓的“伴隨曲線”作了一番探究，得到了2個性質(zhì)，如，不經(jīng)過原點的直線的“伴隨曲線”是圓，圓的“伴隨曲線”是直線或圓等.對“伴隨點”、“伴隨曲線”進行重新定義，得到了幾個類似的或新的問題.

[關(guān)鍵詞]高考數(shù)學(xué)；新定義；探究

問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題是探究的焦點.有效的數(shù)學(xué)探究依賴于好的數(shù)學(xué)問題.好的數(shù)學(xué)問題一般具有思考性、啟發(fā)性、探究性、開放性、推廣性等特點.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科15題就是一道立意深遠、背景深刻、結(jié)論開放、易于推廣、富含探究價值的好問題.該題新定義了考生未曾學(xué)過的“伴隨點”、“伴隨曲線”，要求考生從這兩個新定義出發(fā)，判斷4個命題的真假.下面運用“伴隨點”、“伴隨曲線”的定義，主要對直線、圓的“伴隨曲線”作了一番探究，得到了2個有趣的性質(zhì)，如，不經(jīng)過原點的直線的“伴隨曲線”是一個圓，圓的“伴隨曲線”是直線或圓等.這些新性質(zhì)對今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的仿射變換、映射等知識是很好的幾何模型.

2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科15題是：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（yx2+y2，-xx2+y2）；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.

其中的真命題是（寫出所有真命題的序列）.

該題中的“伴隨點”含有高等幾何中“仿射變換”的背景.

性質(zhì)1不經(jīng)過原點的直線的“伴隨曲線”是一個圓.

證明設(shè)點P（x，y）在直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0，C≠0）上，點P的“伴隨點”為P′u，v，則直線l的“伴隨曲線”是C（u2+v2）+Bu-Av=0.

事實上，設(shè)點P（x，y），P′u，v，則

u=yx2+y2，

v=-xx2+y2.（x，y不全為0）

兩式平方和，得u2+v2=1x2+y2.①

兩式相除，得uv=-yx（當(dāng)x≠0，則v≠0）.

由①，可得

u2+v2=1x2+y2=1x2（1+y2x2）=1x2（1+u2v2）=v2x2（u2+v2），

即x2=v2（u2+v2）2.

注意到，x與v異號，可解得x=-vu2+v2.

當(dāng)x=0時，則v=0，x=-vu2+v2仍成立.

所以總有x=-vu2+v2.同理y=uu2+v2.

即x=-vu2+v2，

y=uu2+v2.

將上式代入直線方程，可得A·-vu2+v2+B·uu2+v2+C=0，

化簡得C（u2+v2）+Bu-Av=0.

因為C≠0，

所以u2+v2+BCu-ACv=0，

即（u+B2C）2+（v-A2C）2=A2+B24C2為圓.

故不經(jīng)過原點的直線的“伴隨曲線”是一個圓.

性質(zhì)2圓的“伴隨曲線”是直線或圓.

證明設(shè)點P是圓（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）上任意一點，點P的“伴隨點”為P′u，v，則可設(shè)Pa+rcosθ，b+rsinθ，并且有

u=b+rsinθa2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ，

v=-a-rcosθa2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ.

兩式平方和，得

u2+v2=1a2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ.

2bu-2av=2b2+2brsinθ+2a2+2arcosθa2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ

=1+a2+b2-r2a2+b2+r2+2arcosθ+2brsinθ

=1+a2+b2-r2u2+v2.

所以a2+b2-r2u2+v2-2bu+2av+1=0.

當(dāng)a2+b2-r2=0時，2bu-2av-1=0為直線.

當(dāng)a2+b2-r2≠0時，

u2+v2-2bua2+b2-r2+2ava2+b2-r2=-1a2+b2-r2，

（u-ba2+b2-r2）2+（v+aa2+b2-r2）2

=b2+a2（a2+b2-r2）2-1a2+b2-r2，

即（u-ba2+b2-r2）2+（v+aa2+b2-r2）2=r2（a2+b2-r2）2為圓.

故圓的“伴隨曲線”是直線或圓.

由性質(zhì)2可得到如下結(jié)論：圓的“伴隨曲線”有如下兩種情況：

當(dāng)a2+b2=r2時，圓（x-a）2+（y-b）2=r2的“伴隨曲線”是直線

2bx-2ay-1=0；

當(dāng)a2+b2≠r2時，圓（x-a）2+（y-b）2=r2的“伴隨曲線”是圓

（x-ba2+b2-r2）2+（y+aa2+b2-r2）2=r2（a2+b2-r2）2.

由這個結(jié)論，可得下面的推論.

推論（1）圓x2+y2=1的“伴隨曲線”是圓x2+y2=1；

（2）圓x2+y2=r2的“伴隨曲線”是圓x2+y2=1r2；

（3）圓（x-a）2+（y-b）2=a2+b2的“伴隨曲線”是直線2bx-2ay-1=0.

這道試題的探究價值還體現(xiàn)在對題目（問題）本身的探究.如果對“伴隨點”、“伴隨曲線”進行重新定義，就可以得到一些類似的或新的問題.這樣做可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題、推廣問題的能力.

問題1在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（yx2+y2，xx2+y2）；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，問性質(zhì)1、性質(zhì)2會怎么樣？

問題2在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（-yx2+y2，-xx2+y2）；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，問性質(zhì)1、性質(zhì)2會怎么樣？

問題3在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（yx2+y2，xx2+y2）；當(dāng)P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”，問性質(zhì)1、性質(zhì)2會怎么樣？