零點(diǎn)分布在直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)定則

洪蘇敏,　劉曉俊

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上?！?00093)

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零點(diǎn)分布在直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)定則

洪蘇敏,劉曉俊

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

摘要：對(duì)零點(diǎn)分布在給定直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)性進(jìn)行了討論,設(shè)F是定義在單位圓盤(pán)D上的亞純函數(shù)族,若存在M≥0,使得對(duì)于任意f∈F滿足:f(z)=0?;f(z)的零點(diǎn)分布在一條給定直線上;f(z)的極點(diǎn)重?cái)?shù)至少為≠zm,則F在區(qū)域D上正規(guī).

關(guān)鍵詞：亞純函數(shù); 例外函數(shù); 零點(diǎn); 正規(guī)族

1問(wèn)題的提出

Bloch[1]曾經(jīng)提出:相應(yīng)于每一個(gè)Picard型定理,必定存在一個(gè)正規(guī)定則.

Picard型定理:設(shè)P是一個(gè)亞純函數(shù)的性質(zhì),若復(fù)平面上的亞純函數(shù)f在復(fù)平面上滿足性質(zhì)P,即〈f,〉∈P,則必有f≡常數(shù).根據(jù)Bloch原理,那么對(duì)于區(qū)域D上的亞純函數(shù)族F,它的每一個(gè)元素f在區(qū)域D上滿足性質(zhì)P,即〈f,〉∈P,則必在區(qū)域D上正規(guī).

1959年,Hayman[2]證明了如下的Picard型定理1,取性質(zhì)P1={f(z)≠0,f(k)(z)≠1,k∈+}.

定理1設(shè)f為復(fù)平面上的亞純函數(shù),若f∈P1,則f≡常數(shù).

1979年,顧永興[3]證明了對(duì)應(yīng)的正規(guī)定則,得到了定理2.

定理2設(shè)F為區(qū)域D的亞純函數(shù)族,k∈+,若對(duì)于任意的f∈F,f∈P1,則F在D內(nèi)正規(guī).

由此可見(jiàn),上述性質(zhì)P1滿足Bloch原理.

此后,楊樂(lè)[4]、龐學(xué)誠(chéng)等[5-6]、方明亮等[7]、常建明[8]均對(duì)上述P1下所得的正規(guī)定則作了不同程度的推廣.

2013年,童曉麗等[9]首先考慮將“f(z)≠0”減弱為“f(z)的零點(diǎn)分布在一條給定的直線上”,得到了定理3.

定理3設(shè)F是定義在單位圓盤(pán)D上的亞純函數(shù)族,若存在M≥0,使得對(duì)于任意f∈F,滿足以下條件,則F在D上正規(guī):

b.f(z)的零點(diǎn)分布在一直線上;

c.f(z)的極點(diǎn)重級(jí)m≥3;

d.f′(z)≠1.

2014年,張培[10]將定理3中的條件“f′(z)≠1”改為“f′(z)≠z”,得到定理4.

定理4設(shè)F是定義在單位圓盤(pán)D上的亞純函數(shù)族,若存在M≥0,使得對(duì)于任意f∈F,滿足以下條件,則F在D上正規(guī):

b.f(z)的零點(diǎn)分布在一直線上;

c.f(z)的極點(diǎn)重級(jí)m≥3;

d.f′(z)≠z.

本文在上述定理的基礎(chǔ)上,將例外函數(shù)推廣到一般形式zm,得到定理5.

定理5設(shè)F是定義在單位圓盤(pán)D上的亞純函數(shù)族,若存在M≥0,使得對(duì)于任意f∈F,滿足以下條件,則F在D上正規(guī):

a.f(z)的零點(diǎn)分布在一直線上;

c.f(z)的極點(diǎn)重級(jí)l≥3;

d.f′(z)≠zm,這里m∈+.

下面通過(guò)一些例子來(lái)說(shuō)明定理5中條件a和c的必要性.

例3取

簡(jiǎn)單計(jì)算得

例4取

且簡(jiǎn)單計(jì)算可得

當(dāng)n→時(shí),故顯然有fn=0?,且這里的M>0可取為任意小.但是,在z=0處不正規(guī).實(shí)際上,這個(gè)例子是對(duì)例2中函數(shù)fn的兩個(gè)不同的重級(jí)零點(diǎn)作擾動(dòng)所得.

例5取

上面的反例中當(dāng)零點(diǎn)不位于直線時(shí),都位于某個(gè)圓心在原點(diǎn)的圓周上,接下來(lái)研究是否存在其他情況.

例6取

簡(jiǎn)單計(jì)算得

2相關(guān)引理

a. 點(diǎn)列zn→z0;

b. 函數(shù)列fn∈F;

c. 正數(shù)列ρn→0+.

引理2[1]設(shè)f在上非常值亞純,b≠0是復(fù)常數(shù),k∈+,則f或f(k)-b有零點(diǎn);若f為超越亞純函數(shù),則f或f(k)-b有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

引理3[12]設(shè)f為上有窮級(jí)亞純函數(shù),則對(duì)于f的每一個(gè)非直接漸近值a,存在zn,使得f(zn)→a,且f′(zn)=0.

引理4[13]設(shè)f是上的亞純函數(shù),其有限臨界值集和漸近值集有界,則存在正數(shù)r0,使得當(dāng)>r0和>r0時(shí),有

a.n=k,且n!an=1;

引理6設(shè)f是上的非常值有窮級(jí)亞純函數(shù),M>0是常數(shù),f(z)=0?,且f′(z)≠zm,則或者,其中是有窮復(fù)數(shù),l∈+,或者,其中α(≠0),β是有窮復(fù)數(shù).

故由Denjoy-Carelman-Ahlfors的結(jié)果,g(z)的直接漸近值≤2ρg個(gè),于是g(z)的有窮臨界值和漸近值構(gòu)成的集合有界.

不妨設(shè)R0是它的某個(gè)上界,則由引理4得

a.f(z)為多項(xiàng)式.

b.f(z)是非多項(xiàng)式有理函數(shù).

因?yàn)閒′(z)≠zm,所以h′(z)≠1.由引理5,得

則

即得引理6.

3定理5的證明

由定理3,只要證明F在z=0處正規(guī)即可.

假設(shè)F1在z=0處不正規(guī).

由引理1,存在zn→0,ρn→0+,Fn∈F1,使得

其中,g為非常值有窮級(jí)亞純函數(shù),且滿足g#(ζ)≤g#(0)=M+1.

斷言g′(ζ)≠1.

令

顯然

情況2.1G′(ζ)?ζm.

或

這里a,b≠0,c和α≠0,β都是復(fù)常數(shù),l∈+.

不妨設(shè)M1(ξ)的零點(diǎn)分別為t1

另一方面,M1′(ξ)=(ξ+η)l-1[(m+1)·(ξ+γ)m(ξ+η)+l(ξ+γ)m+1+al/A],則-η作為M1′(ξ)的零點(diǎn)只可能是τj中的某個(gè),故其重?cái)?shù)只能是1,與l-1≥2矛盾.

于是,H(ξ)不存在,從而這樣的G(ζ)亦不存在.

于是,可以假設(shè)

再分兩種情況討論.

若存在η>0,使得fn在Δ(0,η)上僅以zn,j=ρnζn,j為零點(diǎn),則令

但

矛盾.

于是,任意η>0,fn在Δ(0,η)內(nèi)除zn,j(j=0,1,2)外至少還有一個(gè)零點(diǎn),記為zn,3=ρnζn,3,顯然當(dāng)n→時(shí),ζn,3→.令,易得在*={0}上正規(guī).

若Kn在z=0處正規(guī),則Kn在上正規(guī),記Kn?K在上.

故

但由

此時(shí),若fn在Δ(0,δ)上僅有3個(gè)非零的零點(diǎn)zn,j=ρnζn,j,j=0,1,2,則在上有

但當(dāng)n→時(shí),

矛盾.

于是,fn在Δ(0,δ)上至少還有一個(gè)零點(diǎn)zn,3=ρnζn,3,ζn,3→,n→.

下面再分3種情況討論:

情況2.2G′(ζ)≡ζm.

4定理5的相關(guān)分析

在定理5的證明過(guò)程中,可得

這里b≠0是常數(shù).若此時(shí),G僅有簡(jiǎn)單極點(diǎn),則l=1,且

這里

由定理1的條件a可得,H的零點(diǎn)分布在一條直線上.不妨設(shè)其在實(shí)軸上,即H僅有實(shí)零點(diǎn).因?yàn)閐egH=m+2,所以H有m+2個(gè)實(shí)零點(diǎn)(計(jì)重?cái)?shù)).由羅爾定理得,H″有m個(gè)實(shí)零點(diǎn)(計(jì)重?cái)?shù)).但H″(ζ)=(m+1)ζm-1[2ζ+m(ζ+c)],其至多僅有兩個(gè)不同零點(diǎn).

a. 若c=0,則H″以0為m重零點(diǎn),故當(dāng)m≥2時(shí),H至多僅有兩個(gè)不同零點(diǎn).設(shè)H=(ζ-x0)p·(ζ-x1)q,由于

故x0≠x1.再由p+q=m+2≥4得,p≥2或者q≥2.若p,q≥2,則由羅爾定理得,H″至少有兩個(gè)不同零點(diǎn),矛盾.故p,q中至少一個(gè)為1,不妨設(shè)p=1,q=m+1,則由b≠0得,x1≠0,故H=(ζ-x0)(ζ-x1)m+1,H″(x1)=0,矛盾.更進(jìn)一步,若m=1,則不妨設(shè)

由于b≠0,且xi∈,故a≠0.兩邊展開(kāi)比較得,-x0x1x2=2b.再由定理1的條件b得|G′(xi)|≤M|xi|,代入前式得,i.此時(shí),若要求M≤1,則必有xjxk<0,則必存在某個(gè)j≠k,使得xj=xk.不妨設(shè)x0=x1,再由x0+x1+x2=0得,x2=-2x0≠0,再代入,得,矛盾.

故x0≠x1.再由p+q=m+2≥5得,p≥3或者q≥3.若p,q≥3,則由羅爾定理得,H″至少有3個(gè)不同零點(diǎn),矛盾.故p,q中至少一個(gè)為2,不妨設(shè)p=2,q=m,則由m≥3得x1≠0,再由羅爾定理得,H″至少有3個(gè)不同零點(diǎn),矛盾.

綜上所述,當(dāng)函數(shù)族F僅有簡(jiǎn)單極點(diǎn)時(shí),其反例應(yīng)該類似于例3. 同理可得,當(dāng)F的極點(diǎn)為二重時(shí),其反例也應(yīng)該類似于例2或者例4.

參考文獻(xiàn)：

[1]顧永興,龐學(xué)誠(chéng),方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[2]HAYMAN W K.Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964:17-65.

[3]GU Y X.A normal criterion of meromorphic families[J].Scientia Sinica,1979,1:267-274.

[4]YANG L.The normality of meromorphic fuctions[J].Science in China(Series A),1986,29(9):897-908.

[5]PANG X C,YANG D G,ZALCMAN L.Normal families of meromorphic functions whose derivatives omit a function[J].Computational Methods and Function Theory,2003,2(1):257-265.

[6]PANG X C,ZALCMAN L.Normal families of meromorphic functions with multiple zeros and poles[J].Israel Journal of Mathematics,2003,136(1):1-9.

[7]WANG Y F,FANG M L.Picard values and normal families of meromorphic functions with multiple zeros[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,1998,14(1):17-26.

[8]CHANG J M.Normality and quasinormality of zero-free meromorphic functions[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2012,28(4):707-716.

[9]童曉麗,劉曉俊.零點(diǎn)位于直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)定則[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014,36(4):362-365.

[10]張培.涉及零點(diǎn)分布的亞純函數(shù)的正規(guī)定則[D].上海:上海理工大學(xué),2014.

[11]PANG X C,ZALCMAN L.Normal families and shared values[J].Bulletin of the London Mathematical Society,2000,32(3):325-331.

[12]BERGWEILER W,EREMENKO A.On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order[J].Revista Matematica Iberoamericana,1995,11(2):355-373.[13]BERGWEILER W.On the zeros of certain homogeneous differential polynomials[J].Archiv der Mathematik,1995,64(3):192-202.

(編輯:丁紅藝)

Normal Criterion of Meromorphic Functions Whose Zeros Distribute on a Certain Straight

LineHONG Sumin,LIU Xiaojun

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The normality of meromorphic functions whose zeros distribute on a certain straight lines was discussed and obtained:let F be a family of meromorphic functions on the unit disc D,if there exists M≥0,such that for each f∈F,f(z)=0?,all zeros of f(z) distribute on a certain straight line,all of whose poles have multiplicity at least 3,and ≠zm,z∈D,then F is normal on D.

Keywords：meromorphic functions; exceptional function; zeros; normal family

文章編號(hào)：1007-6735(2016)03-0211-07

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.002

收稿日期：2015-09-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11401381)

通信作者：劉曉俊(1982-),男,副教授.研究方向:復(fù)分析.E-mail:xiaojunliu2007@hotmail.com

中圖分類號(hào)：O 174.52

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

第一作者： 洪蘇敏(1992-),女,碩士研究生.研究方向:復(fù)分析.E-mail:hongsuminyun@163.com