分數(shù)階Laplace方程組的山路解

李　青,　魏公明

(上海理工大學 理學院,上?！?00093)

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分數(shù)階Laplace方程組的山路解

李青,魏公明

(上海理工大學 理學院,上海200093)

摘要：對一類非線性分數(shù)階Laplace方程組Dirichlet問題非平凡解以及正解的存在性分別進行了研究.針對非線性分數(shù)階Laplace方程組在滿足Dirichlet邊值條件下所具有的特征,通過定義能量空間,然后在該空間中利用Sobolev嵌入定理、控制收斂定理、Brezis-Leb引理,證明分數(shù)階方程組的能量泛函滿足Palais-Smale緊性條件,最后利用分數(shù)階Sobolev空間中的山路引理,得出方程組存在非平凡臨界點,也即得出這類非線性分數(shù)階Laplace方程組Dirichlet問題存在非平凡解的結論.此外,還利用Nehari流形、極小能量法,通過比較能量法得出一類耦合的非線性分數(shù)階Laplace方程組Dirichlet問題存在正解需要滿足的條件,進而得出這類分數(shù)階Laplace方程組存在正解的結論.

關鍵詞：分數(shù)階Laplace算子; 山路引理; Palais-Smale條件; 極小能量解

1問題的提出

運用山路引理[1-4]來證明非平凡解的存在性,是一種很經典的變分方法.本文主要受文獻[5]及文獻[6]的啟發(fā).文獻[5]主要針對滿足齊次Dirichlet 邊值條件的非局部微分方程Lku+f(x,u)=0(x∈Ω)進行了研究.其中

是一個非局部算子.Ω是n中具有Lipschitz邊界的有界開集,→(0,+∞)是滿足下列性質的函數(shù):

a.γK∈L1(n),其中

其中,s∈(0,1),

本文通過驗證該方程能量泛函是否滿足Palais-Smale條件,再應用山路引理得出其存在非平凡解.將這種方法運用到如下分數(shù)階Laplace方程組中,即

(1)

不論是在純理論領域,還是實際生活中,這種分數(shù)階橢圓型算子都有著廣泛的應用.它出現(xiàn)在很多不同的背景之下,比如:障礙問題、最優(yōu)化、金融學、相變、層狀材料、反常擴散、晶體錯位、半透膜、火焰?zhèn)鞑ァ⑹睾懵?、準地轉流、多重散射、極小曲面、材料科學、水波等.文獻[7]給出了關于分數(shù)階Sobolev空間的清晰而全面的介紹,是學習分數(shù)階Laplace方程極好的參考資料.

文獻[6]研究的是如下耦合的非線性薛定諤方程組:

(2)

其中,CΩ:=nΩ.

記

E:=X0×X0={(f,g)∈F:對于幾乎處處的x∈nΩ有(f,g)=(0,0)}.

其中,

F:=X×X

因為

(3)

所以E和F非空[10].

問題(2)有一個變分結構,實際上它是如下泛函J:E→的Euler-Lagrange方程:

則J的臨界點即為問題(2)的解.

(4)

第四部分主要證明方程組(4)向量解的兩個分量都是非平凡的,即都是非零的,此時需要對b作一些限制(見推論1).

本文主要結果如下：

推論1假設方程組(4)中b>2q-1-1,2<2q<2*,n>2s,s∈(0,1),則問題(4)存在極小能量解(u,v),其中u>0,v>0.

2一些基本的結論

這部分將證明一些有用的結論.

這里,首先介紹一下空間X和X0的一些基本結論.論文中的一些記法如下:

其中,σ=(CΩ)×(CΩ)?2n,CΩ=nΩ.

空間F=X×X的范數(shù)定義為

其中,

(6)

且

(7)

所以,f,g在n上幾乎處處為常數(shù),不妨設f=c∈,g=d∈.

由式(6)可得c=0,d=0,證畢.

下面,G=Hs(Ω)×Hs(Ω)表示分數(shù)階Sobolev空間,并賦予范數(shù)

其中

引理1a. 若(u,v)∈F,則(u,v)∈G,且

證明a. 若(u,v)∈F=X×X,則

同理

因此,(u,v)∈G=Hs(Ω)×Hs(Ω),

即

b. 由于E={(u,v)∈F:nΩ中幾乎處處有(u,v)=(0,0)},因此,若(u,v)∈E,則

且

同理

即

引理2存在依賴于n,s,Ω的常數(shù)C(n,s,Ω)>1,使得對于任意的(u,v)∈E,有

從而

(9)

是E=X0×X0上和式(5)等價的范數(shù).

證明首先,由式(5)可得

其中,C是僅依賴于n,s的正常數(shù).

因此

因此

易知〈·,·〉是E上的內積,它對應的范數(shù)和式(9)是一致的.

因為L2(Ω)×L2(Ω)是完備的,所以存在(u∞,v∞)∈L2(Ω)×L2(Ω),使得當j→+∞時,在L2(Ω)×L2(Ω)中有ωj=(uj,vj)→(u∞,v∞)成立.因此,存在一個子列(ujk,vjk)?E,使得在n中a.e.(ujk,vjk)→(u∞,v∞)[11].

下證(u∞,v∞)∈E.由Fatou引理和式(10)中的第一個不等式(取ε=1),得

接下來只需證整個序列在E中收斂到(u∞,v∞).為此,令i≥νε,由式(10)的第一個不等式、引理2 及Fatou引理可得

即在E中當i→+∞時,(ui,vi)→(u∞,v∞),引理得證.

證明由引理1 的b可知(uj,vj)∈Hs(n)×Hs(n).另外,由引理 1 的b以及引理2 可得

其中,C僅依賴于n,s和Ω.因為(uj,vj)在E中有界,所以在G中有界,因此也在L2(Ω)×L2(Ω)中有界,故{uj},{vj}在L2(Ω)中有界.

由文獻[7]的Corollary 7.2以及Ω的條件可知,對任意的m∈[1,2*)存在u∞,v∞∈Lm(Ω)和該序列的一個子列(下標仍記為j),使得在Lm(Ω)中,當j→+∞時,uj→u∞,vj→v∞.因為(uj,vj)在nΩ中等于0,所以在nΩ中可以定義(u∞,v∞):=(0,0).因此在Lm(n)中,(uj,vj)→(u∞,v∞).

3山路解的存在性

這部分將利用山路引理來找泛函的臨界點.因此,首先需要驗證泛函J的幾何特征,并且滿足PS緊性條件.

因為

所以

因為Ω有界且2<2q<2*,因此Hs(Ω)連續(xù)嵌入到L2q(Ω)中(見文獻[5]).因此存在常數(shù)C1,C2>0,使得

由引理2可知,存在C′,C″>0,使得

因為2<2q

因此

同理

因為存在常數(shù)C4,使得

成立,所以,存在常數(shù)C,C*>0,使得

由2<2q

命題得證.

令t>0,有

不妨假設p00,使得

因此

當t→+∞時,存在常數(shù)C>0,使得

同樣,若q0

命題1和命題2給出了山路引理所滿足的幾何條件.接下來通過命題3和命題4驗證PS條件.

命題3令c∈,是E中的序列,且滿足當j→+∞時,

(11)

(12)

可知

對任意j∈N,由式(11)～(12)可知,存在K>0,使得

(13)

(14)

因此

即

(15)

由式(13)和式(15)可得

因為2<2q

因而存在常數(shù)K*>0,使得對任意的j∈N,有

命題3得證.

(16)

因為

由式(12)可知

即

同樣,

(18)

由引理4,對某子序列,當j→+∞時,(uj,vj)→(u∞,v∞)在Lq(n)×Lq(n)中,(uj,vj)→(u∞,v∞)a.e.在n中.

由控制收斂定理[12]可得

由式(16)、式(18)、式(20)得

即

由式(17)和式(19)得當j→+∞

由Brezis-Leb引理,可知

定理1的證明由命題1～4及山路引理可知,泛函J存在臨界點(u,v)∈E,并且

4研究方程組存在正解的條件

特殊地,當p0=q0=2q,b(x)=b時,方程組(2)變?yōu)榉匠探M(4)

它對應的泛函J*:E→為

為了研究問題(4)存在正解需要滿足的條件,首先給出幾個有用的引理.

定義Nehari流形為

是連續(xù)的,且映射

定義了E中單位球到N的一個同胚.

證明首先證明泛函J*滿足如下的幾何性質:

a. (0,0)是一個嚴格極小值點;

事實上,如果定義

則F滿足

由式(21)可推出a成立.由式(22)可知,對任意t>0,下面的不等式成立

因此b成立.

(23)

(24)

因為g的每一個正的駐點t>0滿足

記

其中

引理6cN=c1=c.

證明由引理5 可知

注:事實上,下面的證明只需用到c≤c1即可.

(26)

接下來只需證明

因為u0是式(26)的解,所以

因此可以得到如下關系:

(27)

(28)

另外,由引理6 可知

其中,C由式(27)定義.

參考文獻：

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(編輯:丁紅藝)

Mountain Pass Solutions for the System of Equations Driven by the Fractional Laplace Operator

LI Qing,WEI Gongming

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Abstract：The existence of nontrivial solutions and positive solutions for fractional Laplace systems with Dirichlet boundary conditions was investigated.According to the features when the Dirichlet boundary conditions of fractional Laplace systems are satisfied and based on the mountain pass theorem,embedding theorem,dominated convergence theorem and Brezis-Leb lemma in Sobolev space,the Palais-Smale compactness conditions of the energy functional were proved.Then the existence of nontrivial solutions for fractional Laplace systems with Dirichlet boundary conditions was concluded.Moreover,The Nehari manifold and minimal energy method were used to prove the existence of positive solutions for fractional Laplace systems with Dirichlet boundary conditions.

Keywords：fractional Laplace operator; mountain pass theorem; Palais-Smale condition; least energy solution

文章編號：1007-6735(2016)03-0235-10

DOI：10.13255/j.cnki.jusst.2016.03.006

收稿日期：2015-01-08

基金項目：滬江基金資助項目(B14005)

通信作者：魏公明(1974-),男,副教授.研究方向:偏微分方程.E-mail:gmweixy@163.com

中圖分類號：O 175.25

文獻標志碼：A

第一作者： 李青(1991-),女,碩士研究生.研究方向:偏微分方程.E-mail:qinglismile@163.com