具有Levy噪聲的隨機(jī)Holling-Tanner模型

周艷麗,　璞桂萍

(1.上海健康醫(yī)學(xué)院 文理學(xué)院,上海　200093; 2.上海健康醫(yī)學(xué)院 健康信息技術(shù)與管理學(xué)院,上海　200093)

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具有Levy噪聲的隨機(jī)Holling-Tanner模型

周艷麗1,璞桂萍2

(1.上海健康醫(yī)學(xué)院 文理學(xué)院,上海200093; 2.上海健康醫(yī)學(xué)院 健康信息技術(shù)與管理學(xué)院,上海200093)

摘要：考慮了噪聲對(duì)隨機(jī)Holling-Tanner模型的影響.這種噪聲可以理解為海嘯、地震、大規(guī)模的傳染病等產(chǎn)生的突發(fā)的且隨機(jī)性很強(qiáng)的干擾.首先,證明了該模型的全局正解的存在唯一性.然后,結(jié)合隨機(jī)比較定理和鞅論等知識(shí)找到了種群在時(shí)間均值意義下持續(xù)存在和隨機(jī)滅亡的充分條件.這些結(jié)論說(shuō)明Levy噪聲對(duì)種群的持久性和滅絕性具有顯著性的影響,甚至可以使種群的長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生根本性改變.最后,通過(guò)數(shù)值模擬直觀地驗(yàn)證了Levy噪聲對(duì)種群的影響.

關(guān)鍵詞：Holling-Tanner模型; Levy噪聲; 持續(xù); 絕滅

由于生物種群模型理論對(duì)于實(shí)際應(yīng)用的重要指導(dǎo)意義和價(jià)值,這方面的研究越來(lái)越受到重視.在自然環(huán)境中存在著大量的不確定的隨機(jī)因素,這些不確定的因素對(duì)生物種群模型有著明顯的影響.因此,考慮隨機(jī)生物種群模型能更客觀、更全面地了解和認(rèn)識(shí)生物的發(fā)展規(guī)律和內(nèi)在本質(zhì).近些年來(lái),許多學(xué)者將確定性的生物種群模型推廣到隨機(jī)的生物種群模型上,并取得了豐富的研究成果，如環(huán)境噪聲無(wú)論多么小都可以抑制隨機(jī)種群模型的爆破,模型解的長(zhǎng)期行為持久性、非持久性、遍歷性、平穩(wěn)分布等[1-12].

文獻(xiàn)[1-12]提到的隨機(jī)生物種群所受的環(huán)境噪聲都是高斯白噪聲干擾的結(jié)果.高斯白噪聲是用來(lái)描述一類(lèi)比較平穩(wěn)的、連續(xù)的隨機(jī)干擾.事實(shí)上,在生態(tài)生物系統(tǒng)中,由于洪水的泛濫、海嘯、大規(guī)模的傳染病、地震、大旱、火山爆發(fā)、氣候變暖、股市震蕩等產(chǎn)生的是突發(fā)的、不連續(xù)的、隨機(jī)性很強(qiáng)的干擾.一旦發(fā)生,生物生長(zhǎng)的環(huán)境就會(huì)發(fā)生很大的改變,甚至可以導(dǎo)致種群滅絕.此時(shí),若僅僅用單一的高斯白噪聲來(lái)描述這種突發(fā)現(xiàn)象,很難真實(shí)地反映種群的變化情況.在生物動(dòng)力種群中,為了更好地描述現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象,可以建立帶Levy跳的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這種突變現(xiàn)象.

因此,研究帶Levy跳的隨機(jī)生物系統(tǒng)是非常必要的.近幾年,已有學(xué)者開(kāi)始關(guān)注這種新的激勵(lì)對(duì)隨機(jī)生物系統(tǒng)的影響[13-17].受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文將文獻(xiàn)[18]中的模型推廣到帶Levy跳的隨機(jī)Holling-Tanner捕食與被捕食模型中.

1模型的建立

在文獻(xiàn)[18]中,Khellaf等主要討論模型

(1)

初值為x(0)=x0>0,y(0)=y0>0.其中,x(t),y(t)分別表示被捕食者和捕食者在t時(shí)刻的密度,參數(shù)a,b,α,β,γ均為正常數(shù).Khellaf等指出模型(1)存在3個(gè)平凡的平衡點(diǎn)

同時(shí),當(dāng)ak

且y*=x*+k.

Mandal等[12]對(duì)模型(1)進(jìn)行了白噪聲干擾,得到與模型(1)相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)模型

(2)

式中：σ1,σ2表示噪聲強(qiáng)度;B1(t),B2(t)是定義在完備的概率空間(Ω,{Ft}t≥0,P)上具相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng);{Ft}t≥0是Ω上的一個(gè)σ代數(shù)且滿(mǎn)足通常條件(即右連續(xù),F0包含所有零測(cè)集).

文獻(xiàn)[2]證明了模型(2)的全局正解存在唯一性、種群的持續(xù)存在性、模型存在平穩(wěn)分布的條件等性質(zhì).

在模型(2)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮帶有Levy噪聲的隨機(jī)模型,具體模型為

(3)

結(jié)合實(shí)際生物意義,本文作如下假設(shè):

1+γi(u)>0(i=1,2),u∈Y,對(duì)每一個(gè)m>0都有Lm>0且滿(mǎn)足條件A1和條件A2.

其中,H1(x,u)=γ1(u)x(t-),H2(y,u)=γ2(u)y(t-).

于是

(4)

2模型(3)全局正解的存在唯一性

由于x(t),y(t)分別表示被捕食者和捕食者在t時(shí)刻的密度或種群的大小,根據(jù)生物實(shí)際意義,本文感興趣的是正解.目前還沒(méi)看到對(duì)于種群隨機(jī)模型(3) 的研究結(jié)果,本文主要研究隨機(jī)模型(3) 的種群動(dòng)力學(xué)性質(zhì),如解的全局正解的存在唯一性、有界性、隨機(jī)持久及隨機(jī)滅絕等.

首先,利用變量變換和隨機(jī)微分方程比較定理、伊藤公式等證明隨機(jī)模型(3)的全局正解的存在唯一性.

證明考慮方程

(5)

其中

定理1證明了模型(3)存在唯一的局部正解.采用類(lèi)似于文獻(xiàn)[7]的方法,進(jìn)一步證明此解是全局的,即證明τe=，a.s.

由于模型(3)的解為正,可得

令

(6)

則Φ(t)是

(7)

由隨機(jī)微分方程比較定理[19]得

由模型(3)的第二式可得

顯然

(8)

是方程

(9)

的唯一解,且y(t)≥ψ(t),t∈[0,τe), a.s.

又

則可得

(10)

是方程

(11)

的解.其中

由隨機(jī)微分方程比較定理[19]得

另外

顯然

(12)

是方程

(13)

的解,且滿(mǎn)足

綜合以上結(jié)論,可得

由于φ(t),Φ(t),ψ(t)和Ψ(t)(t≥0)都是全局存在的,故可得定理2.

(14)

3模型(3)解的長(zhǎng)期行為

現(xiàn)討論隨機(jī)模型(3)的持久性.陳蘭蓀等[20]給出了確定性系統(tǒng)的時(shí)間均值意義下的持續(xù)存在的定義.Mandal等[12]類(lèi)似地給出了隨機(jī)意義下的種群持續(xù)的定義.

定義1[12,21]稱(chēng)種群x(t)在時(shí)間均值意義下是持久的,若

為了方便問(wèn)題的證明,首先引入幾個(gè)引理.

引理1[16]設(shè)x(t)∈C(Ω×[0,+),R+).

a. 若存在正常數(shù)T,ρ,ρ0,使得

b. 若存在正常數(shù)T,ρ,ρ0,σi(i=1,2),使得

引理2[14]設(shè)M(t)(t≥0)是局部鞅,定義

引理3 若1>β1,b>β2成立,則

(15)

由式(15)可以得到如下不等式成立:

將式(16)與式(10)結(jié)合，可推出

其中

因此,可得

(17)

根據(jù)式(4)可知

由引理2得

(18)

又

結(jié)合以上結(jié)論可推出

(19)

將式(19)帶入到式(17),得

(20)

上式兩端同時(shí)從0～t積分,并且兩端同除以t,得

(21)

由式(18)可知,對(duì)于任意ε>0,都存在T,使得

-ε/2≤t-1lnψ(0)≤ε/2,

-ε/2≤t-1k2(t)≤ε/2, t≥T

(22)

成立.

將式(22)代入式(21),可得

t-1lnψ(t)≤b-β2+ε-

(23)

t-1lnψ(t)≥b-β2-ε-

(24)

令ε充分小,使得b-β2-ε>0,由引理1得到

由于ε的任意性,可得

(25)

由定理1的證明過(guò)程可知

聯(lián)立式(20),得

(26)

證明注意到

利用伊藤公式,得

進(jìn)一步可得

結(jié)合引理1、式(8)以及文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論,可得如下結(jié)論:當(dāng)1>β1成立時(shí),有

(27)

證明令V(x(t))=lnx(t),x(t)∈(0,+).對(duì)模型(3)的2個(gè)方程兩邊從0～t積分,得

且

定理3的結(jié)論說(shuō)明,模型(3)的Leslie-Gower 項(xiàng)在時(shí)間均值意義下是穩(wěn)定的.

1-β1,a.s.

證明定義V(x(t))=lnx(t),應(yīng)用伊藤公式,得

且

進(jìn)一步可得

證明顯然,由定理4可得

(28)

定義V(y(t))=lny(t),應(yīng)用伊藤公式，得

(29)

對(duì)式(29)兩端從0～t積分,可得

令t充分大,并結(jié)合式(18)和引理1的b,可得

(30)

由式(28)和式(30)可知結(jié)論成立.

由于x-1-lnx≥0,x>0,則可以推出

若令γi=0,i=1,2,則可以得到文獻(xiàn)[12]中的定理5.1的結(jié)論.

現(xiàn)給出與以上結(jié)論相反的結(jié)果.前面主要討論的是種群的持久性,現(xiàn)給出種群滅絕所需要的條件.

證明a. 對(duì)所有t≥0,利用伊藤公式，得

(31)

對(duì)式(31)兩端同時(shí)從0～t積分,可得

進(jìn)一步化簡(jiǎn),得

(32)

又當(dāng)t充分大時(shí)

故當(dāng)b<β2時(shí),由式(32)得

利用同樣的方法可證得

成立,應(yīng)用引理1,可得

由于ε的任意性,可得

c. 由定理4和a得

從以上結(jié)論可知,確定性模型和只有Brown白噪聲干擾的隨機(jī)模型中種群是持續(xù)存在的.但是,在Levy噪聲干擾下可以導(dǎo)致種群滅絕.

4數(shù)值模擬和例子

利用Euler方法[21]對(duì)文中的主要結(jié)論進(jìn)行數(shù)值模擬分析.在圖1～4中,綠線表示確定性模型(1)的解,藍(lán)線表示只有Brown白噪聲的隨機(jī)模型(2)的解,紅線表示帶有Levy噪聲的隨機(jī)模型(3)的解.圖中參數(shù)均取為

初值為x0=0.4,y0=0.2.

通過(guò)計(jì)算可得E*=(x*,y*)=(0.553 1,1.553 1).現(xiàn)通過(guò)例子來(lái)討論Levy噪聲對(duì)種群的影響.

例1取γ1=0.4,γ2=0.3,且由參數(shù)取值可得

顯然滿(mǎn)足

如圖1所示,此時(shí)x(t),y(t)在時(shí)間均值意義下是持續(xù)存在的,這與在Brown白噪聲的影響結(jié)果相同,只是由于Levy噪聲的存在使得模型(3)的解圍繞內(nèi)部平衡點(diǎn)E*=(x*,y*)的振幅變大.

圖1　a=3,α=4,β=4,γ=2,b=0.3,k=1;σ1=0.1,σ2=0.2,γ1=0.4,γ2=0.3

例2取γ1=1.2,γ2=1.0,簡(jiǎn)單計(jì)算可得

0.02+0.306 9>b=0.3

與例1的結(jié)論相反,且滿(mǎn)足定理6的a的條件,此時(shí)x(t),y(t)均趨于滅絕.圖2驗(yàn)證了此結(jié)論.如圖2所示,盡管在Brown白噪聲干擾下x(t),y(t)是持續(xù)存在的,但對(duì)于模型(3)來(lái)說(shuō)，解趨于0.

例3取γ1=1.2,γ2=0.3,使得滿(mǎn)足定理6的b的條件,圖3驗(yàn)證了定理6的b的結(jié)論,即當(dāng)條件

例4取γ1=0.1,γ2=1.0,使?jié)M足定理6的c的條件,則結(jié)論是

也就是說(shuō),x(t)具有持久性,而y(t)具有非持久性,即y(t)最終將滅絕，如圖4所示.

圖2　a=3,α=4,β=4,γ=2,b=0.3,k=1;σ1=0.1,σ2=0.2,γ1=1.2,γ2=1.0.

圖3　a=3,α=4,β=4,γ=2,b=0.3,k=1;σ1=0.1,σ2=0.2,γ1=1.2,γ2=0.3

圖4　a=3,α=4,β=4,γ=2,b=0.3,k=1;σ1=0.1,σ2=0.2,γ1=0.1,γ2=1.0.

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(編輯:石瑛)

Stochastic Holling-Tanner Model with Levy Noise

ZHOU Yanli1,PU Guiping2

(1.College of Arts and Science,Shanghai University of Medicine and Health Sciences,Shanghai 200093,China;2.Faculty of Information Technology and Mangement,Shanghai University of Medicine and Health Sciences,Shanghai 200093,China)

Abstract：The dynamics of stochastic Holling-Tanner model with noises were discussed.The noises can be considered as the flood,tsunami,earthquake,drought,large-scale infectious disease,volcanic eruptions and climate warming etc,and they can produce sudden,discrete and large stochastic perturbations.It is shown that the stochastic Holling-Tanner model with noises admits a unique positive global solution starting from the positive initial value.Then,sufficient conditions of the persistence in the meaning of time average and the extinction of the model were obtained by making use of the stochastic comparison theorem and martingale theory etc.The above conclusions show that Levy noises have significant effects on the persistence and extinction of the population,which can even make the long-time dynamic behavior of the population model change fundamentally.Numerical simulations were carried out to illustrate the influence of Levy noises on the population.

Keywords：Holling-Tanner model; Levy noise; persistence; extinction

文章編號(hào)：1007-6735(2016)03-0245-10

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.007

收稿日期：2015-12-07

中圖分類(lèi)號(hào)：O 175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

第一作者： 周艷麗(1976-),女,副教授.研究方向:生物數(shù)字.E-mail:zhouyanli_math@163.com